La fórmula de Perron

Fórmula para calcular la suma de una función aritmética en la teoría analítica de números

En matemáticas , y más particularmente en teoría analítica de números , la fórmula de Perron es una fórmula debida a Oskar Perron para calcular la suma de una función aritmética , mediante una transformada de Mellin inversa .

Declaración

Sea una función aritmética y sea ${\displaystyle \{a(n)\}}$

${\displaystyle g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}}$

sea ​​la serie de Dirichlet correspondiente . Supongamos que la serie de Dirichlet es uniformemente convergente para . Entonces la fórmula de Perron es ${\displaystyle \Re (s)>\sigma }$

${\displaystyle A(x)={\sum _{n\leq x}}'a(n)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }g(z){\frac {x^{z}}{z}}\,dz.}$

Aquí, el primo en la sumatoria indica que el último término de la suma debe multiplicarse por 1/2 cuando x es un entero . La integral no es una integral de Lebesgue convergente ; se entiende como el valor principal de Cauchy . La fórmula requiere que c > 0, c > σ y x > 0.

Prueba

Un esquema sencillo de la prueba se obtiene tomando la fórmula de la suma de Abel.

${\displaystyle g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }A(x)x^{-(s+1)}dx.}$

Esto no es más que una transformada de Laplace bajo el cambio de variable . Invirtiéndola se obtiene la fórmula de Perron. ${\displaystyle x=e^{t}.}$

Ejemplos

Debido a su relación general con la serie de Dirichlet, la fórmula se aplica comúnmente a muchas sumas de teoría de números. Así, por ejemplo, se tiene la famosa representación integral de la función zeta de Riemann :

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor x\rfloor }{x^{s+1}}}\,dx}$

y una fórmula similar para las funciones L de Dirichlet :

${\displaystyle L(s,\chi )=s\int _{1}^{\infty }{\frac {A(x)}{x^{s+1}}}\,dx}$

dónde

${\displaystyle A(x)=\sum _{n\leq x}\chi (n)}$

y es un carácter de Dirichlet . Otros ejemplos aparecen en los artículos sobre la función de Mertens y la función de von Mangoldt . ${\displaystyle \chi (n)}$

Generalizaciones

La fórmula de Perron es sólo un caso especial de la convolución discreta de Mellin.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a(n)f(n/x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }F(s)G(s)x^{s}ds}$

dónde

${\displaystyle G(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}}$

y

${\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(x)x^{s-1}dx}$

La transformada de Mellin. La fórmula de Perron es simplemente el caso especial de la función de prueba para la función escalonada de Heaviside . ${\displaystyle f(1/x)=\theta (x-1),}$ ${\displaystyle \theta (x)}$

Referencias

• Página 243 de Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR  0434929, Zbl  0335.10001
• Weisstein, Eric W. "La fórmula de Perron". MathWorld .
• Tenenbaum, Gérald (1995). Introducción a la teoría analítica y probabilística de números . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 46. Traducido por CB Thomas. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN. 0-521-41261-7.Zbl 0831.11001  .