Transformación de secuencia

Un operador matemático que actúa sobre un espacio dado de secuencias.

En matemáticas , una transformación de secuencia es un operador que actúa sobre un espacio dado de secuencias (un espacio de secuencia ). Las transformaciones de secuencia incluyen mapeos lineales como la convolución con otra secuencia y la reanudación de una secuencia y, de manera más general, se usan comúnmente para la aceleración de series , es decir, para mejorar la tasa de convergencia de una secuencia o serie lentamente convergente . Las transformaciones de secuencia también se usan comúnmente para calcular numéricamente el antilímite de una serie divergente y se usan junto con métodos de extrapolación .

Descripción general

Los ejemplos clásicos de transformaciones de secuencia incluyen la transformada binomial , la transformada de Möbius , la transformada de Stirling y otras.

Definiciones

Para una secuencia dada

${\displaystyle S=\{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },\,}$

la secuencia transformada es

${\displaystyle \mathbf {T} (S)=S'=\{s'_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },\,}$

donde los miembros de la secuencia transformada generalmente se calculan a partir de un número finito de miembros de la secuencia original, es decir

${\displaystyle s_{n}'=T(s_{n},s_{n+1},\dots ,s_{n+k})}$

para algunos que a menudo depende de (cf. por ejemplo, transformación binomial ). En el caso más simple, y son números reales o complejos . De manera más general, pueden ser elementos de algún espacio vectorial o álgebra . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle s_{n}}$ ${\displaystyle s'_{n}}$

En el contexto de la aceleración de la convergencia, se dice que la secuencia transformada converge más rápido que la secuencia original si

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s'_{n}-\ell }{s_{n}-\ell }}=0}$

¿Dónde está el límite de , que se supone convergente? En este caso se obtiene una aceleración de convergencia . Si la secuencia original es divergente , la transformación de secuencia actúa como método de extrapolación al antilímite . ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \ell }$

Si el mapeo es lineal en cada uno de sus argumentos, es decir, para ${\displaystyle T}$

${\displaystyle s'_{n}=\sum _{m=0}^{k}c_{m}s_{n+m}}$

para algunas constantes (que pueden depender de n ), la transformación de secuencia se llama transformación de secuencia lineal . Las transformaciones de secuencia que no son lineales se denominan transformaciones de secuencia no lineales. ${\displaystyle c_{0},\dots ,c_{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$

Ejemplos

Los ejemplos más simples de transformaciones de secuencia (lineales) incluyen el desplazamiento de todos los elementos (resp. = 0 si n  +  k  < 0) para una k fija y la multiplicación escalar de la secuencia. ${\displaystyle s'_{n}=s_{n+k}}$

Un ejemplo menos trivial sería la convolución discreta con una secuencia fija. Una forma particularmente básica es el operador diferencia , que es convolución con la secuencia y es un análogo discreto de la derivada . La transformada binomial es otra transformación lineal de tipo aún más general. ${\displaystyle (-1,1,0,\ldots ),}$

Un ejemplo de transformación de secuencia no lineal es el proceso delta cuadrado de Aitken , utilizado para mejorar la tasa de convergencia de una secuencia lentamente convergente. Una forma ampliada de esto es la transformación de Shanks . La transformada de Möbius también es una transformación no lineal, sólo posible para secuencias enteras .

Ver también

• Proceso delta cuadrado de Aitken
• Extrapolación polinomial mínima
• extrapolación de Richardson
• Aceleración en serie
• El método de Steffensen.

Referencias

• Hugh J. Hamilton, "Teorema de Mertens y transformaciones de secuencia", AMS (1947)

enlaces externos

• Transformaciones de secuencias enteras, una subpágina de la Enciclopedia en línea de secuencias enteras