polinomios de Bernoulli

Secuencia polinomial

polinomios de Bernoulli

En matemáticas , los polinomios de Bernoulli , llamados así en honor a Jacob Bernoulli , combinan los números de Bernoulli y los coeficientes binomiales . Se utilizan para la expansión en serie de funciones y con la fórmula de Euler-MacLaurin .

Estos polinomios aparecen en el estudio de muchas funciones especiales y, en particular, la función zeta de Riemann y la función zeta de Hurwitz . Son una secuencia de Appell (es decir, una secuencia de Sheffer para el operador derivativo ordinario ). Para los polinomios de Bernoulli, el número de cruces del eje x en el intervalo unitario no aumenta con el grado . En el límite de gran grado, se acercan, cuando se escalan adecuadamente, a las funciones seno y coseno .

Un conjunto similar de polinomios, basado en una función generadora, es la familia de polinomios de Euler .

Representaciones

Los polinomios de Bernoulli B _n se pueden definir mediante una función generadora . También admiten una variedad de representaciones derivadas.

Funciones generadoras

La función generadora de los polinomios de Bernoulli es

$${\displaystyle {\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}$$

$${\displaystyle {\frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}$$

Fórmula explícita

$${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}x^{k},}$$

$${\displaystyle E_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}{\frac {E_{k}}{2^{k}}}\left(x-{\tfrac {1}{2}}\right)^{m-k}.}$$

nBknúmeros de Bernoulli _ysonnúmeros de _Euler

Representación por un operador diferencial

Los polinomios de Bernoulli también están dados por

$${\displaystyle B_{n}(x)={\frac {D}{e^{D}-1}}x^{n}}$$

Dddxxserie de potencias formal

$${\displaystyle \int _{a}^{x}B_{n}(u)\,du={\frac {B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}}.}$$

$${\displaystyle E_{n}(x)={\frac {2}{e^{D}+1}}x^{n}.}$$

Representación por un operador integral

Los polinomios de Bernoulli son también los polinomios únicos determinados por

$${\displaystyle \int _{x}^{x+1}B_{n}(u)\,du=x^{n}.}$$

La transformada integral

$${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{x}^{x+1}f(u)\,du}$$

f

$${\displaystyle {\begin{aligned}(Tf)(x)={e^{D}-1 \over D}f(x)&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{D^{n} \over (n+1)!}f(x)\\&{}=f(x)+{f'(x) \over 2}+{f''(x) \over 6}+{f'''(x) \over 24}+\cdots .\end{aligned}}}$$

Recurrencia integral

En ^{[1] [2]} se deduce y demuestra que los polinomios de Bernoulli se pueden obtener mediante la siguiente recurrencia integral

$${\displaystyle B_{m}(x)=m\int _{0}^{x}B_{m-1}(t)\,dt-m\int _{0}^{1}\int _{0}^{t}B_{m-1}(s)\,dsdt.}$$

Otra fórmula explícita

Una fórmula explícita para los polinomios de Bernoulli viene dada por

$${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\biggl [}{\frac {1}{k+1}}\sum _{\ell =0}^{k}(-1)^{\ell }{k \choose \ell }(x+\ell )^{n}{\biggr ]}.}$$

Esto es similar a la expresión en serie de la función zeta de Hurwitz en el plano complejo. De hecho, existe la relación

$${\displaystyle B_{n}(x)=-n\zeta (1-n,\,x)}$$

función zeta de Hurwitzde n . ${\displaystyle \zeta (s,\,q)}$

La suma interna puede entenderse como la enésima diferencia directa de es decir, ${\displaystyle x^{m},}$

$${\displaystyle \Delta ^{n}x^{m}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}(x+k)^{m}}$$

operador de diferencia directa ${\displaystyle \Delta }$

$${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\Delta ^{k}x^{n}.}$$

Esta fórmula puede derivarse de una identidad que aparece arriba como sigue. Dado que el operador de diferencia directa Δ es igual

$${\displaystyle \Delta =e^{D}-1}$$

Dxserie de Mercator

$${\displaystyle {\frac {D}{e^{D}-1}}={\frac {\log(\Delta +1)}{\Delta }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-\Delta )^{n}}{n+1}}.}$$

Siempre que esto opere en un polinomio de grado m , como uno, se puede dejar que n vaya desde 0 solo hasta m . ${\displaystyle x^{m},}$

Una representación integral de los polinomios de Bernoulli viene dada por la integral de Nörlund-Rice , que se deriva de la expresión como una diferencia finita.

Una fórmula explícita para los polinomios de Euler viene dada por

$${\displaystyle E_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}\left[{\frac {1}{2^{k}}}\sum _{\ell =0}^{n}(-1)^{\ell }{k \choose \ell }(x+\ell )^{n}\right].}$$

Lo anterior se sigue de manera análoga, utilizando el hecho de que

$${\displaystyle {\frac {2}{e^{D}+1}}={\frac {1}{1+{\tfrac {1}{2}}\Delta }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\bigl (}{-{\tfrac {1}{2}}}\Delta {\bigr )}^{n}.}$$

Sumas de potencias p -ésimas

Usando la representación integral anterior de o la identidad , tenemos ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1}}$

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{x}k^{p}=\int _{0}^{x+1}B_{p}(t)\,dt={\frac {B_{p+1}(x+1)-B_{p+1}}{p+1}}}$$

⁰

Los números de Bernoulli y Euler

Los números de Bernoulli están dados por ${\textstyle B_{n}=B_{n}(0).}$

Esta definición da para ${\textstyle \zeta (-n)={\frac {(-1)^{n}}{n+1}}B_{n+1}}$ ${\textstyle n=0,\,1,\,2,\,\ldots .}$

Una convención alternativa define los números de Bernoulli como ${\textstyle B_{n}=B_{n}(1).}$

Las dos convenciones difieren sólo cuando desde ${\displaystyle n=1,}$ ${\displaystyle B_{1}(1)=-B_{1}(0)={\tfrac {1}{2}}.}$

Los números de Euler están dados por ${\displaystyle E_{n}=2^{n}E_{n}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}.}$

Expresiones explícitas para grados bajos.

Los primeros polinomios de Bernoulli son:

$${\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}(x)&=1,&B_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\tfrac {1}{30}},\\[4mu]B_{1}(x)&=x-{\tfrac {1}{2}},&B_{5}(x)&=x^{5}-{\tfrac {5}{2}}x^{4}+{\tfrac {5}{3}}x^{3}-{\tfrac {1}{6}}x,\\[4mu]B_{2}(x)&=x^{2}-x+{\tfrac {1}{6}},&B_{6}(x)&=x^{6}-3x^{5}+{\tfrac {5}{2}}x^{4}-{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{42}},\\[-2mu]B_{3}(x)&=x^{3}-{\tfrac {3}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{2}}x{\vphantom {\Big |}},\qquad &&\ \,\,\vdots \end{aligned}}}$$

Los primeros polinomios de Euler son:

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{0}(x)&=1,&E_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x,\\[4mu]E_{1}(x)&=x-{\tfrac {1}{2}},&E_{5}(x)&=x^{5}-{\tfrac {5}{2}}x^{4}+{\tfrac {5}{2}}x^{2}-{\tfrac {1}{2}},\\[4mu]E_{2}(x)&=x^{2}-x,&E_{6}(x)&=x^{6}-3x^{5}+5x^{3}-3x,\\[-1mu]E_{3}(x)&=x^{3}-{\tfrac {3}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{4}},\qquad \ \ &&\ \,\,\vdots \end{aligned}}}$$

Máximo y mínimo

A mayor n, la cantidad de variación entre y aumenta. Por ejemplo, pero Lehmer (1940) ^[3] demostró que el valor máximo ( M _n ) de entre 0 y 1 obedece ${\displaystyle B_{n}(x)}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle B_{16}(0)=B_{16}(1)={}}$ ${\displaystyle -{\tfrac {3617}{510}}\approx -7.09,}$ ${\displaystyle B_{16}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}={}}$ ${\displaystyle {\tfrac {118518239}{3342336}}\approx 7.09.}$ ${\displaystyle B_{n}(x)}$

$${\displaystyle M_{n}<{\frac {2n!}{(2\pi )^{n}}}}$$

n2 módulo 4 ,

$${\displaystyle M_{n}={\frac {2\zeta (n)\,n!}{(2\pi )^{n}}}}$$

función zeta de Riemannm _n ${\displaystyle \zeta (x)}$

$${\displaystyle m_{n}>{\frac {-2n!}{(2\pi )^{n}}}}$$

n = 0 módulo 4 ,

$${\displaystyle m_{n}={\frac {-2\zeta (n)\,n!}{(2\pi )^{n}}}.}$$

Estos límites están bastante cerca del máximo y mínimo reales, y Lehmer también ofrece límites más precisos.

Diferencias y derivadas

Los polinomios de Bernoulli y Euler obedecen a muchas relaciones del cálculo umbral :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta B_{n}(x)&=B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1},\\[3mu]\Delta E_{n}(x)&=E_{n}(x+1)-E_{n}(x)=2(x^{n}-E_{n}(x)).\end{aligned}}}$$

Δoperador de diferencia directa

$${\displaystyle E_{n}(x+1)+E_{n}(x)=2x^{n}.}$$

secuencias polinómicassecuencias de Appell

$${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}'(x)&=nB_{n-1}(x),\\[3mu]E_{n}'(x)&=nE_{n-1}(x).\end{aligned}}}$$

Traducciones

$${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}(x)y^{n-k}\\[3mu]E_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}E_{k}(x)y^{n-k}\end{aligned}}}$$

secuencias de AppellLos polinomios de Hermite

Simetrías

$${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}(1-x)&=\left(-1\right)^{n}B_{n}(x),&&n\geq 0,\\[3mu]E_{n}(1-x)&=\left(-1\right)^{n}E_{n}(x)\\[1ex]\left(-1\right)^{n}B_{n}(-x)&=B_{n}(x)+nx^{n-1}\\[3mu]\left(-1\right)^{n}E_{n}(-x)&=-E_{n}(x)+2x^{n}\\[1ex]B_{n}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}&=\left({\frac {1}{2^{n-1}}}-1\right)B_{n},&&n\geq 0{\text{ from the multiplication theorems below.}}\end{aligned}}}$$

Zhi-Wei Sun^[4]r + s + t = nx + y + z = 1

$${\displaystyle r[s,t;x,y]_{n}+s[t,r;y,z]_{n}+t[r,s;z,x]_{n}=0,}$$

$${\displaystyle [s,t;x,y]_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{s \choose k}{t \choose {n-k}}B_{n-k}(x)B_{k}(y).}$$

series de Fourier

La serie de Fourier de los polinomios de Bernoulli también es una serie de Dirichlet , dada por la expansión

$${\displaystyle B_{n}(x)=-{\frac {n!}{(2\pi i)^{n}}}\sum _{k\not =0}{\frac {e^{2\pi ikx}}{k^{n}}}=-2n!\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2k\pi x-{\frac {n\pi }{2}}\right)}{(2k\pi )^{n}}}.}$$

de n

Este es un caso especial de la forma análoga de la función zeta de Hurwitz.

$${\displaystyle B_{n}(x)=-\Gamma (n+1)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi ikx)+e^{i\pi n}\exp(2\pi ik(1-x))}{(2\pi ik)^{n}}}.}$$

Esta expansión es válida sólo para 0 ≤ x ≤ 1 cuando n ≥ 2 y es válida para 0 < x < 1 cuando n = 1 .

También se puede calcular la serie de Fourier de los polinomios de Euler. Definiendo las funciones

$${\displaystyle {\begin{aligned}C_{\nu }(x)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\cos((2k+1)\pi x)}{(2k+1)^{\nu }}}\\[3mu]S_{\nu }(x)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin((2k+1)\pi x)}{(2k+1)^{\nu }}}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \nu >1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}C_{2n}(x)&={\frac {\left(-1\right)^{n}}{4(2n-1)!}}\pi ^{2n}E_{2n-1}(x)\\[1ex]S_{2n+1}(x)&={\frac {\left(-1\right)^{n}}{4(2n)!}}\pi ^{2n+1}E_{2n}(x).\end{aligned}}}$$

${\displaystyle C_{\nu }}$ ${\displaystyle S_{\nu }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}C_{\nu }(x)&=-C_{\nu }(1-x)\\S_{\nu }(x)&=S_{\nu }(1-x).\end{aligned}}}$$

Están relacionados con la función chi de Legendre como ${\displaystyle \chi _{\nu }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}C_{\nu }(x)&=\operatorname {Re} \chi _{\nu }(e^{ix})\\S_{\nu }(x)&=\operatorname {Im} \chi _{\nu }(e^{ix}).\end{aligned}}}$$

inversión

Los polinomios de Bernoulli y Euler se pueden invertir para expresar el monomio en términos de polinomios.

Específicamente, evidentemente de la sección anterior sobre operadores integrales, se deduce que

$${\displaystyle x^{n}={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}{n+1 \choose k}B_{k}(x)}$$

$${\displaystyle x^{n}=E_{n}(x)+{\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{n-1}{n \choose k}E_{k}(x).}$$

Relación con la caída del factorial

Los polinomios de Bernoulli se pueden expandir en términos del factorial descendente como ${\displaystyle (x)_{k}}$

$${\displaystyle B_{n+1}(x)=B_{n+1}+\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}(x)_{k+1}}$$

${\displaystyle B_{n}=B_{n}(0)}$

$${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}=S(n,k)}$$

número de Stirling de segunda especie

$${\displaystyle (x)_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\left(B_{k+1}(x)-B_{k+1}\right)}$$

$${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]=s(n,k)}$$

número de Stirling de primera especie

Teoremas de multiplicación

Los teoremas de la multiplicación fueron propuestos por Joseph Ludwig Raabe en 1851:

Para un número natural m ≥1 ,

$${\displaystyle B_{n}(mx)=m^{n-1}\sum _{k=0}^{m-1}B_{n}{\left(x+{\frac {k}{m}}\right)}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{n}(mx)&=m^{n}\sum _{k=0}^{m-1}\left(-1\right)^{k}E_{n}{\left(x+{\frac {k}{m}}\right)}&{\text{ for odd }}m\\[1ex]E_{n}(mx)&={\frac {-2}{n+1}}m^{n}\sum _{k=0}^{m-1}\left(-1\right)^{k}B_{n+1}{\left(x+{\frac {k}{m}}\right)}&{\text{ for even }}m\end{aligned}}}$$

Integrales

Dos integrales definidas que relacionan los polinomios de Bernoulli y Euler con los números de Bernoulli y Euler son: ^[5]

• ${\displaystyle \int _{0}^{1}B_{n}(t)B_{m}(t)\,dt=(-1)^{n-1}{\frac {m!\,n!}{(m+n)!}}B_{n+m}\quad {\text{for }}m,n\geq 1}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{1}E_{n}(t)E_{m}(t)\,dt=(-1)^{n}4(2^{m+n+2}-1){\frac {m!\,n!}{(m+n+2)!}}B_{n+m+2}}$

Otra fórmula integral establece ^[6]

• ${\displaystyle \int _{0}^{1}E_{n}\left(x+y\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=n!\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {n+1}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{k-1}}{\pi ^{2k}}}\left(2-2^{-2k}\right)\zeta (2k+1){\frac {y^{n+1-2k}}{(n+1-2k)!}}}$

con el caso especial de ${\displaystyle y=0}$

• ${\displaystyle \int _{0}^{1}E_{2n-1}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx={\frac {(-1)^{n-1}(2n-1)!}{\pi ^{2n}}}\left(2-2^{-2n}\right)\zeta (2n+1)}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{1}B_{2n-1}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx={\frac {(-1)^{n-1}}{\pi ^{2n}}}{\frac {2^{2n-2}}{(2n-1)!}}\sum _{k=1}^{n}(2^{2k+1}-1)\zeta (2k+1)\zeta (2n-2k)}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{1}E_{2n}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=\int _{0}^{1}B_{2n}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=0}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{1}{{{B}_{2n-1}}\left(x\right)\cot \left(\pi x\right)dx}={\frac {2\left(2n-1\right)!}{{{\left(-1\right)}^{n-1}}{{\left(2\pi \right)}^{2n-1}}}}\zeta \left(2n-1\right)}$

Polinomios periódicos de Bernoulli

Un polinomio periódico de Bernoulli P _n ( x ) es un polinomio de Bernoulli evaluado en la parte fraccionaria del argumento x . Estas funciones se utilizan para proporcionar el término restante en la fórmula de Euler-Maclaurin que relaciona sumas con integrales. El primer polinomio es una función en diente de sierra .

Estrictamente, estas funciones no son polinomios en absoluto y, más propiamente, deberían denominarse funciones periódicas de Bernoulli, y P ₀ ( x ) ni siquiera es una función, siendo la derivada de un diente de sierra y, por tanto, de un peine de Dirac .

Son de interés las siguientes propiedades, válidas para todos : ${\displaystyle x}$

• ${\displaystyle P_{k}(x)}$es continuo para todos ${\displaystyle k>1}$
• ${\displaystyle P_{k}'(x)}$existe y es continuo durante ${\displaystyle k>2}$
• ${\displaystyle P'_{k}(x)=kP_{k-1}(x)}$para ${\displaystyle k>2}$

Ver también

• Números de Bernoulli
• Polinomios de Bernoulli de segunda especie.
• polinomio de Stirling
• Polinomios que calculan sumas de potencias de progresiones aritméticas.

Referencias

1. Hurtado Benavides, Miguel Ángel. (2020). De las sumas de potencias a las sucesiones de Appell y su caracterización a través de funcionales. [Tesis de maestría]. Universidad Sergio Arboleda. https://repositorio.usergioarboleda.edu.co/handle/11232/174
2. Sergio A. Carrillo; Miguel Hurtado. Secuencias de Appell y Sheffer: sobre sus caracterizaciones a través de funcionales y ejemplos. Cuentas Rendus. Mathématique, Tomo 359 (2021) no. 2, págs. 205-217. doi: 10.5802/crmath.172. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.172/
3. Lehmer, DH (1940). "Sobre los máximos y mínimos de los polinomios de Bernoulli". Mensual Matemático Estadounidense . 47 : 533–538.
4. Zhi-Wei Sun; Hao Pan (2006). "Identidades relativas a los polinomios de Bernoulli y Euler". Acta Aritmética . 125 (1): 21–39. arXiv : matemáticas/0409035 . Código Bib : 2006AcAri.125...21S. doi :10.4064/aa125-1-3. S2CID  10841415.
5. Takashi Agoh y Karl Dilcher (2011). "Integrales de productos de polinomios de Bernoulli". Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 381 : 10-16. doi : 10.1016/j.jmaa.2011.03.061 .
6. Elaissaoui, Lahoucine y Guennoun, Zine El Abidine (2017). "Evaluación de integrales log-tangentes por series que involucran ζ (2n + 1)". Transformadas Integrales y Funciones Especiales . 28 (6): 460–475. arXiv : 1611.01274 . doi :10.1080/10652469.2017.1312366. S2CID  119132354.

• Milton Abramowitz e Irene A. Stegun, eds. Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas , (1972) Dover, Nueva York. (Ver Capítulo 23)
• Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, SEÑOR  0434929, Zbl  0335.10001 (Ver capítulo 12.11)
• Dilcher, K. (2010), "Bernoulli and Euler Polynomials", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, señor  2723248.
• Cvijović, Djurdje; Klinowski, Jacek (1995). "Nuevas fórmulas para los polinomios de Bernoulli y Euler en argumentos racionales". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 123 (5): 1527-1535. doi : 10.1090/S0002-9939-1995-1283544-0 . JSTOR  2161144.
• Guillera, Jesús; Sondow, Jonathan (2008). "Integrales dobles y productos infinitos para algunas constantes clásicas mediante continuaciones analíticas de la trascendente de Lerch". El diario Ramanujan . 16 (3): 247–270. arXiv : math.NT/0506319 . doi :10.1007/s11139-007-9102-0. S2CID  14910435. (Revisa la relación con la función zeta de Hurwitz y la trascendente de Lerch).
• Hugh L. Montgomery ; Robert C. Vaughan (2007). Teoría de los números multiplicativos I. Teoría clásica . Tratados de Cambridge sobre matemáticas avanzadas. vol. 97. Cambridge: Universidad de Cambridge. Prensa. págs. 495–519. ISBN 978-0-521-84903-6.

enlaces externos

• Una lista de identidades integrales que involucran polinomios de Bernoulli del NIST