Número de taxi

Número entero más pequeño que se puede expresar como suma de dos cubos enteros positivos de n maneras distintas

Srinivasa Ramanujan ( en la foto ) estaba postrado en cama cuando desarrolló la idea de los números de taxi, según una anécdota de GH Hardy .

En matemáticas , el n- ésimo número de taxi , normalmente denotado Ta( n ) o Taxicab( n ), se define como el entero más pequeño que se puede expresar como una suma de dos cubos enteros positivos de n formas distintas. ^[1] El número de taxi más famoso es 1729 = Ta(2) = 1 ³ + 12 ³ = 9 ³ + 10 ³ , también conocido como el número de Hardy-Ramanujan. ^{[2] [3]}

El nombre deriva de una conversación que tuvieron alrededor de  1919 los matemáticos G. H. Hardy y Srinivasa Ramanujan . Según lo contó Hardy:

Recuerdo que una vez fui a verlo [a Ramanujan] cuando estaba enfermo en Putney . Yo había viajado en el taxi número 1729 y le comenté que el número parecía bastante aburrido y que esperaba que no fuera un mal presagio. "No", respondió, "es un número muy interesante; es el número más pequeño que se puede expresar como la suma de dos cubos de dos maneras diferentes". ^{[4] [5]}

Historia y definición

Los pares de sumandos del número de Hardy-Ramanujan Ta(2) = 1729 fueron mencionados por primera vez por Bernard Frénicle de Bessy , quien publicó su observación en 1657. 1729 se hizo famoso como el primer número de taxi a principios del siglo XX por una historia que involucra a Srinivasa Ramanujan al afirmar que era el más pequeño para su ejemplo particular de dos sumandos. En 1938, GH Hardy y EM Wright demostraron que tales números existen para todos los números enteros positivos n , y su prueba se convierte fácilmente en un programa para generar tales números. Sin embargo, la prueba no hace ninguna afirmación sobre si los números así generados son los más pequeños posibles y, por lo tanto, no se puede usar para encontrar el valor real de Ta( n ).

Los números de taxi posteriores a 1729 se encontraron con la ayuda de computadoras. John Leech obtuvo Ta(3) en 1957. E. Rosenstiel, JA Dardis y CR Rosenstiel encontraron Ta(4) en 1989. ^[6] JA Dardis encontró Ta(5) en 1994 y fue confirmado por David W. Wilson en 1999. ^{[7] [8]} Ta(6) fue anunciado por Uwe Hollerbach en la lista de correo NMBRTHRY el 9 de marzo de 2008, ^[9] después de un artículo de 2003 de Calude et al. que dio una probabilidad del 99% de que el número fuera en realidad Ta(6). ^[10] Los límites superiores para Ta(7) a Ta(12) fueron encontrados por Christian Boyer en 2006. ^[11]

La restricción de los sumandos a números positivos es necesaria, porque permitir números negativos permite más (y más pequeñas) instancias de números que pueden expresarse como sumas de cubos de n maneras distintas. Se ha introducido el concepto de número de taxi para permitir definiciones alternativas y menos restrictivas de esta naturaleza. En cierto sentido, la especificación de dos sumandos y potencias de tres también es restrictiva; un número de taxi generalizado permite que estos valores sean distintos de dos y tres, respectivamente.

Números de taxis conocidos

Hasta el momento se conocen los siguientes 6 números de taxi:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (1)=&\ 2\\&=1^{3}+1^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (2)=&\ 1729\\&=1^{3}+12^{3}\\&=9^{3}+10^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (3)=&\ 87539319\\&=167^{3}+436^{3}\\&=228^{3}+423^{3}\\&=255^{3}+414^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (4)=&\ 6963472309248\\&=2421^{3}+19083^{3}\\&=5436^{3}+18948^{3}\\&=10200^{3}+18072^{3}\\&=13322^{3}+16630^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (5)=&\ 48988659276962496\\&=38787^{3}+365757^{3}\\&=107839^{3}+362753^{3}\\&=205292^{3}+342952^{3}\\&=221424^{3}+336588^{3}\\&=231518^{3}+331954^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (6)=&\ 24153319581254312065344\\&=582162^{3}[phone]^{3}\\&=3064173^{3}[phone]^{3}\\&=8519281^{3}[phone]^{3}\\&=16218068^{3}[phone]^{3}\\&=17492496^{3}[phone]^{3}\\&=18289922^{3}[phone]^{3}\end{aligned}}}$$

Límites superiores para el número de taxis

Para los siguientes números de taxis se conocen los límites superiores:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (7)\leq &\ 24885189317885898975235988544\\&=2648660966^{3}[phone]^{3}\\&=2685635652^{3}[phone]^{3}\\&=2736414008^{3}[phone]^{3}\\&=2894406187^{3}[phone]^{3}\\&=2915734948^{3}[phone]^{3}\\&=2918375103^{3}[phone]^{3}\\&=2919526806^{3}[phone]^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (8)\leq &\ 50974398750539071400590819921724352\\&=299512063576^{3}[phone]^{3}\\&=336379942682^{3}[phone]^{3}\\&=341075727804^{3}[phone]^{3}\\&=347524579016^{3}[phone]^{3}\\&=367589585749^{3}[phone]^{3}\\&=370298338396^{3}[phone]^{3}\\&=370633638081^{3}[phone]^{3}\\&=370779904362^{3}[phone]^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (9)\leq &\ 136897813798023990395783317207361432493888\\&=41632176837064^{3}[phone]^{3}\\&=46756812032798^{3}[phone]^{3}\\&=47409526164756^{3}[phone]^{3}\\&=48305916483224^{3}[phone]^{3}\\&=51094952419111^{3}[phone]^{3}\\&=51471469037044^{3}[phone]^{3}\\&=51518075693259^{3}[phone]^{3}\\&=51530042142656^{3}[phone]^{3}\\&=51538406706318^{3}[phone]^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (10)\leq &\ 7335345315241855602572782233444632535674275447104\\&=15695330667573128^{3}+15137846555691028^{3}\\&=17627318136364846^{3}+12293996879974082^{3}\\&=17873391364113012^{3}+11757988429199376^{3}\\&=18211330514175448^{3}+10901351979041108^{3}\\&=19262797062004847^{3}+5726433061530961^{3}\\&=19404743826965588^{3}+3058262831974168^{3}\\&=19422314536358643^{3}+2059655218961613^{3}\\&=19426825887781312^{3}+1536982932706676^{3}\\&=19429379778270560^{3}[phone]^{3}\\&=19429979328281886^{3}[phone]^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (11)\leq &\ 2818537360434849382734382145310807703728251895897826621632\\&=11410505395325664056^{3}+11005214445987377356^{3}\\&=12815060285137243042^{3}+8937735731741157614^{3}\\&=12993955521710159724^{3}+8548057588027946352^{3}\\&=13239637283805550696^{3}+7925282888762885516^{3}\\&=13600192974314732786^{3}+6716379921779399326^{3}\\&=14004053464077523769^{3}+4163116835733008647^{3}\\&=14107248762203982476^{3}+2223357078845220136^{3}\\&=14120022667932733461^{3}+1497369344185092651^{3}\\&=14123302420417013824^{3}+1117386592077753452^{3}\\&=14125159098802697120^{3}+657258405504578668^{3}\\&=14125594971660931122^{3}+284485090153030494^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (12)\leq &\ 73914858746493893996583617733225161086864012865017882136931801625152\\&=33900611529512547910376^{3}+32696492119028498124676^{3}\\&=38073544107142749077782^{3}+26554012859002979271194^{3}\\&=38605041855000884540004^{3}+25396279094031028611792^{3}\\&=39334962370186291117816^{3}+23546015462514532868036^{3}\\&=40406173326689071107206^{3}+19954364747606595397546^{3}\\&=41606042841774323117699^{3}+12368620118962768690237^{3}\\&=41912636072508031936196^{3}+6605593881249149024056^{3}\\&=41950587346428151112631^{3}+4448684321573910266121^{3}\\&=41960331491058948071104^{3}+3319755565063005505892^{3}\\&=41965847682542813143520^{3}+1952714722754103222628^{3}\\&=41965889731136229476526^{3}+1933097542618122241026^{3}\\&=41967142660804626363462^{3}+845205202844653597674^{3}\end{aligned}}}$$

Números de taxis de Cubefree

Un problema de taxi más restrictivo requiere que el número de taxi sea libre de cubos , lo que significa que no es divisible por ningún cubo que no sea 1 ³ . Cuando un número de taxi libre de cubos T se escribe como T = x ³ + y ³ , los números x e y deben ser primos entre sí . Entre los números de taxi Ta( n ) enumerados anteriormente, solo Ta(1) y Ta(2) son números de taxi libres de cubos. El número de taxi libre de cubos más pequeño con tres representaciones fue descubierto por Paul Vojta (inédito) en 1981 mientras era estudiante de posgrado:

$${\displaystyle {\begin{aligned}15170835645&=517^{3}+2468^{3}\\&=709^{3}+2456^{3}\\&=1733^{3}+2152^{3}\end{aligned}}}$$

El número de taxi sin cubo más pequeño con cuatro representaciones fue descubierto por Stuart Gascoigne e independientemente por Duncan Moore en 2003:

$${\displaystyle {\begin{aligned}1801049058342701083&=92227^{3}+1216500^{3}\\&=136635^{3}+1216102^{3}\\&=341995^{3}+1207602^{3}\\&=600259^{3}+1165884^{3}\end{aligned}}}$$(secuencia A080642 en la OEIS ).

Véase también

• 1729 (número)  – Número de Hardy-Ramanujan
• Ecuación diofántica  : ecuación polinómica cuyas soluciones enteras se buscan
• Conjetura de la suma de potencias de Euler  : conjetura refutada en teoría de números
• Número de taxi generalizado  : el número más pequeño que se puede expresar como la suma de j números a la k-ésima potencia de n maneras
• Conjetura de Beal  – Conjetura matemáticaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Ecuación de Jacobi-Madden  : ecuación diofántica atribuida a Jacobi y Madden
• Problema de Prouhet-Tarry-Escott
• Cuádruple pitagórico  : Cuatro números enteros donde la suma de los cuadrados de tres es igual al cuadrado del cuarto.
• Sumas de tres cubos  – Problema de teoría de números
• Sumas de potencias  : lista de contextos matemáticos en los que se suman términos exponenciales, una lista de conjeturas y teoremas relacionados

Notas

1. "Número de taxi". Wolfram Mathworld .
2. "Número de Hardy-Ramanujan". Wolfram Mathworld .
3. Grime, James; Bowley, Roger. Haran, Brady (ed.). 1729: Número de taxi o número de Hardy-Ramanujan. Numberphile.
4. Citas de GH Hardy, MacTutor Historia de las matemáticas Archivado el 16 de julio de 2012 en Wayback Machine.
5. Silverman, Joseph H. (1993). "Taxicabs and sums of two cubes" (Taxi y sumas de dos cubos). Amer. Math. Monthly ( Matemáticas mensuales) . 100 (4): 331–340. doi :10.2307/2324954. JSTOR  2324954.
6. Columna Numbers Count, Personal Computer World, página 234, noviembre de 1989
7. Columna de recuento de números de Personal Computer World, página 610, febrero de 1995
8. "El número del quinto taxi es 48988659276962496" de David W. Wilson
9. Archivos NMBRTHRY – Marzo de 2008 (#10) "El sexto número de taxi es 24153319581254312065344" por Uwe Hollerbach
10. CS Calude, E. Calude y MJ Dinneen: ¿Cuál es el valor de Taxicab(6)?, Journal of Universal Computer Science , vol. 9 (2003), págs. 1196-1203
11. "'Nuevos límites máximos para los números de taxis y taxis de pasajeros'" Christian Boyer, Francia, 2006-2008

Referencias

• GH Hardy y EM Wright, Introducción a la teoría de números , 3.ª ed., Oxford University Press, Londres y Nueva York, 1954, Thm. 412.
• J. Leech, Algunas soluciones de ecuaciones diofánticas , Proc. Camb. Phil. Soc. 53, 778–780, 1957.
• E. Rosenstiel, JA Dardis y CR Rosenstiel, Las cuatro soluciones mínimas en números enteros positivos distintos de las ecuaciones diofánticas = x ³ + y ³ = z ³ + w ³ = u ³ + v ³ = m ³ + n ³ , Bull. Inst. Math. Appl. , 27(1991) 155–157; MR 1125858, en línea.
• David W. Wilson, El quinto taxi tiene un número de serie 48988659276962496 , Journal of Integer Sequences , vol. 2 (1999), en línea. (Wilson no sabía que JA Dardis había descubierto Ta(5) en 1994 cuando escribió esto.)
• DJ Bernstein, Enumeración de soluciones a ⁠ ⁠ ${\displaystyle p(a)+q(b)=r(c)+s(d)}$ , Matemáticas de la computación 70, 233 (2000), 389–394.
• CS Calude, E. Calude y MJ Dinneen: ¿Cuál es el valor de Taxicab(6)?, Journal of Universal Computer Science , vol. 9 (2003), págs. 1196–1203

Enlaces externos

• Una publicación de 2002 en la lista de correo de teoría de números de Randall L. Rathbun
• Grime, James; Bowley, Roger. Haran, Brady (ed.). 1729: Número de taxi o número de Hardy-Ramanujan. Numberphile.
• Taxi y otras matemáticas en Euler
• Singh, Simon . Haran, Brady (ed.). "Números de taxis en Futurama". Numberphile.