El producto de distintos factores primos de a,b,c, donde c es a+b, rara vez es mucho menor que c
La conjetura abc (también conocida como conjetura de Oesterlé-Masser ) es una conjetura de la teoría de números que surgió de una discusión entre Joseph Oesterlé y David Masser en 1985. [1] [2] Se expresa en términos de tres números enteros positivos y (de ahí el nombre) que son primos relativos y satisfacen . La conjetura esencialmente establece que el producto de los distintos factores primos de normalmente no es mucho menor que . Varias conjeturas y teoremas famosos de la teoría de números se derivarían inmediatamente de la conjetura abc o de sus versiones. El matemático Dorian Goldfeld describió la conjetura abc como "el problema sin resolver más importante del análisis diofántico ". [3]
La conjetura abc se originó como resultado de los intentos de Oesterlé y Masser de comprender la conjetura de Szpiro sobre curvas elípticas , [4] que involucra más estructuras geométricas en su enunciado que la conjetura abc . Se demostró que la conjetura abc era equivalente a la conjetura de Szpiro modificada. [1]
Se han realizado varios intentos de demostrar la conjetura abc , pero ninguno ha obtenido una amplia aceptación. Shinichi Mochizuki afirmó tener una prueba en 2012, pero la comunidad matemática convencional aún considera que la conjetura no está probada. [5] [6] [7]
Si a , b y c son coprimos [notas 1] enteros positivos tales que a + b = c , resulta que "normalmente" . La conjetura abc se ocupa de las excepciones. En concreto, señala que:
Para cada número real positivo ε , existen sólo un número finito de tripletas ( a , b , c ) de enteros positivos coprimos, con a + b = c , tales que [8]
Una formulación equivalente es:
Para cada número real positivo ε , existe una constante K ε tal que para todos los triples ( a , b , c ) de enteros coprimos positivos, con a + b = c : [8]
Un triplete típico ( a , b , c ) de enteros positivos coprimos con a + b = c tendrá c < rad( abc ), es decir, q ( a , b , c ) < 1. Triples con q > 1 como en el El segundo ejemplo es bastante especial, consiste en números divisibles por potencias altas de números primos pequeños . La cuarta formulación es:
Para cada número real positivo ε , existen sólo un número finito de tripletas ( a , b , c ) de enteros positivos coprimos con a + b = c tales que q ( a , b , c ) > 1 + ε .
Mientras que se sabe que hay infinitos tripletes ( a , b , c ) de enteros coprimos positivos con a + b = c tales que q ( a , b , c ) > 1, la conjetura predice que sólo un número finito de ellos tienen q > 1.01 o q > 1.001 o incluso q > 1.0001, etc. En particular, si la conjetura es cierta, entonces debe existir una tripleta ( a , b , c ) que alcance la máxima calidad posible q ( a , b , c ).
Ejemplos de triples con radical pequeño.
La condición de que ε > 0 es necesaria ya que existen infinitas tripletas a , b , c con c > rad( abc ). Por ejemplo, dejemos
El número entero b es divisible por 9:
A partir de este hecho se realiza el siguiente cálculo:
Al reemplazar el exponente 6 n con otros exponentes que obliguen a b a tener factores cuadrados más grandes, la relación entre el radical y c puede hacerse arbitrariamente pequeña. Específicamente, sea p > 2 un primo y considere
Ahora bien, se puede afirmar de manera plausible que b es divisible por p 2 :
El último paso utiliza el hecho de que p 2 divide 2 p ( p −1) − 1. Esto se desprende del pequeño teorema de Fermat , que muestra que, para p > 2, 2 p −1 = pk + 1 para algún entero k . Elevando ambos lados a la potencia de p se muestra que 2 p ( p −1) = p 2 (...) + 1.
Y ahora con un cálculo similar al anterior, se obtienen los siguientes resultados:
A continuación se proporciona una lista de los triples de mayor calidad (triples con un radical particularmente pequeño en relación con c ); la calidad más alta, 1,6299, fue encontrada por Eric Reyssat (Lando y Zvonkin 2004, p. 137) para
a = 2,
b = 3 10 ·109 =6 436 341 ,
c = 23 5 =6 436 343 ,
rad( abc ) =15 042 .
Algunas consecuencias
La conjetura abc tiene una gran cantidad de consecuencias. Estos incluyen tanto resultados conocidos (algunos de los cuales se han probado por separado solo desde que se expresó la conjetura) como conjeturas para las cuales proporciona una prueba condicional . Las consecuencias incluyen:
La forma débil de la conjetura de Marshall Hall sobre la separación entre cuadrados y cubos de números enteros. [14]
El último teorema de Fermat tiene una demostración famosa por su dificultad realizada por Andrew Wiles . Sin embargo, se deduce fácilmente, al menos para , de una forma efectiva de una versión débil de la conjetura abc . La conjetura abc dice que el límite superior del conjunto de todas las cualidades (definido anteriormente) es 1, lo que implica la afirmación mucho más débil de que existe un límite superior finito para las cualidades. La conjetura de que 2 es un límite superior es suficiente para una prueba muy breve del último teorema de Fermat para . [15]
La función L L ( s , χ d ) formada con el símbolo de Legendre no tiene cero de Siegel , dada una versión uniforme de la conjetura abc en campos numéricos , no solo la conjetura abc formulada anteriormente para enteros racionales. [17]
Una generalización del teorema de Tijdeman sobre el número de soluciones de y m = x n + k (el teorema de Tijdeman responde al caso k = 1), y la conjetura de Pillai (1931) sobre el número de soluciones de Ay m = Bx n + k .
Como equivalente, la conjetura de Granville-Langevin, que si f es una forma binaria libre de cuadrados de grado n > 2, entonces para cada β real > 2 hay una constante C ( f , β ) tal que para todos los enteros coprimos x , y , el radical de f ( x , y ) excede C · max{| x |, | y |} norte − β . [19]
todos los polinomios (x^n-1)/(x-1) tienen una infinidad de valores libres de cuadrados. [20]
Como equivalente, la conjetura de Szpiro modificada , que produciría una cota de rad( abc ) 1,2+ ε . [1]
Dąbrowski (1996) ha demostrado que la conjetura abc implica que la ecuación diofántica n ! + A = k 2 tiene sólo un número finito de soluciones para cualquier número entero A dado .
Hay ~ c f N enteros positivos n ≤ N para los cuales f ( n )/B' no tiene cuadrados, siendo c f > 0 una constante positiva definida como: [21]
La conjetura de Beal , una generalización del último teorema de Fermat que propone que si A , B , C , x , y y z son enteros positivos con A x + B y = C z y x , y , z > 2, entonces A , B y C tienen un factor primo común. La conjetura abc implicaría que sólo hay un número finito de contraejemplos.
Conjetura de Lang , límite inferior para la altura de un punto racional sin torsión de una curva elíptica.
Una solución negativa al problema de Erdős-Ulam en conjuntos densos de puntos euclidianos con distancias racionales. [22]
La conjetura de abc implica que c puede estar acotado arriba por una función casi lineal del radical de abc . Se conocen límites que son exponenciales . En concreto, se han acreditado los siguientes límites:
(Stewart y Tijdeman 1986),
(Stewart y Yu 1991), y
(Stewart y Yu 2001).
En estos límites, K 1 y K 3 son constantes que no dependen de a , b o c , y K 2 es una constante que depende de ε (de una manera efectivamente computable ) pero no de a , b o c . Los límites se aplican a cualquier triplete para el cual c > 2.
También hay resultados teóricos que proporcionan un límite inferior a la mejor forma posible de la conjetura abc . En particular, Stewart y Tijdeman (1986) demostraron que hay infinitos tripletes ( a , b , c ) de enteros coprimos con a + b = c y
para todo k < 4. Van Frankenhuysen (2000) mejoró la constante k a k = 6,068.
Resultados computacionales
En 2006, el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Leiden en los Países Bajos, junto con el instituto científico holandés Kennislink, lanzaron el proyecto ABC@Home , un sistema de computación en red cuyo objetivo es descubrir triples adicionales a , b , c con rad( abc ) < C . Aunque ningún conjunto finito de ejemplos o contraejemplos puede resolver la conjetura abc , se espera que los patrones en los ternas descubiertos por este proyecto conduzcan a conocimientos sobre la conjetura y sobre la teoría de números en general.
Hasta mayo de 2014, ABC@Home había encontrado 23,8 millones de triples. [25]
Nota: la calidad q ( a , b , c ) del triple ( a , b , c ) está definida arriba.
Formas refinadas, generalizaciones y declaraciones relacionadas.
Un fortalecimiento, propuesto por Baker (1998), establece que en la conjetura abc se puede reemplazar rad( abc ) por
ε − ω rad( abc ),
donde ω es el número total de primos distintos que dividen a , b y c . [27]
Andrew Granville notó que el mínimo de la función over ocurre cuando
Esto inspiró a Baker (2004) a proponer una forma más precisa de la conjetura abc , a saber:
siendo κ una constante absoluta. Después de algunos experimentos computacionales encontró que un valor de era admisible para κ . Esta versión se llama " conjetura abc explícita ".
Baker (1998) también describe conjeturas relacionadas de Andrew Granville que darían límites superiores a c de la forma
donde Ω( n ) es el número total de factores primos de n , y
donde Θ( n ) es el número de números enteros hasta n divisibles sólo por primos que dividen a n .
Robert, Stewart & Tenenbaum (2014) propusieron una desigualdad más precisa basada en Robert & Tenenbaum (2013). Sea k = rad ( abc ). Conjeturaron que existe una constante C 1 tal que
se cumple mientras que hay una constante C 2 tal que
se mantiene infinitamente a menudo.
Browkin y Brzeziński (1994) formularon la conjetura n , una versión de la conjetura abc que involucra n > 2 enteros.
Pruebas reclamadas
Lucien Szpiro propuso una solución en 2007, pero poco después se descubrió que era incorrecta. [28]
Desde agosto de 2012, Shinichi Mochizuki ha reclamado una prueba de la conjetura de Szpiro y, por tanto, de la conjetura abc . [5] Publicó una serie de cuatro preimpresiones que desarrollan una nueva teoría que llamó teoría interuniversal de Teichmüller (IUTT), que luego se aplica para probar la conjetura abc . [29]
Los artículos no han sido ampliamente aceptados por la comunidad matemática como prueba de abc . [30] Esto no se debe sólo a su extensión y a la dificultad de entenderlos, [31] sino también a que al menos un punto específico del argumento ha sido identificado como un vacío por algunos otros expertos. [32] Aunque algunos matemáticos han avalado la exactitud de la prueba [33] y han intentado comunicar su comprensión a través de talleres sobre IUTT, no han logrado convencer a la comunidad de teoría de números en general. [34] [35]
En marzo de 2018, Peter Scholze y Jakob Stix visitaron Kioto para conversar con Mochizuki. [36] [37]
Si bien no resolvieron las diferencias, las enfocaron más claramente. Scholze y Stix escribieron un informe afirmando y explicando un error en la lógica de la prueba y afirmando que la brecha resultante era "tan grave que... pequeñas modificaciones no rescatarán la estrategia de prueba"; [32]
Mochizuki afirmó que entendieron mal aspectos vitales de la teoría e hicieron simplificaciones inválidas. [38] [39] [40]
El 3 de abril de 2020, dos matemáticos del instituto de investigación de Kioto donde trabaja Mochizuki anunciaron que su supuesta prueba se publicaría en Publicaciones del Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas , la revista del instituto. Mochizuki es el editor jefe de la revista, pero se abstuvo de revisar el artículo. [6] El anuncio fue recibido con escepticismo por Kiran Kedlaya y Edward Frenkel , además de ser descrito por Nature como "poco probable que traslade a muchos investigadores al campo de Mochizuki". [6] En marzo de 2021, la prueba de Mochizuki se publicó en RIMS. [41]
^ Cuando a + b = c , cualquier factor común de dos de los valores es necesariamente compartido por el tercero. Por lo tanto, la coprimalidad de a , b , c implica coprimalidad por pares de a , b , c . Entonces en este caso, no importa qué concepto usemos.
Referencias
^ abc Oesterlé 1988.
^ Masero 1985.
^ Goldfeld 1996.
^ Fesenko, Ivan (septiembre de 2015). "Teoría de la deformación aritmética a través de grupos fundamentales aritméticos y funciones theta no arquímedes, notas sobre el trabajo de Shinichi Mochizuki". Revista Europea de Matemáticas . 1 (3): 405–440. doi : 10.1007/s40879-015-0066-0 .
^ ab Ball, Peter (10 de septiembre de 2012). "Prueba reclamada de una conexión profunda entre los números primos". Naturaleza . doi : 10.1038/naturaleza.2012.11378 . Consultado el 19 de marzo de 2018 .
^ abc Castelvecchi, Davide (9 de abril de 2020). "Se publicará la prueba matemática de que la teoría de números sacudidos". Naturaleza . 580 (7802): 177. Bibcode :2020Natur.580..177C. doi :10.1038/d41586-020-00998-2. PMID 32246118. S2CID 214786566.
^ Comentario adicional de P. Scholze en Not Even Wrong math.columbia.edu [ ¿fuente autoeditada? ]
^ Granville, Andrés; Tucker, Thomas (2002). "Es tan fácil como el abc" (PDF) . Avisos de la AMS . 49 (10): 1224-1231.
^ Pomerancia (2008).
^ Granville y Stark (2000).
^ La conjetura ABC, Frits Beukers, ABC-DAY, Leiden, Universidad de Utrecht, 9 de septiembre de 2005.
^ Mollin (2009); Mollín (2010, p. 297)
^ Browkin (2000, pág.10)
^ Granville (1998).
^ Pasten, Hector (2017), "Definibilidad de las órbitas de Frobenius y un resultado en conjuntos de distancias racionales", Monatshefte für Mathematik , 182 (1): 99–126, doi :10.1007/s00605-016-0973-2, MR 3592123, S2CID 7805117
^ arXiv :math/0408168 Andrea Surroca, el teorema de Siegel y la conjetura abc, Riv. Estera. Univ. Parma (7) 3, 2004, págs. 323–332
^ "Synthese resultaten", RekenMeeMetABC.nl (en holandés), archivado desde el original el 22 de diciembre de 2008 , consultado el 3 de octubre de 2012.
^ "Datos recopilados hasta el momento", ABC@Home , archivado desde el original el 15 de mayo de 2014 , consultado el 30 de abril de 2014
^ "100 triples invictos". Reken mee conoció a ABC . 2010-11-07.
^ Bombieri y Gubler (2006), pág. 404.
^ "Teoremas de finitud para sistemas dinámicos", Lucien Szpiro, charla en la Conferencia sobre funciones L y formas automórficas (con motivo del 60 cumpleaños de Dorian Goldfeld), Universidad de Columbia, mayo de 2007. Véase Woit, Peter (26 de mayo de 2007), "¿Prueba de la conjetura abc?", Ni siquiera está mal.
^ Mochizuki, Shinichi (4 de marzo de 2021). "Teoría IV interuniversal de Teichmüller: cálculos de volumen logarítmico y fundamentos de la teoría de conjuntos". Publicaciones del Instituto de Investigaciones en Ciencias Matemáticas . 57 (1): 627–723. doi :10.4171/PRIMS/57-1-4. S2CID 3135393.
^ Calegari, Frank (17 de diciembre de 2017). "La conjetura de ABC (aún) no ha sido demostrada" . Consultado el 17 de marzo de 2018 .
^ Revell, Timothy (7 de septiembre de 2017). "La desconcertante prueba de matemáticas de ABC ahora tiene un 'resumen' impenetrable de 300 páginas'". Científico nuevo .
^ ab Scholze, Peter ; Stix, Jakob . "Por qué abc sigue siendo una conjetura" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 8 de febrero de 2020 . Consultado el 23 de septiembre de 2018 .(versión actualizada de su informe de mayo Archivado el 8 de febrero de 2020 en Wayback Machine )
^ Fesenko, Ivan (28 de septiembre de 2016). "Fukugen". Inferencia . 2 (3) . Consultado el 30 de octubre de 2021 .
^ Conrad, Brian (15 de diciembre de 2015). "Notas sobre el taller IUT de Oxford de Brian Conrad" . Consultado el 18 de marzo de 2018 .
^ Castelvecchi, Davide (8 de octubre de 2015). "El mayor misterio de las matemáticas: Shinichi Mochizuki y la prueba impenetrable". Naturaleza . 526 (7572): 178–181. Código Bib :2015Natur.526..178C. doi : 10.1038/526178a . PMID 26450038.
^ Klarreich, Erica (20 de septiembre de 2018). "Los titanes de las matemáticas chocan por la prueba épica de la conjetura ABC". Revista Quanta .
^ "Debates de marzo de 2018 sobre IUTeich" . Consultado el 2 de octubre de 2018 .Página web de Mochizuki que describe debates y vincula publicaciones posteriores y material complementario.
^ Mochizuki, Shinichi . "Informe sobre las discusiones celebradas durante el período del 15 al 20 de marzo de 2018 sobre la teoría interuniversal de Teichmüller" (PDF) . Consultado el 1 de febrero de 2019 . las... discusiones... constituyen las primeras discusiones detalladas,... sustantivas sobre posiciones negativas... IUTch.
^ Mochizuki, Shinichi (julio de 2018). "Comentarios al manuscrito de Scholze-Stix sobre la teoría interuniversal de Teichmüller" (PDF) . S2CID 174791744 . Consultado el 2 de octubre de 2018 .
^ Mochizuki, Shinichi . "Comentarios sobre el manuscrito (versión 2018-08) de Scholze-Stix sobre la teoría interuniversal de Teichmüller" (PDF) . Consultado el 2 de octubre de 2018 .
^ Mochizuki, Shinichi . "La prueba de Mochizuki de la conjetura ABC" . Consultado el 13 de julio de 2021 .
Fuentes
Panadero, Alan (1998). "Formas logarítmicas y la conjetura abc ". En Győry, Kálmán (ed.). Teoría de los números. Aspectos diofánticos, computacionales y algebraicos. Actas de la conferencia internacional, Eger, Hungría, 29 de julio al 2 de agosto de 1996 . Berlín: de Gruyter. págs. 37–44. ISBN 3-11-015364-5. Zbl 0973.11047.
Panadero, Alan (2004). "Experimentos sobre la conjetura abc". Publicaciones Mathematicae Debrecen . 65 (3–4): 253–260. doi : 10.5486/PMD.2004.3348 . S2CID 253834357.
Bombieri, Enrico (1994). "El teorema de Roth y la conjetura abc" (Preimpresión). ETH Zúrich.[ fuente poco confiable? ]
Browkin, Jerzy ; Brzeziński, Juliusz (1994). "Algunas observaciones sobre la conjetura abc ". Matemáticas. comp . 62 (206): 931–939. Código Bib : 1994MaCom..62..931B. doi :10.2307/2153551. JSTOR 2153551.
Browkin, Jerzy (2000). "La conjetura abc ". En Bambah, RP; Dumir, VC; Hans-Gill, RJ (eds.). Teoría de los números . Tendencias en Matemáticas. Basilea: Birkhäuser. págs. 75-106. ISBN 3-7643-6259-6.
Dąbrowski, Andrzej (1996). "Sobre la ecuación diofántica x ! + A = y 2 ". Nieuw Archief voor Wiskunde, IV . 14 : 321–324. Zbl 0876.11015.
Elkies, Dakota del Norte (1991). "ABC implica Mordell". Avisos internacionales de investigación en matemáticas . 1991 (7): 99-109. doi : 10.1155/S1073792891000144 .
Frey, Gerhard (1997). "Sobre ecuaciones ternarias de tipo Fermat y relaciones con curvas elípticas". Formas modulares y último teorema de Fermat . Nueva York: Springer. págs. 527–548. ISBN 0-387-94609-8.
Goldfeld, Dorian (2002). "Formas modulares, curvas elípticas y la conjetura abc". En Wüstholz, Gisbert (ed.). Un panorama en teoría de números o La vista desde el jardín de Baker. Basado en una conferencia en honor del 60 cumpleaños de Alan Baker, Zúrich, Suiza, 1999 . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 128-147. ISBN 0-521-80799-9. Zbl 1046.11035.
Granville, A. (1998). "ABC nos permite contar Squarefrees" (PDF) . Avisos internacionales de investigación en matemáticas . 1998 (19): 991–1009. doi : 10.1155/S1073792898000592 .
Granville, Andrés ; Stark, H. (2000). "ABC no implica" ceros de Siegel "para funciones L de caracteres con exponente negativo" (PDF) . Invenciones Mathematicae . 139 (3): 509–523. Código Bib : 2000InMat.139..509G. doi :10.1007/s002229900036. S2CID 6901166.
Lando, Sergei K.; Zvonkin, Alexander K. (2004). "Gráficos sobre superficies y sus aplicaciones". Enciclopedia de ciencias matemáticas: topología de dimensiones inferiores II . vol. 141. Springer-Verlag. ISBN 3-540-00203-0.
Langevin, M. (1993). "Cas d'égalité pour le théorème de Mason et aplicaciones de la conjetura abc ". Comptes rendus de l'Académie des sciences (en francés). 317 (5): 441–444.
Masser, DW (1985). "Problemas abiertos". En Chen, WWL (ed.). Actas del Simposio sobre teoría analítica de números . Londres: Imperial College.
Mollin, RA (2009). "Una nota sobre la conjetura ABC" (PDF) . Revista de Ciencias Matemáticas del Lejano Oriente . 33 (3): 267–275. ISSN 0972-0871. Zbl 1241.11034. Archivado desde el original (PDF) el 4 de marzo de 2016 . Consultado el 14 de junio de 2013 .
Mollin, Richard A. (2010). Teoría de números avanzada con aplicaciones . Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1-4200-8328-6. Zbl 1200.11002.
Nitaj, Abderrahmane (1996). "La conjetura abc ". Enseña. Matemáticas. (en francés). 42 (1–2): 3–24.
Oesterlé, Joseph (1988), "Nouvelles approches du "théorème" de Fermat", Astérisque , Séminaire Bourbaki exp 694 (161): 165–186, ISSN 0303-1179, SEÑOR 0992208
Pomerancia, Carl (2008). "Teoría de números computacional". El compañero de matemáticas de Princeton . Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 361–362.
Roberto, Olivier; Tenenbaum, Gérald (noviembre de 2013). "Sur la répartition du noyau d'un entier" [Sobre la distribución del núcleo de un número entero]. Indagationes Mathematicae (en francés). 24 (4): 802–914. doi : 10.1016/j.indag.2013.07.007 .
Stewart, CL ; Tijdeman, R. (1986). "Sobre la conjetura de Oesterlé-Masser". Monatshefte für Mathematik . 102 (3): 251–257. doi :10.1007/BF01294603. S2CID 123621917.
van Frankenhuysen, Machiel (2000). "Un límite inferior en la conjetura abc". J. Teoría de números . 82 (1): 91–95. doi : 10.1006/junio.1999.2484 . SEÑOR 1755155.
Van Frankenhuijsen, Machiel (2002). "La conjetura ABC implica la desigualdad de altura de Vojta para las curvas". J. Teoría de números . 95 (2): 289–302. doi : 10.1006/junio de 2001.2769 . SEÑOR 1924103.
Waldschmidt, Michel (2015). "Conferencia sobre la conjetura abc y algunas de sus consecuencias" (PDF) . Matemáticas en el siglo XXI . Actas de Springer en Matemáticas y Estadística. vol. 98, págs. 211-230. doi :10.1007/978-3-0348-0859-0_13. ISBN 978-3-0348-0858-3.