Diferencia finita

Análogo discreto de un derivado.

Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f  ( x + b ) − f  ( x + a ) . Si una diferencia finita se divide por b − a , se obtiene un cociente de diferencias . La aproximación de derivadas por diferencias finitas juega un papel central en los métodos de diferencias finitas para la solución numérica de ecuaciones diferenciales , especialmente problemas de valores en la frontera .

El operador de diferencia , comúnmente denotado, es el operador que asigna una función f a la función definida por ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta [f]}$

$${\displaystyle \Delta [f](x)=f(x+1)-f(x).}$$

ecuación en diferenciasecuación funcionalecuación diferencialderivadasCiertas relaciones de recurrencia

En análisis numérico , las diferencias finitas se utilizan ampliamente para aproximar derivadas, y el término "diferencia finita" se utiliza a menudo como abreviatura de "aproximación de derivadas en diferencias finitas". ^{[1] [2] [3]} Las aproximaciones en diferencias finitas son cocientes de diferencias finitas en la terminología empleada anteriormente.

Las diferencias finitas fueron introducidas por Brook Taylor en 1715 y también han sido estudiadas como objetos matemáticos abstractos e independientes en obras de George Boole (1860), LM Milne-Thomson (1933) y Károly Jordan  [de] (1939). Las diferencias finitas tienen sus orígenes en uno de los algoritmos de Jost Bürgi ( c.  1592 ) y en el trabajo de otros, incluido Isaac Newton . El cálculo formal de diferencias finitas puede verse como una alternativa al cálculo de infinitesimales . ^[4]

Tipos basicos

Los tres tipos de diferencias finitas. La diferencia central alrededor de x da la mejor aproximación de la derivada de la función en x .

Comúnmente se consideran tres tipos básicos: diferencias finitas hacia adelante , hacia atrás y centrales . ^{[1] [2] [3]}

Adiferencia directa , denotadade unafunciónfes una función definida como ${\displaystyle \Delta _{h}[f],}$

$${\displaystyle \Delta _{h}[f](x)=f(x+h)-f(x).}$$

Dependiendo de la aplicación, la separación h puede ser variable o constante. Cuando se omite, h se considera 1; eso es,

$${\displaystyle \Delta [f](x)=\Delta _{1}[f](x)=f(x+1)-f(x).}$$

ALa diferencia hacia atrás utiliza los valores de la función enxy x − h , en lugar de los valores en x + h y x:

$${\displaystyle \nabla _{h}[f](x)=f(x)-f(x-h)=\Delta _{h}[f](x-h).}$$

Finalmente, ella diferencia central está dada por

$${\displaystyle \delta _{h}[f](x)=f(x+{\tfrac {h}{2}})-f(x-{\tfrac {h}{2}})=\Delta _{h/2}[f](x)+\nabla _{h/2}[f](x).}$$

Relación con derivados

La diferencia finita se utiliza a menudo como una aproximación de la derivada, normalmente en la diferenciación numérica .

La derivada de una función f en un punto x está definida por el límite

$${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}$$

Si h tiene un valor fijo (distinto de cero) en lugar de acercarse a cero, entonces el lado derecho de la ecuación anterior se escribiría

$${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}.}$$

Por lo tanto, la diferencia directa dividida por h se aproxima a la derivada cuando h es pequeña. El error en esta aproximación se puede derivar del teorema de Taylor . Suponiendo que f es dos veces diferenciable, tenemos

$${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=o(h)\to 0\quad {\text{as }}h\to 0.}$$

La misma fórmula se aplica a la diferencia hacia atrás:

$${\displaystyle {\frac {\nabla _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=o(h)\to 0\quad {\text{as }}h\to 0.}$$

Sin embargo, la diferencia central (también llamada centrada) produce una aproximación más precisa. Si f es tres veces diferenciable,

$${\displaystyle {\frac {\delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=o\left(h^{2}\right).}$$

Sin embargo, el principal problema ^{[ cita necesaria ]} con el método de diferencias centrales es que las funciones oscilantes pueden producir una derivada cero. Si f  ( nh )=1 para n impar, y f  ( nh )=2 para n par, entonces f  ′( nh )=0 si se calcula con el esquema de diferencias centrales . Esto es particularmente problemático si el dominio de f es discreto. Véase también Derivada simétrica .

Los autores para quienes las diferencias finitas significan aproximaciones en diferencias finitas definen las diferencias hacia adelante/hacia atrás/central como los cocientes dados en esta sección (en lugar de emplear las definiciones dadas en la sección anterior). ^{[1] [2] [3]}

Diferencias de orden superior

De manera análoga, se pueden obtener aproximaciones en diferencias finitas a derivadas de orden superior y operadores diferenciales. Por ejemplo, utilizando la fórmula de diferencia central anterior para f  ′( x +h/2) y f  ′( x −h/2) y aplicando una fórmula en diferencias centrales para la derivada de f  ′ en x , obtenemos la aproximación en diferencias centrales de la segunda derivada de f :

central de segundo orden

${\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}={\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.}$

De manera similar podemos aplicar otras fórmulas de diferenciación de forma recursiva.

Segundo orden adelante

${\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+2h)-f(x+h)}{h}}-{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}{h}}={\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2}}}.}$

Segundo orden hacia atrás

${\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\nabla _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}-{\frac {f(x-h)-f(x-2h)}{h}}}{h}}={\frac {f(x)-2f(x-h)+f(x-2h)}{h^{2}}}.}$

De manera más general, las diferencias hacia adelante, hacia atrás y central de orden n vienen dadas por, respectivamente,

Adelante

${\displaystyle \Delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{n-i}{\binom {n}{i}}f{\bigl (}x+ih{\bigr )},}$

Hacia atrás

${\displaystyle \nabla _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f(x-ih),}$

Central

${\displaystyle \delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f\left(x+\left({\frac {n}{2}}-i\right)h\right).}$

Estas ecuaciones utilizan coeficientes binomiales después del signo de suma que se muestra como (ⁿ
_yo) . Cada fila deltriángulo de Pascalproporciona el coeficiente para cada valor dei.

Tenga en cuenta que la diferencia central, para n impar , tendrá h multiplicado por números no enteros. Esto suele ser un problema porque equivale a cambiar el intervalo de discretización. El problema se puede solucionar tomando el promedio de δ ⁿ [  f  ]( x −h/2) y δ ^norte [  f  ]( x +h/2) .

Las diferencias directas aplicadas a una secuencia a veces se denominan transformada binomial de la secuencia y tienen una serie de propiedades combinatorias interesantes. Las diferencias directas pueden evaluarse utilizando la integral de Nörlund-Rice . La representación integral de este tipo de series es interesante, porque la integral a menudo se puede evaluar utilizando técnicas de expansión asintótica o de punto de silla ; por el contrario, la serie de diferencias directas puede ser extremadamente difícil de evaluar numéricamente, porque los coeficientes binomiales crecen rápidamente para n grande .

La relación de estas diferencias de orden superior con las respectivas derivadas es sencilla,

$${\displaystyle {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(x)={\frac {\Delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+o(h)={\frac {\nabla _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+o(h)={\frac {\delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+o\left(h^{2}\right).}$$

También se pueden utilizar diferencias de orden superior para construir mejores aproximaciones. Como se mencionó anteriormente, la diferencia de primer orden aproxima la derivada de primer orden hasta un término de orden h . Sin embargo, la combinación

$${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}[f](x)-{\frac {1}{2}}\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h}}=-{\frac {f(x+2h)-4f(x+h)+3f(x)}{2h}}}$$

f  ′( x )h ²series de Taylor

Si es necesario, la diferencia finita se puede centrar alrededor de cualquier punto mezclando diferencias hacia adelante, hacia atrás y centrales.

Polinomios

Para un polinomio dado de grado n ≥ 1 , expresado en la función P ( x ) , con números reales a ≠ 0 y b y términos de orden inferior (si los hay) marcados como lote :

$${\displaystyle P(x)=ax^{n}+bx^{n-1}+l.o.t.}$$

Después de n diferencias por pares, se puede lograr el siguiente resultado, donde h ≠ 0 es un número real que marca la diferencia aritmética: ^[5]

$${\displaystyle \Delta _{h}^{n}[P](x)=ah^{n}n!}$$

Sólo queda el coeficiente del término de mayor orden. Como este resultado es constante con respecto a x , cualquier diferencia adicional por pares tendrá el valor 0 .

prueba inductiva

Caso base

Sea Q ( x ) un polinomio de grado 1 :

$${\displaystyle \Delta _{h}[Q](x)=Q(x+h)-Q(x)=[a(x+h)+b]-[ax+b]=ah=ah^{1}1!}$$

Esto lo demuestra para el caso base.

paso inductivo

Sea R ( x ) un polinomio de grado m  − 1 donde m ≥ 2 y el coeficiente del término de mayor orden sea a ≠ 0 . Suponiendo que lo siguiente es válido para todos los polinomios de grado m  − 1 :

$${\displaystyle \Delta _{h}^{m-1}[R](x)=ah^{m-1}(m-1)!}$$

Sea S ( x ) un polinomio de grado m . Con una diferencia por pares:

$${\displaystyle \Delta _{h}[S](x)=[a(x+h)^{m}+b(x+h)^{m-1}+{\text{l.o.t.}}]-[ax^{m}+bx^{m-1}+{\text{l.o.t.}}]=ahmx^{m-1}+{\text{l.o.t.}}=T(x)}$$

Como ahm ≠ 0 , esto da como resultado un polinomio T ( x ) de grado m − 1 , con ahm como coeficiente del término de orden más alto. Dada la suposición anterior y m − 1 diferencias por pares (lo que da como resultado un total de m diferencias por pares para S ( x ) ), se puede encontrar que:

$${\displaystyle \Delta _{h}^{m-1}[T](x)=ahm\cdot h^{m-1}(m-1)!=ah^{m}m!}$$

Esto completa la prueba.

Solicitud

Esta identidad se puede utilizar para encontrar el polinomio de grado más bajo que intercepta una cantidad de puntos ( x , y ) donde la diferencia en el eje x de un punto al siguiente es una constante h ≠ 0 . Por ejemplo, teniendo en cuenta los siguientes puntos:

Podemos usar una tabla de diferencias, donde para todas las celdas a la derecha de la primera y , existe la siguiente relación con las celdas en la columna inmediatamente a la izquierda para una celda ( a + 1, b + 1) , con la parte superior- la celda más a la izquierda está en la coordenada (0, 0) :

$${\displaystyle (a+1,b+1)=(a,b+1)-(a,b)}$$

Para encontrar el primer término se puede utilizar la siguiente tabla:

Esto llega a una constante 648 . La diferencia aritmética es h = 3 , como se estableció anteriormente. Dado el número de diferencias por pares necesarias para alcanzar la constante, se puede suponer que se trata de un polinomio de grado 3 . Así, usando la identidad anterior:

$${\displaystyle 648=a\cdot 3^{3}\cdot 3!=a\cdot 27\cdot 6=a\cdot 162}$$

Resolviendo para a , se puede encontrar que tiene el valor 4 . Por tanto, el primer término del polinomio es 4 x ³ .

Luego, restando el primer término, lo que reduce el grado del polinomio, y encontrando nuevamente la diferencia finita:

Aquí, la constante se alcanza después de sólo dos diferencias por pares, por lo que se obtiene el siguiente resultado:

$${\displaystyle -306=a\cdot 3^{2}\cdot 2!=a\cdot 18}$$

Resolviendo para a , que es −17 , el segundo término del polinomio es −17 x ² .

Pasando al siguiente término, restando el segundo término:

Por tanto, la constante se alcanza después de una sola diferencia por pares:

$${\displaystyle 108=a\cdot 3^{1}\cdot 1!=a\cdot 3}$$

Se puede encontrar que a = 36 y por tanto el tercer término del polinomio es 36 x . Restando el tercer término:

Sin diferencias por pares, se encuentra que el cuarto y último término del polinomio es la constante −19 . Así, se encuentra el polinomio de menor grado que intercepta todos los puntos de la primera tabla:

$${\displaystyle 4x^{3}-17x^{2}+36x-19}$$

Granos de tamaño arbitrario

Usando álgebra lineal se pueden construir aproximaciones en diferencias finitas que utilizan un número arbitrario de puntos a la izquierda y un número (posiblemente diferente) de puntos a la derecha del punto de evaluación, para cualquier derivada de orden. Esto implica resolver un sistema lineal tal que la expansión de Taylor de la suma de esos puntos alrededor del punto de evaluación se aproxima mejor a la expansión de Taylor de la derivada deseada. Estas fórmulas se pueden representar gráficamente en una cuadrícula hexagonal o en forma de diamante. ^[6] Esto es útil para diferenciar una función en una cuadrícula, donde, a medida que uno se acerca al borde de la cuadrícula, debe muestrear cada vez menos puntos en un lado. ^[7] Se pueden construir aproximaciones en diferencias finitas para plantillas no estándar (e incluso no enteras) dada una plantilla arbitraria y un orden derivado deseado. ^[8]

Propiedades

• Para todos los k y n positivos
  $${\displaystyle \Delta _{kh}^{n}(f,x)=\sum \limits _{i_{1}=0}^{k-1}\sum \limits _{i_{2}=0}^{k-1}\cdots \sum \limits _{i_{n}=0}^{k-1}\Delta _{h}^{n}\left(f,x+i_{1}h+i_{2}h+\cdots +i_{n}h\right).}$$
• Regla de Leibniz :
  $${\displaystyle \Delta _{h}^{n}(fg,x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\Delta _{h}^{k}(f,x)\Delta _{h}^{n-k}(g,x+kh).}$$

En ecuaciones diferenciales

Una aplicación importante de las diferencias finitas es el análisis numérico , especialmente en ecuaciones diferenciales numéricas , que apuntan a la solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales . La idea es reemplazar las derivadas que aparecen en la ecuación diferencial por diferencias finitas que las aproximan. Los métodos resultantes se denominan métodos de diferencias finitas .

Las aplicaciones comunes del método de diferencias finitas se encuentran en disciplinas de ingeniería y ciencia computacional, como ingeniería térmica , mecánica de fluidos , etc.

la serie de newton

La serie de Newton consta de los términos de la ecuación en diferencias directas de Newton , que lleva el nombre de Isaac Newton ; en esencia, es la fórmula de interpolación de Gregory-Newton ^[9] (llamada así en honor a Isaac Newton y James Gregory ), publicada por primera vez en sus Principia Mathematica en 1687, ^{[10] [11]} , es decir, el análogo discreto de la expansión continua de Taylor,

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](a)}{k!}}\,(x-a)_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {x-a}{k}}\,\Delta ^{k}[f](a),}$

lo cual es válido para cualquier función polinómica f y para muchas (pero no todas) funciones analíticas . (No se cumple cuando f es de tipo exponencial . Esto se ve fácilmente, ya que la función seno desaparece en múltiplos enteros de ; la serie de Newton correspondiente es idénticamente cero, ya que todas las diferencias finitas son cero en este caso. Sin embargo, claramente, la función seno no es cero.) Aquí, la expresión ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

$${\displaystyle {\binom {x}{k}}={\frac {(x)_{k}}{k!}}}$$

coeficiente binomial

$${\displaystyle (x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)}$$

factorial descendenteproducto vacío ( x ) ₀x , h = 1

Nótese la correspondencia formal de este resultado con el teorema de Taylor . Históricamente, esto, así como la identidad Chu-Vandermonde ,

$${\displaystyle (x+y)_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(x)_{n-k}\,(y)_{k},}$$

teorema del binomiocálculo umbral

Las expansiones en serie de Newton pueden ser superiores a las expansiones en serie de Taylor cuando se aplican a cantidades discretas como espines cuánticos (ver Transformación de Holstein-Primakoff ), funciones de operador bosónico o estadísticas de conteo discretas. ^[12]

Para ilustrar cómo se puede utilizar la fórmula de Newton en la práctica real, considere los primeros términos de la duplicación de la secuencia de Fibonacci f = 2, 2, 4, ... Se puede encontrar un polinomio que reproduzca estos valores, calculando primero una tabla de diferencias, y luego sustituyendo las diferencias que corresponden a x ₀ (subrayadas) en la fórmula de la siguiente manera,

$${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline x&f=\Delta ^{0}&\Delta ^{1}&\Delta ^{2}\\\hline 1&{\underline {2}}&&\\&&{\underline {0}}&\\2&2&&{\underline {2}}\\&&2&\\3&4&&\\\hline \end{array}}&\quad {\begin{aligned}f(x)&=\Delta ^{0}\cdot 1+\Delta ^{1}\cdot {\dfrac {(x-x_{0})_{1}}{1!}}+\Delta ^{2}\cdot {\dfrac {(x-x_{0})_{2}}{2!}}\quad (x_{0}=1)\\\\&=2\cdot 1+0\cdot {\dfrac {x-1}{1}}+2\cdot {\dfrac {(x-1)(x-2)}{2}}\\\\&=2+(x-1)(x-2)\\\end{aligned}}\end{matrix}}}$$

Para el caso de pasos no uniformes en los valores de x , Newton calcula las diferencias divididas ,

$${\displaystyle \Delta _{j,0}=y_{j},\qquad \Delta _{j,k}={\frac {\Delta _{j+1,k-1}-\Delta _{j,k-1}}{x_{j+k}-x_{j}}}\quad \ni \quad \left\{k>0,\;j\leq \max \left(j\right)-k\right\},\qquad \Delta 0_{k}=\Delta _{0,k}}$$

$${\displaystyle {P_{0}}=1,\quad \quad P_{k+1}=P_{k}\cdot \left(\xi -x_{k}\right),}$$

producto escalar^[13]

$${\displaystyle f(\xi )=\Delta 0\cdot P\left(\xi \right).}$$

En el análisis con números p -ádicos , el teorema de Mahler establece que el supuesto de que f es una función polinómica puede debilitarse hasta el supuesto de que f es simplemente continuo.

El teorema de Carlson proporciona condiciones necesarias y suficientes para que una serie de Newton sea única, si existe. Sin embargo, en general no existe una serie de Newton.

La serie de Newton, junto con la serie de Stirling y la serie de Selberg , es un caso especial de la serie de diferencias generales , todas las cuales se definen en términos de diferencias directas adecuadamente escaladas.

En una forma comprimida y ligeramente más general y con nodos equidistantes, la fórmula dice

$${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}{\binom {\frac {x-a}{h}}{k}}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{\binom {k}{j}}f(a+jh).}$$

Cálculo de diferencias finitas

La diferencia directa puede considerarse como un operador , llamado operador de diferencia , que asigna la función f a Δ _h [  f  ] . ^{[14] [15]} Este operador equivale a

$${\displaystyle \Delta _{h}=T_{h}-I,}$$

Th_operador de desplazamiento _conhTh [  f  ]( x ) = f  ( x + h )Ioperador de identidad

La diferencia finita de órdenes superiores se puede definir de manera recursiva como Δ^norte
_h≡ Δ _h (Δ^{norte - 1}
_hora) . Otra definición equivalente es Δ^norte
_h= [ T _h − I ] ^norte .

El operador de diferencia Δ _h es un operador lineal , como tal satisface Δ _h [ αf + βg ]( x ) = α Δ _h [  f  ]( x ) + β Δ _h [ g ]( x ) .

También satisface una regla especial de Leibniz indicada anteriormente, Δ _h ( f  ( x ) g ( x )) = (Δ _h f  ( x )) g ( x + h ) + f  ( x ) (Δ _h g ( x )) . Afirmaciones similares valen para las diferencias centrales y hacia atrás.

Aplicando formalmente la serie de Taylor con respecto a h , se obtiene la fórmula

$${\displaystyle \Delta _{h}=hD+{\frac {1}{2!}}h^{2}D^{2}+{\frac {1}{3!}}h^{3}D^{3}+\cdots =e^{hD}-I,}$$

Dff  ′funciones analíticas , para hTh ₌ e ^hD ,

$${\displaystyle hD=\ln(1+\Delta _{h})=\Delta _{h}-{\tfrac {1}{2}}\,\Delta _{h}^{2}+{\tfrac {1}{3}}\,\Delta _{h}^{3}-\cdots .}$$

Incluso para funciones analíticas, no se garantiza que la serie de la derecha converja; puede ser una serie asintótica . Sin embargo, se puede utilizar para obtener aproximaciones más precisas de la derivada. Por ejemplo, retener los dos primeros términos de la serie produce la aproximación de segundo orden a f  ′( x ) mencionada al final de la sección § Diferencias de orden superior .

Las fórmulas análogas para los operadores de diferencias centrales y hacia atrás son

$${\displaystyle hD=-\ln(1-\nabla _{h})\quad {\text{and}}\quad hD=2\operatorname {arsinh} \left({\tfrac {1}{2}}\,\delta _{h}\right).}$$

El cálculo de diferencias finitas está relacionado con el cálculo umbral de la combinatoria. Esta correspondencia notablemente sistemática se debe a la identidad de los conmutadores de las cantidades umbral con sus análogos del continuo ( h → 0 límites),

${\displaystyle \left[{\frac {\Delta _{h}}{h}},x\,T_{h}^{-1}\right]=[D,x]=I.}$

Por lo tanto, un gran número de relaciones diferenciales formales del cálculo estándar que involucran funciones f  ( x ) se asignan sistemáticamente a análogos umbral en diferencias finitas que involucran f  ( xT⁻¹
_hora) .

Por ejemplo, el análogo umbral de un monomio x ⁿ es una generalización del factorial descendente anterior ( símbolo k de Pochhammer ),

$${\displaystyle (x)_{n}\equiv \left(xT_{h}^{-1}\right)^{n}=x(x-h)(x-2h)\cdots {\bigl (}x-(n-1)h{\bigr )},}$$

$${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}}{h}}(x)_{n}=n(x)_{n-1},}$$

f  ( x )

Por ejemplo, el seno umbral es

$${\displaystyle \sin \left(x\,T_{h}^{-1}\right)=x-{\frac {(x)_{3}}{3!}}+{\frac {(x)_{5}}{5!}}-{\frac {(x)_{7}}{7!}}+\cdots }$$

Como en el límite continuo , la función propia de Δh_​/htambién resulta ser exponencial,

${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}}{h}}(1+\lambda h)^{\frac {x}{h}}={\frac {\Delta _{h}}{h}}e^{\ln(1+\lambda h){\frac {x}{h}}}=\lambda e^{\ln(1+\lambda h){\frac {x}{h}}},}$

y, por lo tanto, las sumas de Fourier de funciones continuas se asignan fácilmente a sumas umbral de Fourier fielmente , es decir, involucrando los mismos coeficientes de Fourier multiplicando estos exponenciales de base umbral. ^[16] Este umbral exponencial equivale, por tanto, a la función generadora exponencial de los símbolos de Pochhammer .

Así, por ejemplo, la función delta de Dirac se asigna a su correspondiente umbral, la función seno cardinal ,

$${\displaystyle \delta (x)\mapsto {\frac {\sin \left[{\frac {\pi }{2}}\left(1+{\frac {x}{h}}\right)\right]}{\pi (x+h)}},}$$

^[17] Las ecuaciones en diferenciasecuaciones diferenciales

El operador inverso del operador de diferencia directa, entonces la integral umbral, es el operador de suma indefinida u antidiferencia.

Reglas para el cálculo de operadores de diferencias finitas.

De manera análoga a las reglas para encontrar la derivada , tenemos:

• Regla constante : si c es una constante , entonces
  $${\displaystyle \Delta c=0}$$
• Linealidad : si a y b son constantes ,
  $${\displaystyle \Delta (a\ f+b\ g)=a\ \Delta f+b\ \Delta g}$$

Todas las reglas anteriores se aplican igualmente a cualquier operador de diferencia que a Δ , incluidos δ y ∇ .

• Regla del producto :
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (fg)&=f\,\Delta g+g\,\Delta f+\Delta f\,\Delta g\\[4pt]\nabla (fg)&=f\,\nabla g+g\,\nabla f-\nabla f\,\nabla g\end{aligned}}}$$
• Regla del cociente :
  $${\displaystyle \nabla \left({\frac {f}{g}}\right)=\left.\left(\det {\begin{bmatrix}\nabla f&\nabla g\\f&g\end{bmatrix}}\right)\right/\left(g\cdot \det {\begin{bmatrix}g&\nabla g\\1&1\end{bmatrix}}\right)}$$
  o
  $${\displaystyle \nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\,\nabla f-f\,\nabla g}{g\cdot (g-\nabla g)}}}$$
• Reglas de suma :
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=a}^{b}\Delta f(n)&=f(b+1)-f(a)\\\sum _{n=a}^{b}\nabla f(n)&=f(b)-f(a-1)\end{aligned}}}$$

Ver referencias. ^{[18] [19] [20] [21]}

Generalizaciones

• Una diferencia finita generalizada generalmente se define como
  $${\displaystyle \Delta _{h}^{\mu }[f](x)=\sum _{k=0}^{N}\mu _{k}f(x+kh),}$$
  donde μ = ( μ ₀ , …, μ _N ) es su vector de coeficientes. Una diferencia infinita es una generalización adicional, donde la suma finita anterior se reemplaza por una serie infinita . Otra forma de generalización es hacer que los coeficientes μ _k dependan del punto x : μ _k = μ _k ( x ) , considerando así diferencias finitas ponderadas . También se puede hacer que el paso h dependa del punto x : h = h ( x ) . Estas generalizaciones son útiles para construir diferentes módulos de continuidad .
• La diferencia generalizada puede verse como los anillos polinomiales R [ T _h ] . Conduce a álgebras en diferencias.
• El operador de diferencia se generaliza a la inversión de Möbius sobre un conjunto parcialmente ordenado .
• Como operador de convolución: a través del formalismo de las álgebras de incidencia , los operadores de diferencias y otras inversiones de Möbius se pueden representar mediante convolución con una función en el poset, llamada función de Möbius μ ; para el operador de diferencia, μ es la secuencia (1, −1, 0, 0, 0,…) .

Diferencias finitas multivariadas

Se pueden considerar diferencias finitas en más de una variable. Son análogas a las derivadas parciales en varias variables.

Algunas aproximaciones de derivadas parciales son:

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y)-f(x-h,y)}{2h}}\\f_{y}(x,y)&\approx {\frac {f(x,y+k)-f(x,y-k)}{2k}}\\f_{xx}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y)-2f(x,y)+f(x-h,y)}{h^{2}}}\\f_{yy}(x,y)&\approx {\frac {f(x,y+k)-2f(x,y)+f(x,y-k)}{k^{2}}}\\f_{xy}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y-k)-f(x-h,y+k)+f(x-h,y-k)}{4hk}}.\end{aligned}}}$$

Alternativamente, para aplicaciones en las que el cálculo de f es el paso más costoso y se deben calcular tanto la primera como la segunda derivada, una fórmula más eficiente para el último caso es

$${\displaystyle f_{xy}(x,y)\approx {\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y)-f(x,y+k)+2f(x,y)-f(x-h,y)-f(x,y-k)+f(x-h,y-k)}{2hk}},}$$

f  ( x + h , y + k )f  ( x − h , y − k )

Ver también

• Cálculo discreto
• Diferencias divididas
• Método de diferencias finitas en el dominio del tiempo (FDTD)
• Método de volumen finito
• esquema FTCS
• La conjetura de Gilbreath
• secuencia sheffer
• Suma por partes
• Cálculo de escala de tiempo
• Esquema de diferenciación contra el viento para convección.

Referencias

1. Paul Wilmott; Sam Howison; Jeff Dewynne (1995). Las matemáticas de los derivados financieros: una introducción para el estudiante . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 137.ISBN​ 978-0-521-49789-3.
2. Peter Olver (2013). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales . Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 182.ISBN​ 978-3-319-02099-0.
3. Hanif Chaudhry (2007). Flujo de canal abierto . Saltador. pag. 369.ISBN​ 978-0-387-68648-6.
4. Jordán, op. cit., pág. 1 y Milne-Thomson, pág. xxi. Milne-Thomson, Louis Melville (2000): El cálculo de diferencias finitas (Chelsea Pub Co, 2000) ISBN 978-0821821077 
5. "Diferencias finitas de polinomios". 13 de febrero de 2018.
6. Fraser, Duncan C. (1 de enero de 1909). "Sobre la delimitación gráfica de fórmulas de interpolación". Revista del Instituto de Actuarios . 43 (2): 235–241. doi :10.1017/S002026810002494X . Consultado el 17 de abril de 2017 .
7. notas
8. Calculadora de coeficientes de diferencias finitas
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• Richardson, CH (1954): Introducción al cálculo de diferencias finitas (Van Nostrand (1954) copia en línea
• Mickens, RE (1991): Ecuaciones en diferencias: teoría y aplicaciones (Chapman y Hall/CRC) ISBN 978-0442001360 

enlaces externos

• "Cálculo en diferencias finitas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Tabla de fórmulas útiles en diferencias finitas generadas con Mathematica
• D. Gleich (2005), Cálculo finito: un tutorial para resolver sumas desagradables
• Segunda derivada discreta a partir de puntos espaciados desigualmente