Homología (matemáticas)

Aplicar estructuras algebraicas a espacios topológicos.

En matemáticas , la homología ^[1] es una forma general de asociar una secuencia de objetos algebraicos, como grupos o módulos abelianos , con otros objetos matemáticos como espacios topológicos . Los grupos de homología se definieron originalmente en topología algebraica . Construcciones similares están disponibles en una amplia variedad de otros contextos, como álgebra abstracta , grupos , álgebras de Lie , teoría de Galois y geometría algebraica .

La motivación original para definir grupos de homología fue la observación de que se pueden distinguir dos formas examinando sus agujeros. Por ejemplo, un círculo no es un disco porque el círculo tiene un agujero que lo atraviesa mientras que el disco es sólido, y la esfera ordinaria no es un círculo porque la esfera encierra un agujero bidimensional mientras que el círculo encierra un agujero unidimensional. Sin embargo, debido a que un agujero "no está ahí", no es inmediatamente obvio cómo definir un agujero o cómo distinguir diferentes tipos de agujeros. La homología era originalmente un método matemático riguroso para definir y categorizar agujeros en una variedad . En términos generales, un ciclo es una subvariedad cerrada, un límite es un ciclo que también es el límite de una subvariedad, y una clase de homología (que representa un hueco) es una clase de equivalencia de límites de módulo de ciclos. Una clase de homología está así representada por un ciclo que no es el límite de ninguna subvariedad: el ciclo representa un agujero, es decir, una variedad hipotética cuyo límite sería ese ciclo, pero que "no está allí".

Hay muchas teorías de homología diferentes. Un tipo particular de objeto matemático, como un espacio topológico o un grupo , puede tener una o más teorías de homología asociadas. Cuando el objeto subyacente tiene una interpretación geométrica como la tienen los espacios topológicos, el enésimo grupo de homología representa el comportamiento en la dimensión n . La mayoría de los grupos o módulos de homología pueden formularse como funtores derivados en categorías abelianas apropiadas , midiendo la falta de exactitud de un funtor . Desde esta perspectiva abstracta, los grupos de homología están determinados por objetos de una categoría derivada .

Fondo

Orígenes

Se puede decir que la teoría de la homología comienza con la fórmula del poliedro de Euler o característica de Euler . ^[2] A esto le siguió la definición de Riemann de género y n invariantes numéricos de conectividad en 1857 y la prueba de Betti en 1871 de la independencia de los "números de homología" de la elección de la base. ^[3]

La homología en sí se desarrolló como una forma de analizar y clasificar variedades según sus ciclos : bucles cerrados (o, más generalmente, subvariedades) que se pueden dibujar en una variedad de n dimensiones dada pero que no se deforman continuamente entre sí. ^[4] A veces también se piensa en estas bicicletas como cortes que se pueden volver a pegar o como cremalleras que se pueden abrochar y desabrochar. Los ciclos se clasifican por dimensión. Por ejemplo, una línea dibujada en una superficie representa un ciclo, un circuito cerrado o (1-colector), mientras que una superficie cortada a través de una variedad tridimensional es un ciclo de 2. ${\displaystyle S^{1}}$

Superficies

En la esfera ordinaria , el ciclo b en el diagrama se puede reducir al polo, e incluso el gran círculo ecuatorial a se puede reducir de la misma manera. El teorema de la curva de Jordan muestra que cualquier ciclo arbitrario como c puede reducirse de manera similar a un punto. Por lo tanto, todos los ciclos de la esfera pueden transformarse continuamente entre sí y pertenecen a la misma clase de homología. Se dice que son homólogos de cero. Cortar un colector a lo largo de un ciclo homólogo a cero separa el colector en dos o más componentes. Por ejemplo, cortar la esfera a lo largo de a produce dos hemisferios. ${\displaystyle S^{2}}$

En general, esto no es cierto para los ciclos en otras superficies. El toro tiene ciclos que no se pueden deformar continuamente entre sí; por ejemplo, en el diagrama ninguno de los ciclos a , b o c se puede deformar entre sí. En particular, los ciclos a y b no se pueden reducir a un punto, mientras que el ciclo c sí, lo que lo convierte en homólogo a cero. ${\displaystyle T^{2}}$

Si la superficie del toro se corta a lo largo de a y b , se puede abrir y aplanar en un rectángulo o, más convenientemente, en un cuadrado. Un par de lados opuestos representa el corte a lo largo de a y el otro par opuesto representa el corte a lo largo de b .

Luego, los bordes del cuadrado se pueden volver a pegar de diferentes maneras. El cuadrado se puede girar para permitir que los bordes se encuentren en la dirección opuesta, como lo muestran las flechas en el diagrama. Las diversas formas de pegar los lados producen sólo cuatro superficies topológicamente distintas:

Las cuatro formas de pegar un cuadrado para hacer una superficie cerrada: pegar flechas individuales y pegar flechas dobles para que las puntas de las flechas apunten en la misma dirección.

${\displaystyle K^{2}}$es la botella de Klein , que es un toroide con un giro (en el diagrama cuadrado, el giro se puede ver como la inversión de la flecha inferior). Es un teorema que la superficie pegada debe autointersectarse (cuando se sumerge en el espacio tridimensional euclidiano ). Al igual que el toroide, los ciclos a y b no se pueden reducir, mientras que c sí. Pero a diferencia del toro, siguiendo a b se avanza hacia la derecha y hacia atrás se invierte hacia la izquierda y hacia la derecha, porque b cruza el giro dado a una unión. Si se hace un corte equidistante en un lado de b , éste regresa por el otro lado y da una segunda vuelta a la superficie antes de regresar a su punto inicial, recortando una tira de Möbius retorcida . Debido a que la izquierda y la derecha locales pueden reorientarse arbitrariamente de esta manera, se dice que la superficie en su conjunto no es orientable.

El plano proyectivo tiene ambas uniones torcidas. La forma sin cortes, generalmente representada como la superficie Boy , es visualmente compleja, por lo que en el diagrama se muestra una incrustación hemisférica, en la que los puntos antípodas alrededor del borde, como A y A′ , se identifican como el mismo punto. Nuevamente, a no se puede contraer, mientras que c sí lo es. Si b solo se enrollara una vez, tampoco sería contraíble y se invertiría hacia la izquierda y hacia la derecha. Sin embargo, se le da cuerda por segunda vez, lo que cambia de nuevo a derecha e izquierda; se puede reducir hasta un punto y es homólogo a c . ${\displaystyle P^{2}}$

Los ciclos se pueden unir o sumar, como lo eran a y b en el toro cuando se abrió y se aplanó. En el diagrama de la botella de Klein, a gira en un sentido y − a gira en el sentido opuesto. Si se piensa en a como un corte, entonces − a se puede considerar como una operación de pegado. Hacer un corte y luego volver a pegarlo no cambia la superficie, por lo que a + (− a ) = 0.

Pero consideremos ahora dos ciclos a . Dado que la botella de Klein no es orientable, puedes transportar uno de ellos alrededor de la botella (a lo largo del ciclo b ) y regresará como − a . Esto se debe a que la botella de Klein está hecha de un cilindro, cuyos extremos de ciclo están pegados con orientaciones opuestas. Por tanto 2 a = a + a = a + (− a ) = 0. Este fenómeno se llama torsión . De manera similar, en el plano proyectivo, seguir el ciclo b que no se puede contraer dos veces crea notablemente un ciclo trivial que se puede reducir a un punto; es decir, b + b = 0. Debido a que b debe seguirse dos veces para lograr un ciclo cero, se dice que la superficie tiene un coeficiente de torsión de 2. Sin embargo, seguir un ciclo b dos veces en la botella de Klein da simplemente b + b = 2 b , ya que este ciclo vive en una clase de homología sin torsión. Esto se corresponde con el hecho de que en el polígono fundamental de la botella de Klein sólo un par de lados están pegados mediante torsión, mientras que en el plano proyectivo ambos lados están torcidos.

Un cuadrado es un espacio topológico contráctil , lo que implica que tiene homología trivial. En consecuencia, cortes adicionales lo desconectan. El cuadrado no es la única forma del plano que se puede pegar a una superficie. Al pegar lados opuestos de un octágono, por ejemplo, se obtiene una superficie con dos agujeros. De hecho, todas las superficies cerradas se pueden producir pegando los lados de algún polígono y todos los polígonos de lados pares (2 n -gonos) se pueden pegar para formar diferentes variedades. Por el contrario, una superficie cerrada con n clases distintas de cero se puede cortar en un 2 n -gon. También son posibles variaciones, por ejemplo, también se puede pegar un hexágono para formar un toroide. ^[5]

La primera teoría reconocible de la homología fue publicada por Henri Poincaré en su artículo fundamental " Análisis situs ", J. Ecole Polytech. (2) 1 . 1–121 (1895). El artículo introdujo clases y relaciones de homología. Las posibles configuraciones de ciclos orientables se clasifican mediante los números de Betti de la variedad (los números de Betti son un refinamiento de la característica de Euler). La clasificación de los ciclos no orientables requiere información adicional sobre los coeficientes de torsión. ^[4]

La clasificación completa de 1 y 2 colectores se proporciona en la tabla.

Notas

1. Para una superficie no orientable, un agujero equivale a dos tapas transversales.
2. Cualquier 2-variedad es la suma conectada de g tori yc planos proyectivos. Para la esfera , g = c = 0. ${\displaystyle S^{2}}$

Generalización

Una variedad con límite o variedad abierta es topológicamente distinta de una variedad cerrada y se puede crear haciendo un corte en cualquier variedad cerrada adecuada. Por ejemplo el disco o 2 bolas está delimitado por un círculo . ^{[ cita necesaria ]} Puede crearse cortando un ciclo trivial en cualquier 2 colectores y manteniendo la pieza extraída, perforando la esfera y estirando la punción, o cortando el plano proyectivo. También se puede ver como rellenar el círculo en el plano. ${\displaystyle B^{2}}$ ${\displaystyle S^{1}}$

Cuando dos ciclos se pueden deformar continuamente entre sí, cortar a lo largo de uno produce la misma forma que cortar a lo largo del otro, hasta cierto punto de flexión y estiramiento. En este caso se dice que los dos ciclos son homólogos o pertenecen a la misma clase de homología . Además, si un ciclo se puede deformar continuamente en una combinación de otros ciclos, entonces cortar a lo largo del ciclo inicial es lo mismo que cortar a lo largo de la combinación de otros ciclos. Por ejemplo, cortar a lo largo de una figura de 8 equivale a cortar a lo largo de sus dos lóbulos. En este caso, se dice que la figura 8 es homóloga a la suma de sus lóbulos.

Se pueden pegar dos variedades abiertas con límites similares (hasta cierta flexión y estiramiento) para formar una nueva variedad que es su suma conectada.

Este análisis geométrico de variedades no es riguroso. En una búsqueda de mayor rigor, Poincaré desarrolló la homología simple de una variedad triangulada y creó lo que ahora se llama un complejo de cadenas . ^{[7] [8]} Estos complejos de cadenas (desde entonces muy generalizados) forman la base de la mayoría de los tratamientos modernos de homología.

En tales tratamientos, un ciclo no tiene por qué ser continuo: un ciclo 0 es un conjunto de puntos, y cortar a lo largo de este ciclo corresponde a perforar el colector. Un ciclo 1 corresponde a un conjunto de circuitos cerrados (una imagen de la variedad 1 ). En una superficie, cortar a lo largo de 1 ciclo produce piezas desconectadas o una forma más simple. Un ciclo de 2 corresponde a una colección de superficies incrustadas, como una esfera o un toroide, etc. ${\displaystyle S^{1}}$

Emmy Noether e, independientemente, Leopold Vietoris y Walther Mayer desarrollaron aún más la teoría de los grupos de homología algebraica en el período 1925-28. ^{[9] [10] [11]} La nueva topología combinatoria trataba formalmente las clases topológicas como grupos abelianos . Los grupos de homología son grupos abelianos generados finitamente y las clases de homología son elementos de estos grupos. Los números de Betti de la variedad son el rango de la parte libre del grupo de homología, y los ciclos no orientables se describen mediante la parte de torsión.

La posterior difusión de los grupos de homología trajo un cambio de terminología y punto de vista de "topología combinatoria" a " topología algebraica ". ^[12] La homología algebraica sigue siendo el método principal para clasificar variedades. ^[13]

Ejemplos informales

La homología de un espacio topológico X es un conjunto de invariantes topológicos de X representados por sus grupos de homología

$${\displaystyle H_{0}(X),H_{1}(X),H_{2}(X),\ldots }$$

agujerosXkcomponentesX. ^[14] ${\displaystyle k^{\rm {th}}}$ ${\displaystyle H_{k}(X)}$ ${\displaystyle H_{0}(X)}$

Una esfera unidimensional es un círculo . Tiene un único componente conectado y un agujero de límite unidimensional, pero no agujeros de dimensiones superiores. Los grupos de homología correspondientes se dan como ${\displaystyle S^{1}}$

$${\displaystyle H_{k}\left(S^{1}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

grupo trivialgrupo abeliano de generación finitagenerador^[15] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle H_{1}\left(S^{1}\right)=\mathbb {Z} }$

Una esfera bidimensional tiene un solo componente conectado, sin agujeros con límites unidimensionales, un agujero con límites bidimensionales y sin agujeros con dimensiones superiores. Los grupos de homología correspondientes son ^{[15] [16]} ${\displaystyle S^{2}}$

$${\displaystyle H_{k}\left(S^{2}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

En general, para una esfera n -dimensional , los grupos de homología son ${\displaystyle S^{n},}$

$${\displaystyle H_{k}\left(S^{n}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,n\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

Una bola bidimensional es un disco sólido. Tiene un único componente conectado por un camino, pero a diferencia del círculo, no tiene agujeros de dimensiones superiores. Los grupos de homología correspondientes son todos triviales excepto . En general, para una bola de n dimensiones ^[15] ${\displaystyle B^{2}}$ ${\displaystyle H_{0}\left(B^{2}\right)=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle B^{n},}$

$${\displaystyle H_{k}\left(B^{n}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

El toroide se define como el producto de dos circunferencias . El toroide tiene un único componente conectado por una trayectoria, dos agujeros unidimensionales independientes (indicados por círculos en rojo y azul) y un agujero bidimensional como el interior del toro. Los grupos de homología correspondientes son ^[17] ${\displaystyle T^{2}=S^{1}\times S^{1}}$

$${\displaystyle H_{k}(T^{2})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &k=1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

Si n productos de un espacio topológico X se escriben como , entonces, en general, para un toro de n dimensiones , ${\displaystyle X^{n}}$ ${\displaystyle T^{n}=(S^{1})^{n}}$

$${\displaystyle H_{k}(T^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} ^{\binom {n}{k}}&0\leq k\leq n\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

(consulte Toro#toro n-dimensional y número de Betti#Más ejemplos para obtener más detalles).

Los dos agujeros unidimensionales independientes forman generadores independientes en un grupo abeliano generado finitamente, expresado como el grupo de productos ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} .}$

Para el plano proyectivo P , un cálculo simple muestra (dónde está el grupo cíclico de orden 2): ^[18] ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

$${\displaystyle H_{k}(P)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\mathbb {Z} _{2}&k=1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

${\displaystyle H_{0}(P)=\mathbb {Z} }$Corresponde, como en los ejemplos anteriores, a que existe un único componente conectado. Es un fenómeno nuevo: intuitivamente corresponde al hecho de que hay un único "bucle" no contráctil, pero si hacemos el bucle dos veces, se vuelve contráctil a cero. Este fenómeno se llama torsión . ${\displaystyle H_{1}(P)=\mathbb {Z} _{2}}$

Construcción de grupos de homología.

El siguiente texto describe un algoritmo general para construir los grupos de homología. Puede que sea más fácil para el lector mirar primero algunos ejemplos simples: homología de grafos y homología simplicial .

La construcción general comienza con un objeto como un espacio topológico X , en el que primero se define una cadena compleja C ( X ) que codifica información sobre X. Un complejo de cadenas es una secuencia de grupos o módulos abelianos . conectados por homomorfismos que se llaman operadores de frontera . ^[17] Es decir, ${\displaystyle C_{0},C_{1},C_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \partial _{n}:C_{n}\to C_{n-1},}$

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\partial _{0}}{\longrightarrow \,}}0}$

donde 0 denota el grupo trivial y para i < 0. También se requiere que la composición de dos operadores de frontera consecutivos cualesquiera sea trivial. Es decir, para todo n , ${\displaystyle C_{i}\equiv 0}$

${\displaystyle \partial _{n}\circ \partial _{n+1}=0_{n+1,n-1},}$

es decir, el mapa constante que envía cada elemento a la identidad del grupo en ${\displaystyle C_{n+1}}$ ${\displaystyle C_{n-1}.}$

La afirmación de que el límite de una frontera es trivial es equivalente a la afirmación de que , donde denota la imagen del operador de frontera y su núcleo . Los elementos de se llaman límites y los elementos de se llaman ciclos . ${\displaystyle \mathrm {im} (\partial _{n+1})\subseteq \ker(\partial _{n})}$ ${\displaystyle \mathrm {im} (\partial _{n+1})}$ ${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$ ${\displaystyle B_{n}(X)=\mathrm {im} (\partial _{n+1})}$ ${\displaystyle Z_{n}(X)=\ker(\partial _{n})}$

Dado que cada grupo de cadena C _n es abeliano, todos sus subgrupos son normales. Entonces como es un subgrupo de C _n , es abeliano, y por lo tanto es un subgrupo normal de . Entonces se puede crear el grupo cociente ${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$ ${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$ ${\displaystyle \mathrm {im} (\partial _{n+1})\subseteq \ker(\partial _{n})}$ ${\displaystyle \mathrm {im} (\partial _{n+1})}$ ${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$

${\displaystyle H_{n}(X):=\ker(\partial _{n})/\mathrm {im} (\partial _{n+1})=Z_{n}(X)/B_{n}(X),}$

llamado el n- ésimo grupo de homología de X. Los elementos de _Hn ( X ) se llaman clases de homología . Cada clase de homología es una clase de equivalencia a lo largo de ciclos y se dice que dos ciclos en la misma clase de homología son homólogos . ^[19]

Se dice que un complejo de cadenas es exacto si la imagen del ( n +1)ésimo mapa es siempre igual al núcleo del nésimo mapa. Los grupos de homología de X miden, por tanto, "qué tan lejos" está el complejo de cadena asociado a X de ser exacto. ^[20]

Los grupos de homología reducida de un complejo de cadena C ( X ) se definen como homologías del complejo de cadena aumentado ^[21]

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\epsilon }{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} {\longrightarrow \,}0}$

donde el operador de frontera es ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle \epsilon \left(\sum _{i}n_{i}\sigma _{i}\right)=\sum _{i}n_{i}}$

para una combinación de puntos que son los generadores fijos de C ₀ . Los grupos de homología reducidos coinciden con for. El extra en el complejo de cadena representa el mapa único del simplex vacío a X. ${\displaystyle \sum n_{i}\sigma _{i},}$ ${\displaystyle \sigma _{i},}$ ${\displaystyle {\tilde {H}}_{i}(X)}$ ${\displaystyle H_{i}(X)}$ ${\displaystyle i\neq 0.}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle [\emptyset ]\longrightarrow X}$

Calcular el ciclo y los grupos de límites suele ser bastante difícil ya que tienen una gran cantidad de generadores. Por otro lado, existen herramientas que facilitan la tarea. ${\displaystyle Z_{n}(X)}$ ${\displaystyle B_{n}(X)}$

Los grupos de homología simplicial H _n ( X ) de un complejo simplicial X se definen utilizando el complejo de cadena simplicial C ( X ), siendo C _n ( X ) el grupo abeliano libre generado por los n -símplices de X . Ver homología simple para más detalles.

Los grupos de homología singulares H _n ( X ) se definen para cualquier espacio topológico X y concuerdan con los grupos de homología simpliciales para un complejo simplicial.

Los grupos de cohomología son formalmente similares a los grupos de homología: uno comienza con un complejo de cocadena , que es lo mismo que un complejo de cadena pero cuyas flechas, ahora indicadas, apuntan en la dirección de n creciente en lugar de n decreciente ; luego los grupos de cociclos y de colímites se derivan de la misma descripción. El n- ésimo grupo de cohomología de X es entonces el grupo cohomológico ${\displaystyle d_{n},}$ ${\displaystyle \ker \left(d^{n}\right)=Z^{n}(X)}$ ${\displaystyle \mathrm {im} \left(d^{n-1}\right)=B^{n}(X)}$

${\displaystyle H^{n}(X)=Z^{n}(X)/B^{n}(X),}$

en analogía con el n- ésimo grupo de homología.

Homología versus homotopía

Los grupos de homotopía son similares a los grupos de homología en que pueden representar "huecos" en un espacio topológico. Existe una estrecha conexión entre el primer grupo de homotopía y el primer grupo de homología : el último es la abelianización del primero. De ahí que se diga que "la homología es una alternativa conmutativa a la homotopía". ^{[22] : 4:00} Los grupos de homotopía superior son abelianos y están relacionados con los grupos de homología mediante el teorema de Hurewicz , pero pueden ser mucho más complicados. Por ejemplo, los grupos de homotopía de esferas no se comprenden bien y no se conocen en general, en contraste con la sencilla descripción dada anteriormente para los grupos de homología. ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle H_{1}(X)}$

Como ejemplo, sea X el ocho . Su primer grupo de homotopía es el grupo de bucles dirigidos que comienzan y terminan en un punto predeterminado (por ejemplo, su centro). Es equivalente al grupo libre de rango 2, que no es conmutativo: recorrer el ciclo más a la izquierda y luego alrededor del ciclo más a la derecha es diferente a recorrer el ciclo más a la derecha y luego rodear el ciclo más a la izquierda. En cambio, su primer grupo de homología es el conjunto de cortes realizados en una superficie. Este grupo es conmutativo, ya que (informalmente) cortar el ciclo más a la izquierda y luego el ciclo más a la derecha conduce al mismo resultado que cortar el ciclo más a la derecha y luego el ciclo más a la izquierda. ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle H_{1}(X)}$

Tipos de homología

Los diferentes tipos de teoría de la homología surgen del mapeo de funtores de varias categorías de objetos matemáticos a la categoría de complejos de cadenas. En cada caso, la composición del funtor de objetos a complejos de cadenas y del funtor de complejos de cadenas a grupos de homología define el funtor de homología general de la teoría. ^[23]

Homología simple

El ejemplo motivador proviene de la topología algebraica : la homología simplicial de un complejo simplicial X. Aquí el grupo de cadena C _n es el grupo o módulo abeliano libre cuyos generadores son los símplex orientados en n dimensiones de X. La orientación se captura ordenando los vértices del complejo y expresando un simplex orientado como una n -tupla de sus vértices listados en orden creciente (es decir, en el ordenamiento de los vértices del complejo, donde está el ésimo vértice que aparece en la tupla). El mapeo de C _n a C _n−1 se llama mapeo de límites y envía el simplex ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (\sigma [0],\sigma [1],\dots ,\sigma [n])}$ ${\displaystyle \sigma [0]<\sigma [1]<\cdots <\sigma [n]}$ ${\displaystyle \sigma [i]}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \partial _{n}}$

${\displaystyle \sigma =(\sigma [0],\sigma [1],\dots ,\sigma [n])}$

a la suma formal

${\displaystyle \partial _{n}(\sigma )=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\left(\sigma [0],\dots ,\sigma [i-1],\sigma [i+1],\dots ,\sigma [n]\right),}$

que se considera 0 si Este comportamiento en los generadores induce un homomorfismo en todo C _n de la siguiente manera. Dado un elemento , escríbalo como la suma de generadores donde es el conjunto de n -simplex en X y los m _i son coeficientes del anillo sobre el cual C _n está definido (generalmente números enteros, a menos que se especifique lo contrario). Luego define ${\displaystyle n=0.}$ ${\displaystyle c\in C_{n}}$ ${\textstyle c=\sum _{\sigma _{i}\in X_{n}}m_{i}\sigma _{i},}$ ${\displaystyle X_{n}}$

${\displaystyle \partial _{n}(c)=\sum _{\sigma _{i}\in X_{n}}m_{i}\partial _{n}(\sigma _{i}).}$

La dimensión de la n -ésima homología de X resulta ser el número de "agujeros" en X en la dimensión n . Puede calcularse poniendo representaciones matriciales de estas asignaciones de límites en forma normal de Smith .

Homología singular

Utilizando el ejemplo de homología simplicial como modelo, se puede definir una homología singular para cualquier espacio topológico X. Un complejo de cadena para X se define tomando C _n como el grupo abeliano libre (o módulo libre) cuyos generadores son todos mapas continuos de n -dimensionales simples en X . Los homomorfismos ∂ _n surgen de los mapas de límites de simples.

Homología de grupo

En álgebra abstracta , se utiliza la homología para definir funtores derivados , por ejemplo los functores Tor . Aquí se comienza con algún funtor aditivo covariante F y algún módulo X. El complejo de cadenas para X se define de la siguiente manera: primero se encuentra un módulo libre y un homomorfismo sobreyectivo . Luego se encuentra un módulo libre y un homomorfismo sobreyectivo. Siguiendo de esta manera, se puede definir una secuencia de módulos libres y homomorfismos . Aplicando el funtor F a esta secuencia, se obtiene un complejo de cadena; la homología de este complejo depende sólo de F y X y es, por definición, el n -ésimo funtor derivado de F , aplicado a X. ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle p_{1}:F_{1}\to X.}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle p_{2}:F_{2}\to \ker \left(p_{1}\right).}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle H_{n}}$

Un uso común de la (co)homología de grupo es clasificar los posibles grupos de extensión E que contienen un módulo G dado M como un subgrupo normal y tienen un grupo cociente G dado , de modo que ${\displaystyle H^{2}(G,M)}$ ${\displaystyle G=E/M.}$

Otras teorías de homología

• Homología de Borel-Moore
• Homología celular
• Homología cíclica
• Homología de Hochschild
• Homología de flor
• Homología de intersección
• Homología K
• Homología de Khovanov
• homología morse
• Homología persistente
• Homología de Steenrod

Functores de homología

Los complejos de cadena forman una categoría : un morfismo del complejo de cadena ( ) al complejo de cadena ( ) es una secuencia de homomorfismos tal que para todo n . La enésima homología H _n puede verse como un funtor covariante de la categoría de complejos de cadenas a la categoría de grupos (o módulos) abelianos. ${\displaystyle d_{n}:A_{n}\to A_{n-1}}$ ${\displaystyle e_{n}:B_{n}\to B_{n-1}}$ ${\displaystyle f_{n}:A_{n}\to B_{n}}$ ${\displaystyle f_{n-1}\circ d_{n}=e_{n}\circ f_{n}}$

Si el complejo de cadena depende del objeto X de manera covariante (lo que significa que cualquier morfismo induce un morfismo del complejo de cadena de X al complejo de cadena de Y ), entonces los H _n son funtores covariantes de la categoría a la que pertenece X la categoría de grupos abelianos (o módulos). ${\displaystyle X\to Y}$

La única diferencia entre homología y cohomología es que en cohomología los complejos de cadena dependen de manera contravariante de X y que, por lo tanto, los grupos de homología (que en este contexto se denominan grupos de cohomología y se denotan por H ⁿ ) forman functores contravariantes de la categoría que X pertenece a la categoría de grupos o módulos abelianos.

Propiedades

Si ( ) es un complejo de cadena tal que todos menos un número finito _de An son cero, y los demás son grupos abelianos generados finitamente (o espacios vectoriales de dimensión finita), entonces podemos definir la característica de Euler ${\displaystyle d_{n}:A_{n}\to A_{n-1}}$

${\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (A_{n})}$

(usando el rango en el caso de grupos abelianos y la dimensión de Hamel en el caso de espacios vectoriales). Resulta que la característica de Euler también se puede calcular en el nivel de homología:

${\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (H_{n})}$

y, especialmente en topología algebraica, esto proporciona dos formas de calcular el invariante importante para el objeto X que dio lugar al complejo de cadena. ${\displaystyle \chi }$

Cada secuencia corta y exacta

${\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0}$

de complejos de cadenas da lugar a una secuencia larga y exacta de grupos de homología

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(A)\to H_{n}(B)\to H_{n}(C)\to H_{n-1}(A)\to H_{n-1}(B)\to H_{n-1}(C)\to H_{n-2}(A)\to \cdots }$

Todos los mapas en esta secuencia larga y exacta son inducidos por los mapas entre los complejos de cadenas, excepto los mapas. Estos últimos se denominan homomorfismos de conexión y los proporciona el lema en zig-zag . Este lema se puede aplicar a la homología de numerosas formas que ayudan a calcular grupos de homología, como las teorías de homología relativa y las secuencias de Mayer-Vietoris . ${\displaystyle H_{n}(C)\to H_{n-1}(A)}$

Aplicaciones

Aplicación en matemáticas puras

Los teoremas notables demostrados mediante homología incluyen los siguientes:

• El teorema del punto fijo de Brouwer : si f es cualquier aplicación continua desde la bola B ⁿ hacia sí misma, entonces hay un punto fijo con ${\displaystyle a\in B^{n}}$ ${\displaystyle f(a)=a.}$
• Invariancia de dominio : Si U es un subconjunto abierto de y es un mapa continuo inyectivo , entonces es abierto y f es un homeomorfismo entre U y V. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle V=f(U)}$
• El teorema de la bola peluda : cualquier campo vectorial continuo en la 2 esferas (o más generalmente, la 2 k esfera para cualquiera ) desaparece en algún punto. ${\displaystyle k\geq 1}$
• El teorema de Borsuk-Ulam : cualquier función continua desde una n -esfera al espacio n euclidiano asigna algún par de puntos antípodas al mismo punto. (Dos puntos en una esfera se llaman antípodas si están en direcciones exactamente opuestas al centro de la esfera).
• Invariancia de dimensión: si los subconjuntos abiertos no vacíos y son homeomórficos, entonces ^[24] ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle m=n.}$

Aplicación en ciencia e ingeniería.

En el análisis de datos topológicos , los conjuntos de datos se consideran como un muestreo de nube de puntos de una variedad algebraica incrustada en el espacio euclidiano . Al vincular los puntos vecinos más cercanos en la nube en una triangulación, se crea una aproximación simple de la variedad y se puede calcular su homología simple. Encontrar técnicas para calcular de manera sólida la homología utilizando varias estrategias de triangulación en múltiples escalas de longitud es el tema de la homología persistente . ^[25]

En las redes de sensores , los sensores pueden comunicar información a través de una red ad hoc que cambia dinámicamente en el tiempo. Para comprender el contexto global de este conjunto de mediciones locales y rutas de comunicación, es útil calcular la homología de la topología de la red para evaluar, por ejemplo, agujeros en la cobertura. ^[26]

En teoría de sistemas dinámicos en física , Poincaré fue uno de los primeros en considerar la interacción entre la variedad invariante de un sistema dinámico y sus invariantes topológicas. La teoría de Morse relaciona la dinámica de un flujo gradiente en una variedad con, por ejemplo, su homología. La homología de Floer extendió esto a variedades de dimensión infinita. El teorema KAM estableció que las órbitas periódicas pueden seguir trayectorias complejas; en particular, pueden formar trenzas que pueden investigarse mediante homología de Floer. ^[27]

En una clase de métodos de elementos finitos , es posible que sea necesario resolver problemas de valores en la frontera para ecuaciones diferenciales que involucran al operador de Hodge-Laplace en dominios topológicamente no triviales, por ejemplo, en simulaciones electromagnéticas . En estas simulaciones, la solución se ayuda fijando la clase de cohomología de la solución en función de las condiciones de contorno elegidas y la homología del dominio. Los dominios FEM se pueden triangular, a partir de lo cual se puede calcular la homología simplicial. ^{[28] [29]}

Software

Se han desarrollado varios paquetes de software con el fin de calcular grupos de homología de complejos de células finitas. Linbox es una biblioteca de C++ para realizar operaciones matriciales rápidas, incluida la forma normal de Smith ; interactúa tanto con Gap como con Maple. Chomp, CAPD::Redhom y Perseus también están escritos en C++. Los tres implementan algoritmos de preprocesamiento basados ​​en la equivalencia de homotopía simple y la teoría de Morse discreta para realizar reducciones que preserven la homología de los complejos de células de entrada antes de recurrir al álgebra matricial. Kenzo está escrito en Lisp y, además de la homología, también se puede utilizar para generar presentaciones de grupos de homotopía de complejos simpliciales finitos. Gmsh incluye un solucionador de homología para mallas de elementos finitos, que puede generar bases de cohomología directamente utilizables por software de elementos finitos. ^[28]

Ver también

• Portal de matemáticas

• número de betti
• espacio de ciclo
• Cohomología de De Rham
• Axiomas de Eilenberg-Steenrod
• Extraordinaria teoría de la homología.
• Álgebra homológica
• Conjeturas homológicas en álgebra conmutativa
• Conectividad homológica
• Dimensión homológica
• Grupo de homotopía
• teorema de künneth
• Lista de teorías de cohomología - también tiene una lista de teorías de homología
• Dualidad de Poincaré

Notas

1. en parte del griego ὁμός homos "idéntico"
2. Stillwell 1993, pág. 170
3. Weibel 1999, págs. 2-3 (en PDF)
4. Richeson 2008, pág. 254
5. Semanas, Jeffrey R. (2001). La forma del espacio. Prensa CRC. ISBN 978-0-203-91266-9.
6. Richeson 2008
7. Richeson 2008, pag. 258
8. Weibel 1999, pág. 4
9. Hilton 1988, pag. 284
10. Por ejemplo L'émergence de la notion de groupe d'homologie, Nicolas Basbois (PDF), en francés, nota 41, menciona explícitamente a Noether como inventor del grupo de homología.
11. Hirzebruch, Friedrich, Emmy Noether y Topología en Teicher 1999, págs. 61–63.
12. Bourbaki y topología algebraica por John McCleary (PDF) Archivado el 23 de julio de 2008 en Wayback Machine proporciona documentación (traducida al inglés a partir de originales franceses).
13. Richeson 2008, pag. 264
14. Español 1966, pag. 155
15. Gowers, Barrow-Green y Leader 2010, págs. 390–391
16. Wildberger, Norman J. (2012). "Más cálculos de homología". YouTube . Archivado desde el original el 11 de diciembre de 2021.
17. Hatcher 2002, pág. 106
18. Wildberger, Norman J. (2012). "Complejos delta, números de Betti y torsión". YouTube . Archivado desde el original el 11 de diciembre de 2021.
19. Hatcher 2002, págs. 105-106
20. Hatcher 2002, pag. 113
21. Hatcher 2002, pag. 110
22. Wildberger, Nueva Jersey (2012). "Una introducción a la homología". YouTube . Archivado desde el original el 11 de diciembre de 2021.
23. Español 1966, pag. 156
24. Hatcher 2002, pag. 126.
25. "Descripción general de CompTop" . Consultado el 16 de marzo de 2014 .
26. "Robert Ghrist: topología aplicada" . Consultado el 16 de marzo de 2014 .
27. van den Berg, JB; Grist, R.; Vandervorst, RC; Wójcik, W. (2015). "Homología de Braid Floer" (PDF) . Revista de Ecuaciones Diferenciales . 259 (5): 1663-1721. Código Bib : 2015JDE...259.1663V. doi : 10.1016/j.jde.2015.03.022 . S2CID  16865053.
28. Pellikka, M; S. Suuriniemi; L. Kettunen; C. Geuzaine (2013). "Cálculo de homología y cohomología en modelado de elementos finitos" (PDF) . SIAM J. Ciencias. Computación . 35 (5): B1195-B1214. Código Bib : 2013SJSC...35B1195P. CiteSeerX 10.1.1.716.3210 . doi :10.1137/130906556. 
29. Arnold, Douglas N.; Richard S. Falk; Ragnar Winther (16 de mayo de 2006). "Cálculo exterior de elementos finitos, técnicas homológicas y aplicaciones". Acta Numérica . 15 : 1–155. Código Bib : 2006AcNum..15....1A. doi :10.1017/S0962492906210018. S2CID  122763537.

Referencias

• Cartan, Henri Paul ; Eilenberg, Samuel (1956). Álgebra homológica . Serie matemática de Princeton. vol. 19. Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 9780674079779. OCLC  529171.
• Eilenberg, Samuel; Moore, JC (1965). Fundamentos del álgebra homológica relativa . Memorias del número de la Sociedad Matemática Estadounidense. vol. 55. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 9780821812556. OCLC  1361982.
• Gowers, Timoteo ; Barrow-Green, junio ; Líder, Imre, eds. (2010), El compañero de Princeton para las matemáticas , Princeton University Press, ISBN 9781400830398.
• Hatcher, A. (2002), Topología algebraica, Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0. Discusión detallada de teorías de homología para complejos y variedades simpliciales, homología singular, etc.
• Hilton, Peter (1988), "Una breve historia subjetiva de la homología y la teoría de la homotopía en este siglo", Revista de Matemáticas , Asociación Matemática de América, 60 (5): 282–291, doi :10.1080/0025570X.1988.11977391, JSTOR  2689545
• Richeson, D. (2008), La gema de Euler: la fórmula del poliedro y el nacimiento de la topología , Universidad de Princeton.
• Spanier, Edwin H. (1966), Topología algebraica , Springer, pág. 155, ISBN 0-387-90646-0.
• Stillwell, John (1993), "Teoría de la homología y abelianización", Topología clásica y teoría combinatoria de grupos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 72, Springer, págs. 169–184, doi :10.1007/978-1-4612-4372-4_6, ISBN 978-0-387-97970-0.
• Teicher, M. , ed. (1999), The Heritage of Emmy Noether , Actas de la conferencia de matemáticas de Israel, Universidad Bar-Ilan / Sociedad Matemática Estadounidense / Oxford University Press , ISBN 978-0-19-851045-1, OCLC  223099225
• Weibel, Charles A. (1999), "28. Historia del álgebra homológica" (PDF) , en James, IM (ed.), Historia de la topología , Elsevier, ISBN 9780080534077.

enlaces externos

• Grupo de homología de la Enciclopedia de Matemáticas.
• [1] Introducción de NJ Windberger a la topología algebraica, últimas seis conferencias con una introducción sencilla a la homología
• [2] Topología algebraica Allen Hatcher - Capítulo 2 sobre homología