Teorema del valor medio de Vinogradov

En matemáticas, el teorema del valor medio de Vinogradov es una estimación del número de sumas iguales de potencias . Es una desigualdad importante en la teoría analítica de números , llamada así en honor de IM Vinogradov .

Más específicamente, cuentemos el número de soluciones del sistema de ecuaciones diofánticas simultáneas en variables dadas por ${\displaystyle J_{s,k}(X)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 2s}$

${\displaystyle x_{1}^{j}+x_{2}^{j}+\cdots +x_{s}^{j}=y_{1}^{j}+y_{2}^{j}+\cdots +y_{s}^{j}\quad (1\leq j\leq k)}$

con

${\displaystyle 1\leq x_{i},y_{i}\leq X,(1\leq i\leq s)}$.

Es decir, cuenta el número de sumas iguales de potencias con igual número de términos ( ) y exponentes iguales ( ), hasta potencias ésimas y hasta potencias de . Una expresión analítica alternativa para es ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J_{s,k}(X)}$

${\displaystyle J_{s,k}(X)=\int _{[0,1)^{k}}|f_{k}(\mathbf {\alpha } ;X)|^{2s}d\mathbf {\alpha } }$

dónde

${\displaystyle f_{k}(\mathbf {\alpha } ;X)=\sum _{1\leq x\leq X}\exp(2\pi i(\alpha _{1}x+\cdots +\alpha _{k}x^{k})).}$

El teorema del valor medio de Vinogradov da un límite superior al valor de . ${\displaystyle J_{s,k}(X)}$

Una estimación sólida de es una parte importante del método Hardy-Littlewood para atacar el problema de Waring y también para demostrar una región libre cero para la función zeta de Riemann en la franja crítica . ^[1] Se han producido varios límites para , válidos para diferentes rangos relativos de y . La forma clásica del teorema se aplica cuando es muy grande en términos de . ${\displaystyle J_{s,k}(X)}$ ${\displaystyle J_{s,k}(X)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle k}$

Se puede encontrar un análisis de las pruebas de la conjetura del valor medio de Vinogradov en la charla Bourbaki Séminaire de Lillian Pierce . ^[2]

límites inferiores

Al considerar las soluciones donde ${\displaystyle X^{s}}$

${\displaystyle x_{i}=y_{i},(1\leq i\leq s)}$

uno puede ver eso . ${\displaystyle J_{s,k}(X)\gg X^{s}}$

Un análisis más cuidadoso (ver ecuación 7.4 de Vaughan ^[3] ) proporciona el límite inferior

${\displaystyle J_{s,k}\gg X^{s}+X^{2s-{\frac {1}{2}}k(k+1)}.}$

Prueba de la conjetura principal

La principal conjetura del teorema del valor medio de Vinogradov era que el límite superior está cerca de este límite inferior. Más concretamente que para cualquiera tenemos ${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle J_{s,k}(X)\ll X^{s+\epsilon }+X^{2s-{\frac {1}{2}}k(k+1)+\epsilon }.}$

Esto fue demostrado por Jean Bourgain , Ciprian Demeter y Larry Guth ^[4] y por un método diferente por Trevor Wooley . ^[5]

Si

${\displaystyle s\geq {\frac {1}{2}}k(k+1)}$

esto es equivalente al límite

${\displaystyle J_{s,k}(X)\ll X^{2s-{\frac {1}{2}}k(k+1)+\epsilon }.}$

De manera similar, si la forma conjetural es equivalente a la ligada ${\displaystyle s\leq {\frac {1}{2}}k(k+1)}$

${\displaystyle J_{s,k}(X)\ll X^{s+\epsilon }.}$

Las formas más fuertes del teorema conducen a una expresión asintótica para , en particular para grande en relación con la expresión ${\displaystyle J_{s,k}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle J_{s,k}\sim {\mathcal {C}}(s,k)X^{2s-{\frac {1}{2}}k(k+1)},}$

donde es un número positivo fijo que depende como máximo de y , se cumple, consulte el teorema 1,2 pulg. ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {C}}(s,k)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle k}$

Historia

El teorema original de Vinogradov de 1935 ^[7] demostró que para fijo con ${\displaystyle s,k}$

${\displaystyle s\geq k^{2}\log(k^{2}+k)+{\frac {1}{4}}k^{2}+{\frac {5}{4}}k+1}$

existe una constante positiva tal que ${\displaystyle D(s,k)}$

${\displaystyle J_{s,k}(X)\leq D(s,k)(\log X)^{2s}X^{2s-{\frac {1}{2}}k(k+1)+{\frac {1}{2}}}.}$

Aunque este fue un resultado innovador, no llega a la forma completa de la conjetura. En cambio, demuestra la forma conjeturada cuando

${\displaystyle \epsilon >{\frac {1}{2}}}$.

El enfoque de Vinogradov fue mejorado por Karatsuba ^[8] y Stechkin ^[9] quienes demostraron que existe una constante positiva tal que ${\displaystyle s\geq k}$ ${\displaystyle D(s,k)}$

${\displaystyle J_{s,k}(X)\leq D(s,k)X^{2s-{\frac {1}{2}}k(k+1)+\eta _{s,k}},}$

dónde

${\displaystyle \eta _{s,k}={\frac {1}{2}}k^{2}\left(1-{\frac {1}{k}}\right)^{\left[{\frac {s}{k}}\right]}\leq k^{2}e^{-s/k^{2}}.}$

Observando que para

${\displaystyle s>k^{2}(2\log k-\log \epsilon )}$

tenemos

${\displaystyle \eta _{s,k}<\epsilon }$,

esto prueba que la forma conjetural es válida para este tamaño. ${\displaystyle s}$

El método se puede perfeccionar aún más para demostrar la estimación asintótica.

${\displaystyle J_{s,k}\sim {\mathcal {C}}(s,k)X^{2s-{\frac {1}{2}}k(k+1)},}$

para grandes en términos de . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle k}$

En 2012, Wooley ^[10] mejoró el rango de validez de la forma conjetural. Él demostró que por ${\displaystyle s}$

${\displaystyle k\geq 2}$y ${\displaystyle s\geq k(k+1)}$

y para cualquiera tenemos ${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle J_{s,k}(X)\ll X^{2s-{\frac {1}{2}}k(k+1)+\epsilon }.}$

Ford y Wooley ^[11] han demostrado que la forma conjetural se establece para pequeños en términos de . Específicamente muestran que para ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle k\geq 4}$

y

${\displaystyle 1\leq s\leq {\frac {1}{4}}(k+1)^{2}}$

para cualquier ${\displaystyle \epsilon >0}$

tenemos

${\displaystyle J_{s,k}(X)\ll X^{s+\epsilon }.}$

Referencias

1. Titchmarsh, Edward Charles (1986). La teoría de la función Zeta de Riemann . Editado y con prefacio de DR Heath-Brown (Segunda ed.). Nueva York: The Clarendon Press, Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853369-6. SEÑOR  0882550.
2. Pierce, Lilian B. (2017). "El teorema del valor medio de Vinogradov [después de Wooley y Bourgain, Demeter y Guth]". Seminario Bourbaki . 69 (1134): 1–80. arXiv : 1707.00119 .
3. Vaughan, Robert C. (1997). El método Hardy-Littlewood . Tratados de Cambridge en Matemáticas. vol. 25 (Segunda ed.). Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-57347-4. SEÑOR  1435742.
4. Bourgain, Jean; Deméter, Ciprián; Guth, Larry (2016). "Demostración de la conjetura principal del teorema del valor medio de Vinogradov para grados superiores a tres". Ana. de Matemáticas. 184 (2): 633–682. arXiv : 1512.01565 . doi :10.4007/annals.2016.184.2.7. hdl : 1721.1/115568. S2CID  43929329.
5. Wooley, Trevor D. (2019). "Congruencia eficiente anidada y parientes del teorema del valor medio de Vinogradov". Actas de la Sociedad Matemática de Londres . 118 (4): 942–1016. arXiv : 1708.01220 . doi : 10.1112/plms.12204 .
6. Wooley, Trevor (2012). "Teorema del valor medio de Vinogradov mediante congruencia eficiente". Anales de Matemáticas . 175 (3): 1575-1627. arXiv : 1101.0574 . doi : 10.4007/anales.2012.175.3.12 .
7. IM Vinogradov, Nuevas estimaciones de las sumas de Weyl, Dokl. Akád. Nauk SSSR 8 (1935), 195-198
8. Karatsuba, Anatoly (1973). "Valor medio del módulo de una suma trigonométrica". Izv. Akád. Nauk SSSR Ser. Estera. (en ruso). 37 (6): 1203-1227. Código Bib : 1973IzMat...7.1199K. doi :10.1070/IM1973v007n06ABEH002080. SEÑOR  0337817.
9. Stečkin, Sergeĭ Borisovich (1975). "Valores medios del módulo de una suma trigonométrica". Trudy Mat. Inst. Steklov (en ruso). 134 : 283–309. SEÑOR  0396431.
10. Wooley, Trevor D. (2012). "Teorema del valor medio de Vinogradov mediante congruencia eficiente". Ana. de Matemáticas. 175 (3): 1575-1627. arXiv : 1101.0574 . doi : 10.4007/annals.2012.175.3.12. SEÑOR  2912712. S2CID  13286053.
11. Vado, Kevin; Wooley, Trevor D. (2014). "Sobre el teorema del valor medio de Vinogradov: fuerte comportamiento diagonal mediante congruencia eficiente". Acta Matemáticas. 213 (2): 199–236. arXiv : 1304.6917 . doi :10.1007/s11511-014-0119-0. SEÑOR  3286035. S2CID  11603320.