Sumas de potencias

Lista de contextos matemáticos en los que se suman términos exponenciales

En matemáticas y estadística , las sumas de potencias ocurren en varios contextos:

• Las sumas de cuadrados surgen en muchos contextos. Por ejemplo, en geometría , el teorema de Pitágoras implica la suma de dos cuadrados; en teoría de números , están el teorema de los tres cuadrados de Legendre y el teorema de los cuatro cuadrados de Jacobi ; y en estadística , el análisis de varianza implica sumar los cuadrados de cantidades.
• Sólo hay un número finito de números enteros positivos que no son sumas de cuadrados distintos . El más grande es 128. Lo mismo se aplica a sumas de cubos distintos (el más grande es 12,758), cuartas potencias distintas (el más grande es 5,134,240), etc. Consulte ^[1] para obtener una generalización de sumas de polinomios.
• La fórmula de Faulhaber se expresa como un polinomio en n , o alternativamente en términos de un polinomio de Bernoulli . ${\displaystyle 1^{k}+2^{k}+3^{k}+\cdots +n^{k}}$
• El teorema del triángulo rectángulo de Fermat establece que no hay solución en números enteros positivos para y . ${\displaystyle a^{2}=b^{4}+c^{4}}$ ${\displaystyle a^{4}=b^{4}+c^{2}}$
• El último teorema de Fermat establece que es imposible en números enteros positivos con k > 2 . ${\displaystyle x^{k}+y^{k}=z^{k}}$
• La ecuación de una superelipse es . El squircle es el caso k = 4 , a = b . ${\displaystyle |x/a|^{k}+|y/b|^{k}=1}$
• La conjetura de la suma de potencias de Euler (refutada) se refiere a situaciones en las que la suma de n números enteros, cada uno de ellos a k- ^ésima potencia de un número entero, es igual a otra k- ^ésima potencia.
• La conjetura de Fermat-Catalan pregunta si hay infinidad de ejemplos en los que la suma de dos enteros coprimos, cada uno de ellos una potencia de un número entero, con las potencias no necesariamente iguales, pueda igualar a otro entero que sea una potencia, con los recíprocos de los tres potencias que suman menos de 1.
• La conjetura de Beal se refiere a la cuestión de si la suma de dos números enteros coprimos, cada uno con una potencia mayor que 2 de un número entero, con las potencias no necesariamente iguales, puede igualar a otro número entero que sea una potencia mayor que 2.
• La ecuación de Jacobi-Madden está en números enteros. ${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(a+b+c+d)^{4}}$
• El problema de Prouhet-Tarry-Escott considera sumas de dos conjuntos de k- ^ésimas potencias de números enteros que son iguales para múltiples valores de k .
• Un número de taxi es el número entero más pequeño que se puede expresar como la suma de dos terceras potencias positivas de n formas distintas.
• La función zeta de Riemann es la suma de los recíprocos de los números enteros positivos cada uno elevado a la potencia s , donde s es un número complejo cuya parte real es mayor que 1.
• La conjetura de Lander, Parkin y Selfridge se refiere al valor mínimo de m + n en ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}.}$
• El problema de Waring pregunta si para cada número natural k existe un entero positivo asociado s tal que cada número natural sea la suma de como máximo sk ^ésimas potencias de números naturales.
• Las sucesivas potencias de la proporción áurea φ obedecen a la recurrencia de Fibonacci:
  $${\displaystyle \varphi ^{n+1}=\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1}.}$$
• Las identidades de Newton expresan la suma de las k ^-ésimas potencias de todas las raíces de un polinomio en términos de los coeficientes del polinomio.
• La suma de cubos de números en progresión aritmética a veces es otro cubo.
• La cúbica de Fermat , en la que la suma de tres cubos es igual a otro cubo, tiene solución general.
• El polinomio simétrico de suma de potencias es un componente básico de los polinomios simétricos.
• La suma de los recíprocos de todos los poderes perfectos, incluidos los duplicados (pero sin incluir 1) es igual a 1.
• Se conjetura que la ecuación de Erdős-Moser , donde m y k son números enteros positivos, no tiene más soluciones que 1 ¹ + 2 ¹ = 3 ¹ . ${\displaystyle 1^{k}+2^{k}+\cdots +m^{k}=(m+1)^{k}}$
• Las sumas de tres cubos no pueden ser iguales a 4 o 5 módulo 9, pero se desconoce si todos los números enteros restantes se pueden expresar de esta forma.
• Las sumas de potencias
  $${\displaystyle S_{m}(z,n)=z^{m}+(z+1)^{m}+\dots +(z+n-1)^{m}}$$
  está relacionado con los polinomios de Bernoulli B _m ( z ) por
  $${\displaystyle {\begin{aligned}(\partial _{n}-\partial _{z})S_{m}(z,n)&=B_{m}(z),\\[4pt](\partial _{2\lambda }-\partial _{Z})S_{2k+1}(z,n)&={\hat {S}}'_{k+1}(Z),\end{aligned}}}$$
  donde ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle Z=z(z-1),}$ ${\displaystyle \lambda =S_{1}(z,n),}$ ${\displaystyle {\hat {S}}_{k+1}(Z)\equiv S_{2k+1}(0,z).}$
• La suma de los términos de la serie geométrica es ${\displaystyle \sum _{k=i}^{n}z^{k}={\frac {z^{i}-z^{n+1}}{1-z}}.}$

Ver también

• Suma de cuadrados
• Suma de recíprocos
• Ecuación diofántica

Referencias

1. Graham, RL (junio de 1964). "Secuencias completas de valores polinomiales". Revista de Matemáticas de Duke . 31 (2): 275–285. doi :10.1215/S0012-7094-64-03126-6. ISSN  0012-7094.

• Reznick, Bruce ; Despertar, Jeremy (2011). "Sobre las sumas de dos cubos". Revista Internacional de Teoría de Números . 07 (7): 1863–1882. arXiv : 1012.5801 . doi :10.1142/S1793042111004903. SEÑOR  2854220. S2CID  16334026.