Ramanujan, el primer libro

Número primo que cumple una desigualdad relacionada con la función de conteo de primos

En matemáticas , un primo de Ramanujan es un número primo que satisface un resultado demostrado por Srinivasa Ramanujan relacionado con la función de conteo de primos .

Orígenes y definición

En 1919, Ramanujan publicó una nueva prueba del postulado de Bertrand que, como él mismo señala, fue demostrado por primera vez por Chebyshev . ^[1] Al final del artículo publicado de dos páginas, Ramanujan dedujo un resultado generalizado, que es:

${\displaystyle \pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)\geq 1,2,3,4,5,\ldots {\text{ for all }}x\geq 2,11,17,29,41,\ldots {\text{ respectively}}}$    Norma OEIS : A104272

donde es la función de conteo de primos , igual al número de primos menores o iguales a  x . ${\displaystyle \pi (x)}$

El inverso de este resultado es la definición de los primos de Ramanujan:

El n- ésimo primo de Ramanujan es el menor entero R _n para el cual para todo x ≥ R _n . ^[2] En otras palabras: los primos de Ramanujan son los menores enteros R _n para los cuales hay al menos n primos entre x y x /2 para todo x ≥ R _n . ${\displaystyle \pi (x)-\pi (x/2)\geq n,}$

Los primeros cinco números primos de Ramanujan son, por tanto, 2, 11, 17, 29 y 41.

Nótese que el entero R _n es necesariamente un número primo: y, por lo tanto, debe aumentar obteniendo otro primo en x = R _n . Como puede aumentar como máximo en 1, ${\displaystyle \pi (x)-\pi (x/2)}$ ${\displaystyle \pi (x)}$ ${\displaystyle \pi (x)-\pi (x/2)}$

${\displaystyle \pi (R_{n})-\pi \left({\frac {R_{n}}{2}}\right)=n.}$

Límites y fórmula asintótica

Para todos , los límites ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle 2n\ln 2n<R_{n}<4n\ln 4n}$

espera. Si , entonces también ${\displaystyle n>1}$

${\displaystyle p_{2n}<R_{n}<p_{3n}}$

donde p _n es el n- ésimo número primo.

Como n tiende a infinito, R _n es asintótico al 2 n º primo, es decir,

R _n ~ p _{2 n} ( n → ∞).

Todos estos resultados fueron probados por Sondow (2009), ^[3] excepto el límite superior R _n < p _{3 n} que fue conjeturado por él y probado por Laishram (2010). ^[4] El límite fue mejorado por Sondow, Nicholson y Noe (2011) ^[5] a

${\displaystyle R_{n}\leq {\frac {41}{47}}\ p_{3n}}$

que es la forma óptima de R _n ≤ c·p _{3 n} ya que es una igualdad para n = 5.

Referencias

1. Ramanujan, S. (1919), "Una prueba del postulado de Bertrand", Revista de la Sociedad Matemática de la India , 11 : 181–182
2. Jonathan Sondow. "Ramanujan Prime". MathWorld .
3. Sondow, J. (2009), "Primos de Ramanujan y postulado de Bertrand", Amer. Math. Monthly , 116 (7): 630–635, arXiv : 0907.5232 , doi :10.4169/193009709x458609
4. Laishram, S. (2010), "Sobre una conjetura sobre los números primos de Ramanujan" (PDF) , International Journal of Number Theory , 6 (8): 1869–1873, CiteSeerX 10.1.1.639.4934 , doi :10.1142/s1793042110003848 .
5. Sondow, J.; Nicholson, J.; Noe, TD (2011), "Primos de Ramanujan: límites, series, gemelos y huecos" (PDF) , Journal of Integer Sequences , 14 : 11.6.2, arXiv : 1105.2249 , Bibcode :2011arXiv1105.2249S