Número de taxi generalizado

Número más pequeño expresable como la suma de j números elevado a la k-ésima potencia de n maneras

Problema no resuelto en matemáticas :

¿Existe algún número que pueda expresarse como suma de dos quintas potencias positivas al menos de dos maneras diferentes, es decir, ? ${\displaystyle a^{5}+b^{5}=c^{5}+d^{5}}$

(más problemas sin resolver en matemáticas)

En teoría de números , el número de taxi generalizado Taxicab( k , j , n ) es el número más pequeño, si existe, que puede expresarse como la suma de j números elevado a la k -ésima potencia positiva de n maneras diferentes. Para k = 3 y j = 2 , coinciden con el número de taxi .

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Taxicab} (1,2,2)&=4=1+3=2+2\\\mathrm {Taxicab} (2,2,2)&=50=1^{2}+7^{2}=5^{2}+5^{2}\\\mathrm {Taxicab} (3,2,2)&=1729=1^{3}+12^{3}=9^{3}+10^{3}\end{aligned}}}$

El último ejemplo es 1729 , como lo señaló por primera vez Ramanujan .

Euler demostró que

$${\displaystyle \mathrm {Taxicab} (4,2,2)=635318657=59^{4}+158^{4}=133^{4}+134^{4}.}$$

Sin embargo, Taxicab(5, 2, n ) no se conoce para ningún n ≥ 2 : no se conoce ningún número entero
positivo que pueda escribirse como la suma de dos quintas potencias en más de una forma, y ​​no se sabe si dicho número existe. ^[1]

La variable más grande debe ser al menos 3450. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle a^{5}+b^{5}=c^{5}+d^{5}}$

Ver también

• Número de taxi

Referencias

1. Chico, Richard K. (2004). Problemas no resueltos en teoría de números (Tercera ed.). Nueva York, Nueva York, EE.UU.: Springer-Science+Business Media, Inc. ISBN 0-387-20860-7.

• Ekl, Randy L. (1998). "Nuevos resultados en sumas iguales de poderes similares". Matemáticas. comp . 67 (223): 1309-1315. doi : 10.1090/S0025-5718-98-00979-X . SEÑOR  1474650.

enlaces externos

• Números de taxi generalizados y números de taxi
• Números de taxi - 4ta potencia
• Números de taxis por Walter Schneider