teorema de tijdeman

Hay como máximo un número finito de potencias consecutivas.

En teoría de números , el teorema de Tijdeman establece que existe como máximo un número finito de potencias consecutivas. Dicho de otra manera, el conjunto de soluciones en números enteros x , y , n , m de la ecuación diofántica exponencial

${\displaystyle y^{m}=x^{n}+1,}$

para exponentes n y m mayores que uno, es finito. ^{[1] [2]}

Historia

El teorema fue demostrado por el teórico de números holandés Robert Tijdeman en 1976, ^[3] haciendo uso del método de Baker en la teoría de números trascendental para dar un límite superior efectivo para x , y , m , n . Michel Langevin calculó un valor de exp exp exp 730 para el límite. ^{[1] [4] [5]}

El teorema de Tijdeman proporcionó un fuerte impulso hacia la eventual prueba de la conjetura del catalán por parte de Preda Mihăilescu . ^[6] El teorema de Mihăilescu establece que sólo hay un miembro en el conjunto de pares de potencias consecutivos, a saber, 9=8+1. ^[7]

Problema generalizado de Tijdeman

Que las potencias sean consecutivas es esencial para la prueba de Tijdeman; si reemplazamos la diferencia de 1 por cualquier otra diferencia k y preguntamos por el número de soluciones de

${\displaystyle y^{m}=x^{n}+k}$

con n y m mayores que uno tenemos un problema no resuelto, ^[8] llamado problema generalizado de Tijdeman. Se conjetura que este conjunto también será finito. Esto se derivaría de una conjetura aún más fuerte de Subbayya Sivasankaranarayana Pillai (1931), ver la conjetura de Catalan , que afirma que la ecuación sólo tiene un número finito de soluciones. La verdad de la conjetura de Pillai, a su vez, se derivaría de la verdad de la conjetura abc . ^[9] ${\displaystyle Ay^{m}=Bx^{n}+k}$

Referencias

1. Narkiewicz, Wladyslaw (2011), Teoría de números racionales en el siglo XX: de PNT a FLT , Monografías de Springer en Matemáticas, Springer-Verlag , p. 352, ISBN 978-0-857-29531-6
2. Schmidt, Wolfgang M. (1996), Aproximaciones diofánticas y ecuaciones diofánticas , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1467 (2ª ed.), Springer-Verlag , pág. 207, ISBN 978-3-540-54058-8, Zbl  0754.11020
3. Tijdeman, Robert (1976), "Sobre la ecuación del catalán", Acta Arithmetica , 29 (2): 197–209, doi : 10.4064/aa-29-2-197-209 , Zbl  0286.10013
4. Ribenboim, Paulo (1979), 13 conferencias sobre el último teorema de Fermat , Springer-Verlag , p. 236, ISBN 978-0-387-90432-0, Zbl  0456.10006
5. Langevin, Michel (1977), "Quelques application de nouveaux résultats de Van der Poorten", Séminaire Delange-Pisot-Poitou, 17e Année (1975/76), Théorie des Nombres , 2 (G12), MR  0498426
6. Metsänkylä, Tauno (2004), "La conjetura del catalán: otro viejo problema diofántico resuelto" (PDF) , Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense , 41 (1): 43–57, doi : 10.1090/S0273-0979-03-00993- 5
7. Mihăilescu, Preda (2004), "Unidades ciclotómicas primarias y una prueba de la conjetura del catalán", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 2004 (572): 167–195, doi :10.1515/crll.2004.048, MR  2076124
8. Shorey, Tarlok N.; Tijdeman, Robert (1986). Ecuaciones diofánticas exponenciales . Tratados de Cambridge en Matemáticas. vol. 87. Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 202.ISBN​ 978-0-521-26826-4. Señor  0891406. Zbl  0606.10011.
9. Narkiewicz (2011), págs. 253-254