Conjetura de Beal

Conjetura matemática

La conjetura de Beal es la siguiente conjetura en teoría de números :

Problema sin resolver en matemáticas :

Si donde A , B , C , x , y , z son números enteros positivos y x , y , z son ≥ 3, ¿ A , B y C tienen un factor primo común? ${\displaystyle A^{x}+B^{y}=C^{z}}$

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Si

${\displaystyle A^{x}+B^{y}=C^{z}}$,

donde A , B , C , x , y y z son números enteros positivos con x , y , z ≥ 3, entonces A , B y C tienen un factor primo común .

De manera equivalente,

La ecuación no tiene soluciones en números enteros positivos y enteros coprimos por pares A, B, C si x, y, z ≥ 3. ${\displaystyle A^{x}+B^{y}=C^{z}}$

La conjetura fue formulada en 1993 por Andrew Beal , un banquero y matemático aficionado , mientras investigaba generalizaciones del Último Teorema de Fermat . ^{[1] [2]} Desde 1997, Beal ha ofrecido un premio monetario por una prueba revisada por pares de esta conjetura o un contraejemplo . ^[3] El valor del premio ha aumentado varias veces y actualmente es de $1 millón. ^[4]

En algunas publicaciones, esta conjetura se ha denominado ocasionalmente ecuación de Fermat generalizada, ^[5] conjetura de Mauldin, ^[6] y conjetura de Tijdeman-Zagier. ^{[7] [8] [9]}

Ejemplos relacionados

Para ilustrar, la solución tiene bases con un factor común de 3, la solución tiene bases con un factor común de 7 y tiene bases con un factor común de 2. De hecho, la ecuación tiene infinitas soluciones donde las bases comparten un factor común, incluidas generalizaciones de los tres ejemplos anteriores, respectivamente. ${\displaystyle 3^{3}+6^{3}=3^{5}}$ ${\displaystyle 7^{3}+7^{4}=14^{3}}$ ${\displaystyle 2^{n}+2^{n}=2^{n+1}}$

${\displaystyle 3^{3n}+[2(3^{n})]^{3}=3^{3n+2},\quad \quad n\geq 1;}$

${\displaystyle [b(a^{n}-b^{n})^{k}]^{n}+(a^{n}-b^{n})^{kn+1}=[a(a^{n}-b^{n})^{k}]^{n},\quad \quad a>b,\quad b\geq 1,\quad k\geq 1,\quad n\geq 3;}$

y

${\displaystyle [a(a^{n}+b^{n})^{k}]^{n}+[b(a^{n}+b^{n})^{k}]^{n}=(a^{n}+b^{n})^{kn+1},\quad \quad a\geq 1,\quad b\geq 1,\quad k\geq 1,\quad n\geq 3.}$

Además, para cada solución (con o sin bases coprimas), hay infinitas soluciones con el mismo conjunto de exponentes y un conjunto creciente de bases no coprimas. Es decir, para la solución

${\displaystyle A_{1}^{x}+B_{1}^{y}=C_{1}^{z}}$

También tenemos

${\displaystyle A_{n}^{x}+B_{n}^{y}=C_{n}^{z};}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

dónde

${\displaystyle A_{n}=(A_{n-1}^{yz+1})(B_{n-1}^{yz})(C_{n-1}^{yz})}$

${\displaystyle B_{n}=(A_{n-1}^{xz})(B_{n-1}^{xz+1})(C_{n-1}^{xz})}$

${\displaystyle C_{n}=(A_{n-1}^{xy})(B_{n-1}^{xy})(C_{n-1}^{xy+1})}$

Cualquier solución a la conjetura de Beal implicará necesariamente tres términos, todos ellos números 3-potentes , es decir, números en los que el exponente de cada factor primo es al menos tres. Se sabe que hay un número infinito de sumas de este tipo que implican números 3-potentes coprimos; ^[10] sin embargo, estas sumas son raras. Los dos ejemplos más pequeños son:

${\displaystyle {\begin{aligned}271^{3}+2^{3}\ 3^{5}\ 73^{3}=919^{3}&=776{,}151{,}559\\3^{4}\ 29^{3}\ 89^{3}+7^{3}\ 11^{3}\ 167^{3}=2^{7}\ 5^{4}\ 353^{3}&=3{,}518{,}958{,}160{,}000\\\end{aligned}}}$

Lo que distingue la conjetura de Beal es que requiere que cada uno de los tres términos pueda expresarse como una única potencia.

Relación con otras conjeturas

El último teorema de Fermat estableció que no hay soluciones para n > 2 para los números enteros positivos A , B y C . Si hubiera existido alguna solución para el último teorema de Fermat, entonces al dividir cada factor común, también existirían soluciones con A , B y C coprimos. Por lo tanto, el último teorema de Fermat puede verse como un caso especial de la conjetura de Beal restringida a x = y = z . ${\displaystyle A^{n}+B^{n}=C^{n}}$

La conjetura de Fermat-Catalan tiene solo un número finito de soluciones, siendo A , B y C números enteros positivos sin factor primo común y x , y y z números enteros positivos que satisfacen . La conjetura de Beal puede reformularse como "Todas las soluciones de la conjetura de Fermat-Catalan utilizarán 2 como exponente". ${\displaystyle A^{x}+B^{y}=C^{z}}$ ${\textstyle {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}<1}$

La conjetura abc implicaría que hay como máximo un número finito de contraejemplos a la conjetura de Beal.

Resultados parciales

En los casos siguientes en los que n es un exponente, también se prueban los múltiplos de n , ya que una potencia kn -ésima es también una potencia n -ésima. Cuando se alude a soluciones que implican una segunda potencia a continuación, se pueden encontrar específicamente en Conjetura de Fermat-Catalan#Soluciones conocidas . Todos los casos de la forma (2, 3, n ) o (2, n , 3) ​​tienen la solución 2 ³ + 1 ⁿ = 3 ² a la que se hace referencia a continuación como la solución de Catalan .

• El caso x = y = z ≥ 3 es el último teorema de Fermat , que Andrew Wiles demostró en 1994 que no tiene soluciones. ^[11]
• Bjorn Poonen , Edward F. Schaefer y Michael Stoll demostraron en 2005 que el caso ( x , y , z ) = (2, 3, 7) y todas sus permutaciones tienen solo cuatro soluciones no catalanas, ninguna de las cuales contradice la conjetura de Beal. ^[12]
• Se demostró que el caso ( x , y , z ) = (2, 3, 8) y todas sus permutaciones tienen sólo dos soluciones no catalanas, lo que no contradice la conjetura de Beal, de Nils Bruin en 2003. ^{[13] [14]}
• Se sabe que el caso ( x , y , z ) = (2, 3, 9) y todas sus permutaciones tienen sólo una solución no catalana, lo que no contradice la conjetura de Beal, de Nils Bruin en 2003. ^{[15] [16] [9]}
• David Zureick-Brown demostró en 2009 que el caso ( x , y , z ) = (2, 3, 10) y todas sus permutaciones solo tienen la solución catalana. ^[17]
• Freitas, Naskręcki y Stoll demostraron que el caso ( x , y , z ) = (2, 3, 11) y todas sus permutaciones solo tienen la solución Catalana. ^[18]
• En 2013, Samir Siksek y Michael Stoll demostraron que el caso ( x , y , z ) = (2, 3, 15) y todas sus permutaciones solo tienen la solución catalana. ^[19]
• El caso ( x , y , z ) = (2, 4, 4) y todas sus permutaciones demostraron que no tenían soluciones mediante el trabajo combinado de Pierre de Fermat en la década de 1640 y Euler en 1738. (Véase una prueba aquí y otra aquí )
• Se sabe que el caso ( x , y , z ) = (2, 4, 5) y todas sus permutaciones tienen sólo dos soluciones no catalanas, lo que no contradice la conjetura de Beal, de Nils Bruin en 2003. ^[13]
• El caso ( x , y , z ) = (2, 4, n ) y todas sus permutaciones fueron probadas para n ≥ 6 por Michael Bennett, Jordan Ellenberg y Nathan Ng en 2009. ^[20]
• El caso ( x , y , z ) = (2, 6, n ) y todas sus permutaciones fueron probadas para n ≥ 3 por Michael Bennett e Imin Chen en 2011 y por Bennett, Chen, Dahmen y Yazdani en 2014. ^{[21] [5]}
• Bennett, Chen, Dahmen y Yazdani demostraron que el caso ( x , y , z ) = (2, 2 n , 3) ​​no tiene una solución no catalana para 3 ≤ n ≤ 10 ⁷ excepto n = 7 y varias congruencias módulo cuando n es primo. ^{[22] [5] [23]}
• Los casos ( x , y , z ) = (2, 2 n , 9), (2, 2 n , 10), (2, 2 n , 15) y todas sus permutaciones fueron probados para n ≥ 2 por Bennett, Chen, Dahmen y Yazdani en 2014. ^[5]
• El caso ( x , y , z ) = (3, 3, n ) y todas sus permutaciones han sido probadas para 3 ≤ n ≤ 10 ⁹ y varias congruencias módulo cuando n es primo. ^[16]
• El caso ( x , y , z ) = (3, 4, 5) y todas sus permutaciones fueron probadas por Siksek y Stoll en 2011. ^[24]
• El caso ( x , y , z ) = (3, 5, 5) y todas sus permutaciones fueron probadas por Bjorn Poonen en 1998. ^[25]
• El caso ( x , y , z ) = (3, 6, n ) y todas sus permutaciones fueron probadas para n ≥ 3 por Bennett, Chen, Dahmen y Yazdani en 2014. ^[5]
• El caso ( x , y , z ) = (2 n , 3, 4) y todas sus permutaciones fueron probadas para n ≥ 2 por Bennett, Chen, Dahmen y Yazdani en 2014. ^[5]
• Los casos (5, 5, 7), (5, 5, 19), (7, 7, 5) y todas sus permutaciones fueron probados por Sander R. Dahmen y Samir Siksek en 2013. ^[26]
• Los casos ( x , y , z ) = ( n , n , 2) y todas sus permutaciones fueron probados para n ≥ 4 por Darmon y Merel en 1995 siguiendo el trabajo de Euler y Poonen. ^{[27] [25]}
• Los casos ( x , y , z ) = ( n , n , 3) ​​y todas sus permutaciones fueron probados para n ≥ 3 por Édouard Lucas , Bjorn Poonen y Darmon y Merel . ^[27]
• El caso ( x , y , z ) = (2 n , 2 n , 5) y todas sus permutaciones fueron probadas para n ≥ 2 por Bennett en 2006. ^[28]
• El caso ( x , y , z ) = (2 l , 2 m , n ) y todas sus permutaciones fueron probadas para l , m ≥ 5 primos y n = 3, 5, 7, 11 por Anni y Siksek. ^[29]
• El caso ( x , y , z ) = (2 l , 2 m , 13) y todas sus permutaciones fueron probadas para l , m ≥ 5 primos por Billerey, Chen, Dembélé, Dieulefait, Freitas. ^[30]
• El caso ( x , y , z ) = (3 l , 3 m , n ) es directo para l , m ≥ 2 y n ≥ 3 según el trabajo de Kraus. ^[31]
• El teorema de Darmon-Granville utiliza el teorema de Faltings para demostrar que para cada elección específica de exponentes ( x , y , z ), hay como máximo un número finito de soluciones coprimas para ( A , B , C ). ^{[32] [7] : p. 64}
• La imposibilidad del caso A = 1 o B = 1 está implícita en la conjetura de Catalan , demostrada en 2002 por Preda Mihăilescu . (Obsérvese que C no puede ser 1, o uno de A y B debe ser 0, lo cual no está permitido).
• En la década de 1950, L. Jesmanowicz consideró una clase potencial de soluciones para la ecuación, a saber, aquellas en las que A, B y C también forman una terna pitagórica . J. Jozefiak demostró que hay un número infinito de ternas pitagóricas primitivas que no pueden satisfacer la ecuación de Beal. Se deben otros resultados a Chao Ko. ^[33]
• Peter Norvig , director de investigación de Google , informó haber realizado una serie de búsquedas numéricas de contraejemplos a la conjetura de Beal. Entre sus resultados, excluyó todas las posibles soluciones que tuvieran cada una de x , y , z ≤ 7 y cada una de A , B , C ≤ 250.000, así como las posibles soluciones que tuvieran cada una de x , y , z ≤ 100 y cada una de A , B , C ≤ 10.000. ^[34]
• Si A , B son impares y x , y son pares, la conjetura de Beal no tiene contraejemplo. ^[35]
• Suponiendo la validez de la conjetura de Beal, existe un límite superior para cualquier divisor común de x , y y z en la expresión . ^[36] ${\displaystyle ax^{m}+by^{n}=z^{r}}$

Premio

Para una prueba o contraejemplo publicado, el banquero Andrew Beal inicialmente ofreció un premio de US$5.000 en 1997, elevándolo a US$50.000 en diez años, ^[3] pero desde entonces lo ha aumentado a US$1.000.000. ^[4]

La Sociedad Matemática Americana (AMS) conserva el premio de un millón de dólares en un fideicomiso hasta que se resuelva la conjetura de Beal. ^[37] Está supervisado por el Comité del Premio Beal (BPC), que es designado por el presidente de la AMS. ^[38]

Variantes

Los contraejemplos , , y muestran que la conjetura sería falsa si se permitiera que uno de los exponentes fuera 2. La conjetura de Fermat-Catalan es una conjetura abierta que trata estos casos (la condición de esta conjetura es que la suma de los recíprocos sea menor que 1). Si permitimos que como máximo uno de los exponentes sea 2, entonces puede haber solo un número finito de soluciones (excepto el caso ). ${\displaystyle 3^{5}+10^{2}=7^{3}}$ ${\displaystyle 7^{3}+13^{2}=2^{9}}$ ${\displaystyle 1^{m}+2^{3}=3^{2}}$ ${\displaystyle 1^{m}+2^{3}=3^{2}}$

Si A , B , C pueden tener un factor primo común, entonces la conjetura no es verdadera; un contraejemplo clásico es . ${\displaystyle 2^{10}+2^{10}=2^{11}}$

Una variación de la conjetura que afirma que x , y , z (en lugar de A , B , C ) deben tener un factor primo común no es cierta. Un contraejemplo es aquel en el que 4, 3 y 7 no tienen ningún factor primo común. (De hecho, el máximo factor primo común de los exponentes que es válido es 2; un factor común mayor que 2 sería un contraejemplo del Último Teorema de Fermat.) ${\displaystyle 27^{4}+162^{3}=9^{7},}$

La conjetura no es válida en el dominio más amplio de los números enteros gaussianos . Después de que se ofreciera un premio de $50 por un contraejemplo, Fred W. Helenius proporcionó . ^[39] ${\displaystyle (-2+i)^{3}+(-2-i)^{3}=(1+i)^{4}}$

Véase también

• Conjetura ABC
• Conjetura de la suma de potencias de Euler
• Ecuación de Jacobi-Madden
• Problema de Prouhet-Tarry-Escott
• Número de taxi
• Cuádruple pitagórico
• Sumas de potencias , una lista de conjeturas y teoremas relacionados
• Computación distribuida
• BOINC

Referencias

1. "Conjetura de Beal". American Mathematical Society . Consultado el 21 de agosto de 2016 .
2. "Conjetura de Beal". Bealconjecture.com . Consultado el 6 de marzo de 2014 .
3. R. Daniel Mauldin (1997). "Una generalización del último teorema de Fermat: la conjetura de Beal y el problema del premio" (PDF) . Avisos de la AMS . 44 (11): 1436–1439.
4. "Premio Beal". Ams.org . Consultado el 6 de marzo de 2014 .
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6. "Conjetura de Mauldin/Tijdeman-Zagier". Acertijos primos . Consultado el 1 de octubre de 2016 .
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39. "Gaussianas desatendidas". Mathpuzzle.com . Consultado el 6 de marzo de 2014 .

Enlaces externos

• La página de la oficina del Premio Beal
• Conjetura de Beal.com
• Matemáticas.unt.edu
• Conjetura de Beal en PlanetMath .
• Discusión en Mathoverflow.net sobre el nombre y la fecha de origen del teorema