Función totient de Jordan

Una función en matemáticas, teoría de números.

En teoría de números , la función totiente de Jordan , denotada como , donde es un entero positivo, es una función de un entero positivo , , que es igual al número de - tuplas de enteros positivos que son menores o iguales a y que junto con forman un conjunto coprimo de enteros. ${\displaystyle J_{k}(n)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k+1}$

La función totient de Jordan es una generalización de la función totient de Euler , que es la misma que . La función recibe su nombre de Camille Jordan . ${\displaystyle J_{1}(n)}$

Definición

Para cada entero positivo , la función totient de Jordan es multiplicativa y puede evaluarse como ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle J_{k}}$

${\displaystyle J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right)\,}$, donde varía entre los divisores primos de . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$

Propiedades

• ${\displaystyle \sum _{d|n}J_{k}(d)=n^{k}.\,}$

que puede escribirse en el lenguaje de las convoluciones de Dirichlet como ^[1]

${\displaystyle J_{k}(n)\star 1=n^{k}\,}$

y a través de la inversión de Möbius como

${\displaystyle J_{k}(n)=\mu (n)\star n^{k}}$.

Dado que la función generadora de Dirichlet de es y la función generadora de Dirichlet de es , la serie para se convierte en ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle 1/\zeta (s)}$ ${\displaystyle n^{k}}$ ${\displaystyle \zeta (s-k)}$ ${\displaystyle J_{k}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {J_{k}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-k)}{\zeta (s)}}}$.

• Un pedido promedio de es ${\displaystyle J_{k}(n)}$

${\displaystyle J_{k}(n)\sim {\frac {n^{k}}{\zeta (k+1)}}}$.

• La función psi de Dedekind es

${\displaystyle \psi (n)={\frac {J_{2}(n)}{J_{1}(n)}}}$,

y mediante la inspección de la definición (reconociendo que cada factor en el producto sobre los primos es un polinomio ciclotómico de ), las funciones aritméticas definidas por o también pueden demostrarse como funciones multiplicativas de valores enteros. ${\displaystyle p^{-k}}$ ${\displaystyle {\frac {J_{k}(n)}{J_{1}(n)}}}$ ${\displaystyle {\frac {J_{2k}(n)}{J_{k}(n)}}}$

• ${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\delta ^{s}J_{r}(\delta )J_{s}\left({\frac {n}{\delta }}\right)=J_{r+s}(n)}$. ^[2]

Orden de grupos de matrices

• El grupo lineal general de matrices de orden sobre tiene orden ^[3] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /n}$

${\displaystyle |\operatorname {GL} (m,\mathbf {Z} /n)|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{k}(n).}$

• El grupo lineal especial de matrices de orden sobre tiene orden ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /n}$

${\displaystyle |\operatorname {SL} (m,\mathbf {Z} /n)|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=2}^{m}J_{k}(n).}$

• El grupo simpléctico de matrices de orden sobre tiene orden ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /n}$

${\displaystyle |\operatorname {Sp} (2m,\mathbf {Z} /n)|=n^{m^{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{2k}(n).}$

Las dos primeras fórmulas fueron descubiertas por Jordan.

Ejemplos

• Las listas explícitas en la OEIS son J ₂ en OEIS : A007434 , J ₃ en OEIS : A059376 , J ₄ en OEIS : A059377 , J ₅ en OEIS : A059378 , J ₆ hasta J ₁₀ en OEIS : A069091 hasta OEIS : A069095 .
• Las funciones multiplicativas definidas por razones son J ₂ (n)/J ₁ (n) en OEIS : A001615 , J ₃ (n)/J ₁ (n) en OEIS : A160889 , J ₄ (n)/J ₁ (n) en OEIS : A160891 , J ₅ (n)/J ₁ (n) en OEIS : A160893 , J ₆ (n)/J ₁ (n) en OEIS : A160895 , J ₇ (n)/J ₁ (n) en OEIS : A160897 , J ₈ (n)/J ₁ (n) en OEIS : A160908 , J ₉ (n)/J ₁ (n) en OEIS : A160953 , J ₁₀ (n)/J ₁ (n) en OEIS : A160957 , J ₁₁ (n)/J ₁ (n) en OEIS : A160960 .
• Ejemplos de las relaciones J _2k (n)/J _k (n) son J ₄ (n)/J ₂ (n) en OEIS : A065958 , J ₆ (n)/J ₃ (n) en OEIS : A065959 y J ₈ (n)/J ₄ (n) en OEIS : A065960 .

Notas

1. Sándor y Crstici (2004) p.106
2. Holden et al en enlaces externos. La fórmula es la de Gegenbauer.
3. Todas estas fórmulas son de Andrica y Piticari en #Enlaces externos.

Referencias

• LE Dickson (1971) [1919]. Historia de la teoría de números, vol. I. Chelsea Publishing . pág. 147. ISBN 0-8284-0086-5.JFM 47.0100.04  .
• M. Ram Murty (2001). Problemas en la teoría analítica de números . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 206. Springer-Verlag . pág. 11. ISBN. 0-387-95143-1.Zbl 0971.11001  .
• Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Manual de teoría de números II . Dordrecht: Académico Kluwer. págs. 32–36. ISBN 1-4020-2546-7.Zbl 1079.11001  .

Enlaces externos

• Andrica, Dorin; Piticari, Mihai (2004). "Sobre algunas extensiones de las funciones aritméticas de Jordan". Acta Universitatis Apulensis . 7 : 13–22. MR  2157944.
• Holden, Matthew; Orrison, Michael; Vrable, Michael. "Otra generalización más de la función Totient de Euler" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 2016-03-05 . Consultado el 2011-12-21 .