Función de Riemann xi en el plano complejo . El color de un punto codifica el valor de la función. Los colores más oscuros denotan valores más cercanos a cero y el tono codifica el argumento del valor .
La función original "xi" en minúscula de Riemann fue renombrada por una mayúscula ( letra griega "Xi" ) por Edmund Landau . La minúscula de Landau ("xi") se define como [1]
La función original de Riemann, rebautizada como mayúscula por Landau, [1] satisface
,
y obedece a la ecuación funcional
Ambas funciones son completas y puramente reales para argumentos reales.
Valores
La forma general para números enteros pares positivos es
donde B n denota el enésimo número de Bernoulli . Por ejemplo:
Representaciones en serie
La función tiene la expansión en serie.
dónde
donde la suma se extiende sobre ρ, los ceros no triviales de la función zeta, en orden de .
Esta expansión juega un papel particularmente importante en el criterio de Li , que establece que la hipótesis de Riemann es equivalente a tener λ n > 0 para todo n positivo .
Para asegurar la convergencia en la expansión, el producto debe tomarse como "pares coincidentes" de ceros, es decir, los factores para un par de ceros de la forma ρ y 1−ρ deben agruparse.
Referencias
^ ab Landau, Edmund (1974) [1909]. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen [ Manual del estudio de la distribución de los números primos ] (Tercera ed.). Nueva York: Chelsea. §70-71 y página 894.
Keiper, JB (1992). "Expansiones en series de potencias de la función xi de Riemann". Matemáticas de la Computación . 58 (198): 765–773. Código Bib : 1992MaCom..58..765K. doi : 10.1090/S0025-5718-1992-1122072-5 .