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valoración p-ádica

En teoría de números , la valoración p - ádica u orden p -ádico de un entero n es el exponente de la potencia más alta del número primo p que divide a n . Se denota . Equivalentemente, es el exponente a que aparece en la factorización prima de .

La valoración p -ádica es una valoración y da lugar a un análogo del valor absoluto habitual . Mientras que la completitud de los números racionales con respecto al valor absoluto habitual da lugar a los números reales , la completitud de los números racionales con respecto al valor absoluto -ádico da lugar a los números p -ádicos . [1]

Distribución de números naturales según su valoración 2-ádica, etiquetada con las potencias de dos correspondientes en decimal. El cero tiene una valoración infinita.

Definición y propiedades

Sea p un número primo .

Números enteros

La valoración p -ádica de un entero se define como

donde denota el conjunto de números naturales (incluido el cero) y denota divisibilidad de por . En particular, es una función . [2]

Por ejemplo, , , y desde .

La notación se utiliza a veces para significar . [3]

Si es un entero positivo, entonces

;

Esto se desprende directamente de .

Números racionales

La valoración p -ádica se puede extender a los números racionales como la función

[4] [5]

definido por

Por ejemplo, y desde entonces .

Algunas propiedades son:

Además, si , entonces

donde es el mínimo (es decir, el menor de los dos).

Fórmula para lapag-Valoración ádica de números enteros

La fórmula de Legendre muestra que:

. Para cualquier entero positivo n , y .

Por lo tanto, .

Esta suma infinita se puede reducir a .

Esta fórmula se puede extender a valores enteros negativos para obtener:

pag-valor absoluto ádico

El valor absoluto p -ádico (o norma p -ádica, [6] aunque no es una norma en el sentido de análisis) en es la función

definido por

Por lo tanto, para todos y por ejemplo, y

El valor absoluto p -ádico satisface las siguientes propiedades.

De la multiplicatividad se sigue que para las raíces de la unidad y y en consecuencia también La subaditividad se sigue de la desigualdad del triángulo no arquimediano .

La elección de la base p en la exponenciación no supone ninguna diferencia para la mayoría de las propiedades, pero respalda la fórmula del producto:

donde se toma el producto de todos los primos p y el valor absoluto usual, denotado . Esto se deduce simplemente de tomar la factorización prima : cada factor de potencia primo contribuye con su recíproco a su valor absoluto p -ádico, y luego el valor absoluto arquimediano usual los cancela a todos.

Se puede formar un espacio métrico en el conjunto con una métrica ( no arquimediana , invariante en la traslación ).

definido por

La finalización de con respecto a esta métrica conduce al conjunto de números p -ádicos.

Véase también

Referencias

  1. ^ Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2003). Álgebra abstracta (3.ª ed.). Wiley. págs. 758–759. ISBN 0-471-43334-9.
  2. ^ Ireland, K.; Rosen, M. (2000). Una introducción clásica a la teoría de números moderna . Nueva York: Springer-Verlag. pág. 3.[ Falta ISBN ]
  3. ^ Niven, Ivan ; Zuckerman, Herbert S.; Montgomery, Hugh L. (1991). Introducción a la teoría de números (quinta edición). John Wiley & Sons . pág. 4. ISBN 0-471-62546-9.
  4. ^ con la relación de orden habitual, es decir
    ,
    y reglas para operaciones aritméticas,
    ,
    en la recta numérica extendida.
  5. ^ Khrennikov, A.; Nilsson, M. (2004). Dinámica aleatoria y determinista p- ádica . Kluwer Academic Publishers. pág. 9.[ Falta ISBN ]
  6. ^ Murty, M. Ram (2001). Problemas en la teoría analítica de números . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 206. Springer-Verlag, Nueva York. Págs. 147-148. doi :10.1007/978-1-4757-3441-6. ISBN . 0-387-95143-1.Señor 1803093  .