La fórmula de Legendre

Expresión de la teoría de números

En matemáticas, la fórmula de Legendre da una expresión para el exponente de la mayor potencia de un primo p que divide el factorial  n !. Recibe su nombre en honor a Adrien-Marie Legendre . También se la conoce a veces como fórmula de De Polignac , en honor a Alphonse de Polignac .

Declaración

Para cualquier número primo p y cualquier entero positivo n , sea el exponente de la mayor potencia de p que divide a n (es decir, la valoración p -ádica de n ). Entonces ${\displaystyle \nu _{p}(n)}$

${\displaystyle \nu _{p}(n!)=\sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor ,}$

donde es la función base . Mientras que la suma del lado derecho es una suma infinita, para cualquier valor particular de n y p tiene solo un número finito de términos distintos de cero: para cada i lo suficientemente grande como para que , uno tiene . Esto reduce la suma infinita anterior a ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ ${\displaystyle p^{i}>n}$ ${\displaystyle \textstyle \left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor =0}$

${\displaystyle \nu _{p}(n!)=\sum _{i=1}^{L}\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor \,,}$

dónde . ${\displaystyle L=\lfloor \log _{p}n\rfloor }$

Ejemplo

Para n = 6, se tiene . Los exponentes y se pueden calcular mediante la fórmula de Legendre de la siguiente manera: ${\displaystyle 6!=720=2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{1}}$ ${\displaystyle \nu _{2}(6!)=4,\nu _{3}(6!)=2}$ ${\displaystyle \nu _{5}(6!)=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu _{2}(6!)&=\sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {6}{2^{i}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {6}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {6}{4}}\right\rfloor =3+1=4,\\[3pt]\nu _{3}(6!)&=\sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {6}{3^{i}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {6}{3}}\right\rfloor =2,\\[3pt]\nu _{5}(6!)&=\sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {6}{5^{i}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {6}{5}}\right\rfloor =1.\end{aligned}}}$

Prueba

Como es el producto de los números enteros 1 a n , obtenemos al menos un factor de p en para cada múltiplo de p en , de los cuales hay . Cada múltiplo de contribuye con un factor adicional de p , cada múltiplo de contribuye con otro factor de p , etc. Sumando el número de estos factores obtenemos la suma infinita para . ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle \textstyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor }$ ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle p^{3}}$ ${\displaystyle \nu _{p}(n!)}$

Forma alternativa

También se puede reformular la fórmula de Legendre en términos de la expansión de base p de n . Sea la suma de los dígitos en la expansión de base p de n ; entonces ${\displaystyle s_{p}(n)}$

${\displaystyle \nu _{p}(n!)={\frac {n-s_{p}(n)}{p-1}}.}$

Por ejemplo, escribiendo n = 6 en binario como 6 ₁₀ = 110 ₂ , tenemos que y así ${\displaystyle s_{2}(6)=1+1+0=2}$

${\displaystyle \nu _{2}(6!)={\frac {6-2}{2-1}}=4.}$

De manera similar, escribiendo 6 en ternario como 6 ₁₀ = 20 ₃ , tenemos que y así ${\displaystyle s_{3}(6)=2+0=2}$

${\displaystyle \nu _{3}(6!)={\frac {6-2}{3-1}}=2.}$

Prueba

Escribe en base p . Entonces , y por lo tanto ${\displaystyle n=n_{\ell }p^{\ell }+\cdots +n_{1}p+n_{0}}$ ${\displaystyle \textstyle \left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor =n_{\ell }p^{\ell -i}+\cdots +n_{i+1}p+n_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu _{p}(n!)&=\sum _{i=1}^{\ell }\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor \\&=\sum _{i=1}^{\ell }\left(n_{\ell }p^{\ell -i}+\cdots +n_{i+1}p+n_{i}\right)\\&=\sum _{i=1}^{\ell }\sum _{j=i}^{\ell }n_{j}p^{j-i}\\&=\sum _{j=1}^{\ell }\sum _{i=1}^{j}n_{j}p^{j-i}\\&=\sum _{j=1}^{\ell }n_{j}\cdot {\frac {p^{j}-1}{p-1}}\\&=\sum _{j=0}^{\ell }n_{j}\cdot {\frac {p^{j}-1}{p-1}}\\&={\frac {1}{p-1}}\sum _{j=0}^{\ell }\left(n_{j}p^{j}-n_{j}\right)\\&={\frac {1}{p-1}}\left(n-s_{p}(n)\right).\end{aligned}}}$

Aplicaciones

La fórmula de Legendre se puede utilizar para demostrar el teorema de Kummer . Como caso especial, se puede utilizar para demostrar que si n es un entero positivo, entonces 4 es divisor si y solo si n no es una potencia de 2. ${\displaystyle {\binom {2n}{n}}}$

De la fórmula de Legendre se deduce que la función exponencial p -ádica tiene radio de convergencia . ${\displaystyle p^{-1/(p-1)}}$

Referencias

• Legendre, AM (1830), Théorie des Nombres , París: Firmin Didot Frères
• Moll, Victor H. (2012), Números y funciones , American Mathematical Society , ISBN 978-0821887950, Sr.  2963308, página 77
• Leonard Eugene Dickson , Historia de la teoría de los números , Volumen 1, Carnegie Institution de Washington, 1919, página 263.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Factorial". MathWorld .