Describe la potencia más alta de los primos que dividen un coeficiente binomial.
En matemáticas , el teorema de Kummer es una fórmula para el exponente de la potencia más alta de un número primo p que divide un coeficiente binomial dado. En otras palabras, proporciona la valoración p -ádica de un coeficiente binomial . El teorema recibe su nombre de Ernst Kummer , quien lo demostró en un artículo (Kummer 1852).
Declaración
El teorema de Kummer establece que, para números enteros dados n ≥ m ≥ 0 y un número primo p , la valoración p -ádica del coeficiente binomial es igual al número de acarreos cuando m se suma a n − m en base p .
Una formación equivalente del teorema es la siguiente:
Escribe la expansión de la base del entero como , y define como la suma de los dígitos de la base. Luego
El teorema se puede demostrar escribiendo como y utilizando la fórmula de Legendre . [1]
Ejemplos
Para calcular la mayor potencia de 2 dividiendo el coeficiente binomial, se escribe m = 3 y n − m = 7 en base p = 2, de modo que 3 = 11 2 y 7 = 111 2. Para realizar la suma 11 2 + 111 2 = 1010 2 en base 2 se requieren tres acarreos:
Por lo tanto la mayor potencia de 2 que divide es 3.
Alternativamente, se puede utilizar la forma que implica sumas de dígitos. Las sumas de dígitos de 3, 7 y 10 en base 2 son , , y respectivamente. Entonces
Generalización de coeficientes multinomiales
El teorema de Kummer se puede generalizar a coeficientes multinomiales de la siguiente manera:
Véase también
Referencias
- ^ Mihet, Dorel (diciembre de 2010). "Los teoremas de Legendre y Kummer otra vez". Resonancia . 15 (12): 1111–1121.
- Kummer, Ernst (1852). "Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reciprocitätsgesetzen". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1852 (44): 93-146. doi :10.1515/crll.1852.44.93.
- Teorema de Kummer en PlanetMath .