y a veces esta formulación se llama conjetura de Cramér. Sin embargo, esta versión más sólida no está respaldada por modelos heurísticos más precisos, que, sin embargo, respaldan la primera versión de la conjetura de Cramér. Ninguna forma ha sido probada o refutada todavía.
Resultados probados condicionales en brechas principales
En el otro sentido, E. Westzynthius demostró en 1931 que las brechas entre los primos crecen de forma más que logarítmica. Es decir, [3]
Su resultado fue mejorado por RA Rankin , [4] quien demostró que
Paul Erdős conjeturó que el lado izquierdo de la fórmula anterior es infinito, y esto fue demostrado en 2014 por Kevin Ford , Ben Green , Sergei Konyagin y Terence Tao , [5] e independientemente por James Maynard . [6] Los dos grupos de autores mejoraron el resultado en un factor ese mismo año. [7]
Justificación heurística
La conjetura de Cramér se basa en un modelo probabilístico , esencialmente heurístico , en el que la probabilidad de que un número de tamaño x sea primo es 1/log x . Esto se conoce como modelo aleatorio de Cramér o modelo de Cramér de los números primos. [8]
En el modelo aleatorio de Cramér,
con probabilidad uno . [1] Sin embargo, como señaló Andrew Granville , [9] el teorema de Maier muestra que el modelo aleatorio de Cramér no describe adecuadamente la distribución de números primos en intervalos cortos, y un refinamiento del modelo de Cramér teniendo en cuenta la divisibilidad por números primos pequeños sugiere que ( OEIS : A125313 ), donde es la constante de Euler-Mascheroni . János Pintz ha sugerido que el límite de sup puede ser infinito, [10] y de manera similar escriben Leonard Adleman y Kevin McCurley
Como resultado del trabajo de H. Maier sobre los espacios entre números primos consecutivos, se ha puesto en duda la formulación exacta de la conjetura de Cramér [...] Probablemente todavía sea cierto que para cada constante , existe una constante tal que hay un primo entre y . [11]
De manera similar, Robin Visser escribe
De hecho, gracias al trabajo realizado por Granville, ahora se cree ampliamente que la conjetura de Cramér es falsa. De hecho, existen algunos teoremas relativos a intervalos cortos entre primos, como el teorema de Maier, que contradicen el modelo de Cramér. [12]
(se eliminaron las referencias internas).
Conjeturas y heurísticas relacionadas
Daniel Shanks conjeturó la siguiente igualdad asintótica, más fuerte que la conjetura de Cramér, [13] para brechas récord:
JH Cadwell [14] ha propuesto la fórmula para las brechas máximas:
que es formalmente idéntica a la conjetura de Shanks pero sugiere un término de orden inferior.
Marek Wolf [15] ha propuesto la fórmula para las brechas máximas
expresadas en términos de la función de conteo de primos :
donde y es el doble de la constante de los primos gemelos ; ver OEIS : A005597 , OEIS : A114907 . Esto es nuevamente formalmente equivalente a la conjetura de Shanks, pero sugiere términos de orden inferior.
.
Thomas Nicely ha calculado muchas brechas principales grandes. [16] Mide la calidad del ajuste a la conjetura de Cramér midiendo la relación
Escribe: "Para las brechas máximas más grandes conocidas, se ha mantenido cerca de 1,13".
Teorema de Maier sobre los números de primos en intervalos cortos para los cuales el modelo predice una respuesta incorrecta
Referencias
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^ Westzynthius, E. (1931), "Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind", Commentationes Physico-Mathematicae Helsingsfors (en alemán), 5 : 1–37, JFM 57.0186.02, Zbl 0003.24601.
^ RA Rankin, La diferencia entre números primos consecutivos, J. London Math. Soc. 13 (1938), 242-247
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^ Maynard, James (2016). "Grandes brechas entre números primos". Anales de Matemáticas . Segunda serie. 183 (3): 915–933. arXiv : 1408.5110 . doi : 10.4007/anales.2016.183.3.3 .
^ Vado, Kevin; Verde, Ben; Konyagin, Sergei; Maynard, James; Tao, Terence (2018). "Largos espacios entre números primos". Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense . 31 : 65-105. arXiv : 1412.5029 . doi : 10.1090/jams/876.
^ Terry Tao , 254A, Suplemento 4: Modelos probabilísticos y heurísticas para los números primos (opcional), sección sobre el modelo aleatorio de Cramér, enero de 2015.
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