La constante de Apéry

Suma de los inversos de los cubos positivos

En matemáticas , la constante de Apéry es la suma de los recíprocos de los cubos positivos . Es decir, se define como el número

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (3)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{3}}}\right),\end{aligned}}}$

donde ζ es la función zeta de Riemann . Tiene un valor aproximado de ^[1]

ζ (3) ≈ 1,20205 69031 59594 28539 97381 61511 44999 07649 86292 … (secuencia A002117 en la OEIS ).

Recibe su nombre en honor a Roger Apéry , quien demostró que es un número irracional .

Usos

La constante de Apéry surge de manera natural en varios problemas físicos, incluidos los términos de segundo y tercer orden de la relación giromagnética del electrón utilizando la electrodinámica cuántica . También surge en el análisis de árboles de expansión mínimos aleatorios ^[2] y en conjunción con la función gamma al resolver ciertas integrales que involucran funciones exponenciales en un cociente, que aparecen ocasionalmente en física, por ejemplo, al evaluar el caso bidimensional del modelo de Debye y la ley de Stefan-Boltzmann .

El recíproco de ζ (3) (0,8319073725807... (secuencia A088453 en la OEIS )) es la probabilidad de que tres enteros positivos cualesquiera , elegidos al azar, sean primos entre sí , en el sentido de que, a medida que N tiende a infinito, la probabilidad de que tres enteros positivos menores que N elegidos uniformemente al azar no compartan un factor primo común se acerca a este valor. (La probabilidad para n enteros positivos es 1/ ζ (n) . ^[3] ) En el mismo sentido, es la probabilidad de que un entero positivo elegido al azar no sea divisible de manera uniforme por el cubo de un entero mayor que uno. (La probabilidad de no tener divisibilidad por una potencia n -ésima es 1/ ζ (n) . ^[3] )

Propiedades

Problema sin resolver en matemáticas :

¿Es trascendental la constante de Apéry?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

ζ (3) recibió el nombre de constante de Apéry en honor al matemático francés Roger Apéry , quien demostró en 1978 que es un número irracional . ^[4] Este resultado se conoce como teorema de Apéry . La prueba original es compleja y difícil de comprender, ^[5] y se encontraron pruebas más simples más tarde. ^[6]

La prueba de irracionalidad simplificada de Beukers implica aproximar el integrando de la integral triple conocida para ζ (3) ,

${\displaystyle \zeta (3)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-xyz}}\,dx\,dy\,dz,}$

por los polinomios de Legendre . En particular, el artículo de van der Poorten relata este enfoque al señalar que

${\displaystyle I_{3}:=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {P_{n}(x)P_{n}(y)\log(xy)}{1-xy}}\,dx\,dy=b_{n}\zeta (3)-a_{n},}$

donde , son los polinomios de Legendre , y las subsecuencias son números enteros o casi enteros . ${\displaystyle |I|\leq \zeta (3)(1-{\sqrt {2}})^{4n}}$ ${\displaystyle P_{n}(z)}$ ${\displaystyle b_{n},2\operatorname {lcm} (1,2,\ldots ,n)\cdot a_{n}\in \mathbb {Z} }$

Muchas personas han intentado extender la prueba de Apéry de que ζ (3) es irracional a otros valores de la función zeta de Riemann con argumentos impares. Aunque hasta ahora esto no ha producido ningún resultado sobre números específicos, se sabe que infinitas de las constantes zeta impares ζ (2 n + 1) son irracionales. ^[7] En particular, al menos una de ζ (5) , ζ (7) , ζ (9) y ζ (11) debe ser irracional. ^[8]

La constante de Apéry no ha sido aún demostrada como trascendental , pero se sabe que es un período algebraico . Esto se deduce inmediatamente de la forma de su triple integral.

Representaciones en serie

Clásico

Además de la serie fundamental:

${\displaystyle \zeta (3)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}}},}$

Leonhard Euler dio la representación en serie: ^[9]

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {\pi ^{2}}{7}}\left(1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{2^{2k}(2k+1)(2k+2)}}\right)}$

en 1772, que posteriormente fue redescubierto varias veces. ^[10]

Convergencia rápida

Desde el siglo XIX, varios matemáticos han encontrado series de aceleración de convergencia para calcular decimales de ζ (3) . Desde la década de 1990, esta búsqueda se ha centrado en series computacionalmente eficientes con tasas de convergencia rápidas (ver sección "Dígitos conocidos").

La siguiente representación en serie fue encontrada por AA Markov en 1890, ^[11] redescubierta por Hjortnaes en 1953, ^[12] y redescubierta una vez más y ampliamente publicitada por Apéry en 1979: ^[4]

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {k!^{2}}{(2k)!k^{3}}}.}$

La siguiente representación en serie da (asintóticamente) 1,43 nuevos decimales correctos por término: ^[13]

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{4}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {(k-1)!^{3}(56k^{2}-32k+5)}{(2k-1)^{2}(3k)!}}.}$

La siguiente representación en serie da (asintóticamente) 3,01 nuevos decimales correctos por término: ^[14]

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{64}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {k!^{10}(205k^{2}+250k+77)}{(2k+1)!^{5}}}.}$

La siguiente representación en serie da (asintóticamente) 5,04 nuevos decimales correctos por término: ^[15]

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{24}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(2k+1)!^{3}(2k)!^{3}k!^{3}(126392k^{5}+412708k^{4}+531578k^{3}+336367k^{2}+104000k+12463)}{(3k+2)!(4k+3)!^{3}}}.}$

Se ha utilizado para calcular la constante de Apéry con varios millones de decimales correctos. ^[16]

La siguiente representación en serie da (asintóticamente) 3,92 nuevos decimales correctos por término: ^[17]

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(2k)!^{3}(k+1)!^{6}(40885k^{5}+124346k^{4}+150160k^{3}+89888k^{2}+26629k+3116)}{(k+1)^{2}(3k+3)!^{4}}}.}$

Dígito por dígito

En 1998, Broadhurst proporcionó una representación en serie que permite calcular dígitos binarios arbitrarios y, por lo tanto, obtener la constante en un tiempo casi lineal y en un espacio logarítmico . ^[18]

Secuencia Thue-Morse

La siguiente representación fue encontrada por Tóth en 2022: ^[19]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {9t_{n-1}+7t_{n}}{n^{3}}}&=8\zeta (3),\end{aligned}}}$

donde es el término de la sucesión de Thue-Morse . De hecho, se trata de un caso especial de la siguiente fórmula (válida para todos los que tengan una parte real mayor que ): ${\displaystyle (t_{n})_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle n^{\rm {th}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle (2^{s}+1)\sum _{n\geq 1}{\frac {t_{n-1}}{n^{s}}}+(2^{s}-1)\sum _{n\geq 1}{\frac {t_{n}}{n^{s}}}=2^{s}\zeta (s).}$

Otros

Ramanujan encontró la siguiente representación en serie : ^[20]

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}.}$

La siguiente representación de la serie fue encontrada por Simon Plouffe en 1998: ^[21]

${\displaystyle \zeta (3)=14\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}\sinh(\pi k)}}-{\frac {11}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}-{\frac {7}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}+1)}}.}$

Srivastava (2000) recopiló muchas series que convergen a la constante de Apéry.

Representaciones integrales

Existen numerosas representaciones integrales de la constante de Apéry. Algunas de ellas son sencillas y otras más complicadas.

Fórmulas sencillas

La siguiente fórmula se desprende directamente de la definición integral de la función zeta:

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,dx}$

Fórmulas más complicadas

Otras fórmulas incluyen ^[22]

${\displaystyle \zeta (3)=\pi \int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(2\arctan x)}{(x^{2}+1)\left(\cosh {\frac {1}{2}}\pi x\right)^{2}}}\,dx}$

y ^[23]

${\displaystyle \zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {\log(xy)}{1-xy}}\,dx\,dy=-\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {\log(1-xy)}{xy}}\,dx\,dy.}$

Además, ^[24]

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (3)&={\frac {8\pi ^{2}}{7}}\int _{0}^{1}{\frac {x(x^{4}-4x^{2}+1)\log \log {\frac {1}{x}}}{(1+x^{2})^{4}}}\,dx\\&={\frac {8\pi ^{2}}{7}}\int _{1}^{\infty }{\frac {x(x^{4}-4x^{2}+1)\log \log {x}}{(1+x^{2})^{4}}}\,dx.\end{aligned}}}$

Una conexión con las derivadas de la función gamma ^[25]

${\displaystyle \zeta (3)=-{\tfrac {1}{2}}(\Gamma '''(1)+\gamma ^{3}+{\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}\gamma )=-{\tfrac {1}{2}}\psi ^{(2)}(1)}$

También es muy útil para la derivación de varias representaciones integrales a través de las fórmulas integrales conocidas para las funciones gamma y poligamma . ^[26]

Fracción continua

La constante de Apéry está relacionada con la siguiente fracción continua: ^[27]

${\displaystyle {\frac {6}{\zeta (3)}}=5-{\cfrac {1}{117-{\cfrac {64}{535-{\cfrac {729}{1436-{\cfrac {4096}{3105-{\cfrac {15625}{\dots }}}}}}}}}}}$

con y . ${\displaystyle a_{n}=34n^{3}+51n^{2}+27n+5}$ ${\displaystyle b_{n}=-n^{6}}$

Su fracción continua simple viene dada por: ^[28]

${\displaystyle \zeta (3)=1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{18+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\dots }}}}}}}}}}}}}$

Dígitos conocidos

El número de dígitos conocidos de la constante de Apéry ζ (3) ha aumentado drásticamente durante las últimas décadas y ahora asciende a más de2 × 10 ¹² . Esto se debe tanto al aumento del rendimiento de las computadoras como a las mejoras algorítmicas.

Véase también

• Función zeta de Riemann
• Problema de Basilea — ζ (2)
• La constante del catalán
• Lista de sumas de recíprocos

Notas

1. Wedeniwski (2001).
2. Friso (1985).
3. Mollin (2009).
4. Apéry (1979).
5. van der Poorten (1979).
6. Beukers (1979); Zudilin (2002).
7. Rivoal (2000).
8. Zudilin (2001).
9. Euler (1773).
10. Srivastava (2000), pág. 571 (1.11).
11. Márkov (1890).
12. Hjortnäes (1953).
13. Amdeberhan (1996).
14. Amdeberhan y Zeilberger (1997).
15. Wedeniwski (1998); Wedeniwski (2001). En su mensaje a Simon Plouffe, Sebastian Wedeniwski afirma que derivó esta fórmula de Amdeberhan y Zeilberger (1997). El año del descubrimiento (1998) se menciona en la Tabla de registros de Simon Plouffe (8 de abril de 2001).
16. Wedeniwski (1998); Wedeniwski (2001).
17. Mohammed (2005).
18. Broadhurst (1998).
19. Tóth, László (2022), "Combinaciones lineales de series de Dirichlet asociadas con la secuencia Thue-Morse" (PDF) , Integers , 22 (artículo 98), arXiv : 2211.13570
20. Berndt (1989, capítulo 14, fórmulas 25.1 y 25.3).
21. Plouffe (1998).
22. Jensen (1895).
23. Beukers (1979).
24. Blagouchine (2014).
25. Haber, Howard E. (invierno de 2010), "La derivada logarítmica de la función Gamma" (PDF) , notas de clase de Física 116A , Universidad de California, Santa Cruz
26. Evgrafov et al. (1969), ejercicio 30.10.1.
27. Weisstein, Eric W., "La constante de Apéry", mathworld.wolfram.com , consultado el 21 de septiembre de 2024
28. Weisstein, Eric W., "Fracción continua constante de Apéry", mathworld.wolfram.com , consultado el 21 de septiembre de 2024
29. Gourdon y Sebah (2003).
30. Yee (2009).
31. Yee (2017).
32. Nagar (2015).
33. Yee, Alexander, Récords establecidos por y-cruncher , consultado el 1 de abril de 2024.
34. El récord mundial constante de Apéry por Seungmin Kim, 28 de julio de 2020 , consultado el 28 de julio de 2020.

Referencias

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Lectura adicional

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Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "La constante de Apéry", MathWorld{{cite web}}: CS1 maint: overridden setting (link)
• Plouffe, Simon, Zeta(3) o Apéry constante hasta 2000 lugares, archivado desde el original el 2008-02-05 , recuperado 2005-07-29
• Setti, Robert J. (2015), Constante de Apéry - Zeta(3) - 200 mil millones de dígitos, archivado desde el original el 8 de octubre de 2013.

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