Número hiperarmónico

En matemáticas , el n -ésimo número hiperarmónico de orden r , denotado por , se define recursivamente mediante las relaciones: ${\displaystyle H_{n}^{(r)}}$

${\displaystyle H_{n}^{(0)}={\frac {1}{n}},}$

y

${\displaystyle H_{n}^{(r)}=\sum _{k=1}^{n}H_{k}^{(r-1)}\quad (r>0).}$^{[ cita requerida ]}

En particular, es el n -ésimo número armónico . ${\displaystyle H_{n}=H_{n}^{(1)}}$

Los números hiperarmónicos fueron analizados por JH Conway y RK Guy en su libro de 1995 The Book of Numbers . ^{[1] : 258}

Identidades que involucran números hiperarmónicos

Por definición, los números hiperarmónicos satisfacen la relación de recurrencia

${\displaystyle H_{n}^{(r)}=H_{n-1}^{(r)}+H_{n}^{(r-1)}.}$

En lugar de las recurrencias, existe una fórmula más efectiva para calcular estos números:

${\displaystyle H_{n}^{(r)}={\binom {n+r-1}{r-1}}(H_{n+r-1}-H_{r-1}).}$

Los números hiperarmónicos tienen una fuerte relación con la combinatoria de permutaciones. La generalización de la identidad

${\displaystyle H_{n}={\frac {1}{n!}}\left[{n+1 \atop 2}\right].}$

se lee como

${\displaystyle H_{n}^{(r)}={\frac {1}{n!}}\left[{n+r \atop r+1}\right]_{r},}$

donde es un número r -Stirling del primer tipo. ^[2] ${\displaystyle \left[{n \atop r}\right]_{r}}$

Asintóticos

La expresión anterior con coeficientes binomiales da fácilmente que para todo orden fijo r>=2 tenemos. ^[3]

${\displaystyle H_{n}^{(r)}\sim {\frac {1}{(r-1)!}}\left(n^{r-1}\ln(n)\right),}$

es decir, el cociente del lado izquierdo y derecho tiende a 1 cuando n tiende a infinito.

Una consecuencia inmediata es que

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{(r)}}{n^{m}}}<+\infty }$

cuando m>r .

Función generadora y serie infinita

La función generadora de los números hiperarmónicos es

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }H_{n}^{(r)}z^{n}=-{\frac {\ln(1-z)}{(1-z)^{r}}}.}$

La función generadora exponencial es mucho más difícil de deducir. Se tiene que para todo r=1,2,...

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }H_{n}^{(r)}{\frac {t^{n}}{n!}}=e^{t}\left(\sum _{n=1}^{r-1}H_{n}^{(r-n)}{\frac {t^{n}}{n!}}+{\frac {(r-1)!}{(r!)^{2}}}t^{r}\,_{2}F_{2}\left(1,1;r+1,r+1;-t\right)\right),}$

donde ₂ F ₂ es una función hipergeométrica . El caso r=1 para los números armónicos es un resultado clásico, el general fue demostrado en 2009 por I. Mező y A. Dil. ^[4]

La siguiente relación conecta los números hiperarmónicos con la función zeta de Hurwitz : ^[3]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{(r)}}{n^{m}}}=\sum _{n=1}^{\infty }H_{n}^{(r-1)}\zeta (m,n)\quad (r\geq 1,m\geq r+1).}$

Números hiperarmónicos enteros

Se sabe que los números armónicos nunca son enteros excepto en el caso n=1 . La misma pregunta se puede plantear con respecto a los números hiperarmónicos: ¿existen números hiperarmónicos enteros? István Mező demostró ^[5] que si r=2 o r=3 , estos números nunca son enteros excepto en el caso trivial cuando n=1 . Conjeturó que este es siempre el caso, es decir, los números hiperarmónicos de orden r nunca son enteros excepto cuando n=1 . Esta conjetura fue justificada para una clase de parámetros por R. Amrane y H. Belbachir. ^[6] Especialmente, estos autores demostraron que no es entero para todo r<26 y n=2,3,... La extensión a órdenes superiores fue realizada por Göral y Sertbaş. ^[7] Estos autores también han demostrado que nunca es entero cuando n es par o una potencia prima, o r es impar. ${\displaystyle H_{n}^{(4)}}$ ${\displaystyle H_{n}^{(r)}}$

Otro resultado es el siguiente. ^[8] Sea el número de números hiperarmónicos no enteros tales que . Entonces, suponiendo la conjetura de Cramér , ${\displaystyle S(x)}$ ${\displaystyle (n,x)\in [0,x]\times [0,x]}$

${\displaystyle S(x)=x^{2}+O(x\log ^{3}x).}$

Nótese que el número de puntos reticulares enteros en es , lo que muestra que la mayoría de los números hiperarmónicos no pueden ser enteros. ${\displaystyle [0,x]\times [0,x]}$ ${\displaystyle x^{2}+O(x^{2})}$

El problema fue finalmente resuelto por DC Sertbaş, quien descubrió que existen infinitos números enteros hiperarmónicos, aunque son bastante grandes. El número hiperarmónico más pequeño que es un número entero encontrado hasta ahora es ^[9].

${\displaystyle H_{33}^{(64(2^{2659}-1)+32)}.}$

Referencias

^[10]

1. John H., Conway; Richard K., Guy (1995). El libro de los números. Copérnico. ISBN 9780387979939.
2. Benjamin, AT; Gaebler, D.; Gaebler, R. (2003). "Un enfoque combinatorio para los números hiperarmónicos". Enteros (3): 1–9.
3. Mező, István; Dil, Ayhan (2010). "Serie hiperarmónica que involucra la función zeta de Hurwitz". Revista de teoría de números . 130 (2): 360–369. doi :10.1016/j.jnt.2009.08.005. hdl : 2437/90539 .
4. Mező, István; Dil, Ayhan (2009). "Método de Euler-Seidel para ciertos números combinatorios y una nueva caracterización de la secuencia de Fibonacci". Revista Central Europea de Matemáticas . 7 (2): 310–321. doi : 10.2478/s11533-009-0008-5 .
5. Mező, István (2007). "Acerca de la propiedad no entera de los números hiperarmónicos". Annales Universitatis Scientarium Budapestinensis de Rolando Eötvös Nominatae, Sectio Mathematica (50): 13–20.
6. Amrane, RA; Belbachir, H. (2010). "No integridad de clase de números hiperarmónicos". Annales Mathematicae et Informaticae (37): 7–11.
7. Göral, Haydar; Doğa Can, Sertbaş (2017). «Casi todos los números hiperarmónicos no son enteros». Journal of Number Theory . 171 (171): 495–526. doi : 10.1016/j.jnt.2016.07.023 .
8. Alkan, Emre; Göral, Haydar; Doğa Can, Sertbaş (2018). "Los números hiperarmónicos rara vez pueden ser números enteros". Números enteros (18).
9. Doğa Can, Sertbaş (2020). "Existen los números enteros hiperarmónicos". Cuentas Rendus Mathématique (358).
10. Dil, Ayhan; Boyadzhiev, Khristo N. (febrero de 2015). "Sumas de Euler de números hiperarmónicos". Journal of Number Theory . 147 : 490–498. arXiv : 1209.0604 . doi : 10.1016/j.jnt.2014.07.018 .