Eventualmente (matemáticas)

En las áreas matemáticas de la teoría y el análisis de números , se dice que una secuencia infinita o una función eventualmente tiene una determinada propiedad , si no tiene dicha propiedad en todas sus instancias ordenadas, pero la tendrá después de que hayan pasado algunas instancias. El uso del término "eventualmente" puede reformularse a menudo como "para números suficientemente grandes", ^[1] y también puede extenderse a la clase de propiedades que se aplican a elementos de cualquier conjunto ordenado (como secuencias y subconjuntos de ). ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Notación

La forma general donde se encuentra la frase eventualmente (o suficientemente grande ) aparece de la siguiente manera:

${\displaystyle P}$eventualmente es cierto para ( es cierto para suficientemente grande ), ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x}$

donde y son los cuantificadores universales y existenciales , que en realidad es una abreviatura de: ${\displaystyle \forall }$ ${\displaystyle \exists }$

${\displaystyle \exists a\in \mathbb {R} }$tal que es verdad ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \forall x\geq a}$

o algo más formal:

${\displaystyle \exists a\in \mathbb {R} :\forall x\in \mathbb {R} :x\geq a\Rightarrow P(x)}$

Esto no significa necesariamente que se conozca ningún valor particular de para, sino sólo que tal valor existe. La frase "suficientemente grande" no debe confundirse con las frases " arbitrariamente grande " o " infinitamente grande". Para obtener más información, consulte Arbitrariamente grande#Arbitrariamente grande frente a suficientemente grande frente a infinitamente grande . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

Motivación y definición.

Para una secuencia infinita, a menudo uno está más interesado en los comportamientos a largo plazo de la secuencia que en los comportamientos que exhibe al principio. En cuyo caso, una forma de capturar formalmente este concepto es decir que la secuencia posee eventualmente una determinada propiedad , o equivalentemente, que la propiedad es satisfecha por una de sus subsecuencias , para algunos . ^[2] ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq N}}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$

Por ejemplo, la definición de una secuencia de números reales que convergen hasta algún límite es: ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle a}$

Para cada número positivo existe un número natural tal que para todos , . ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle \left\vert a_{n}-a\right\vert <\varepsilon }$

Cuando el término "eventualmente " se utiliza como abreviatura de "existe un número natural tal que para todos ", la definición de convergencia se puede reformular de manera más simple como: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n>N}$

Por cada número positivo , eventualmente . ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \left\vert a_{n}-a\right\vert <\varepsilon }$

Aquí, observe que el conjunto de números naturales que no satisfacen esta propiedad es un conjunto finito; es decir, el conjunto está vacío o tiene un elemento máximo. Como resultado, el uso de "eventualmente" en este caso es sinónimo de la expresión "para todos menos un número finito de términos", un caso especial de la expresión "para casi todos los términos" (aunque "casi todos" también puede ser utilizado para permitir infinitas excepciones también).

En el nivel básico, se puede considerar una secuencia como una función con números naturales como dominio , y la noción de "eventualmente" también se aplica a funciones en conjuntos más generales, en particular a aquellas que tienen un orden sin elemento mayor. .

Más específicamente, si es un conjunto de este tipo y hay un elemento tal que la función está definida para todos los elementos mayores que , entonces se dice que eventualmente tiene alguna propiedad si hay un elemento tal que siempre que , tenga dicha propiedad. Esta noción se utiliza, por ejemplo, en el estudio de los campos de Hardy , que son campos formados por funciones reales, cada una de las cuales tiene eventualmente ciertas propiedades. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x>x_{0}}$ ${\displaystyle f(x)}$

Ejemplos

• "Todos los números primos mayores que 2 son impares " se puede escribir como "Eventualmente, todos los números primos son impares".
• Al final, todos los números primos son congruentes con ±1 módulo 6.
• El cuadrado de un número primo es eventualmente congruente con 1 mod 24 (específicamente, esto es cierto para todos los números primos mayores que 3).
• El factorial de un número natural eventualmente termina en el dígito 0 (específicamente, esto es cierto para todos los números naturales mayores que 4).

Otros usos en matemáticas

• Una variedad de 3 se considera suficientemente grande si contiene una superficie incompresible de 2 lados adecuadamente incrustada . Esta propiedad es el requisito principal para que una variedad de 3 se llame variedad de Haken .
• La lógica temporal introduce un operador que se puede utilizar para expresar declaraciones interpretables como: Cierta propiedad eventualmente se mantendrá en un momento futuro.

Ver también

• Casi todos
• Notación O grande
• Jerga matemática
• Teoría de los números

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Suficientemente grande". mathworld.wolfram.com . Consultado el 20 de noviembre de 2019 .
2. Weisstein, Eric W. "Eventualmente". mathworld.wolfram.com . Consultado el 20 de noviembre de 2019 .