Función Xi de Riemann

Función xi de Riemann en el plano complejo . El color de un punto codifica el valor de la función. Los colores más oscuros indican valores más cercanos a cero y el tono codifica el argumento del valor . ${\displaystyle \xi (s)}$ ${\displaystyle s}$

En matemáticas , la función Xi de Riemann es una variante de la función zeta de Riemann y se define de manera que tenga una ecuación funcional particularmente simple . La función recibe su nombre en honor a Bernhard Riemann .

Definición

La función "xi" minúscula original de Riemann fue renombrada con una mayúscula ( letra griega "Xi" ) por Edmund Landau . La ("xi" minúscula ) de Landau se define como ^[1] ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle ~\Xi ~}$ ${\displaystyle ~\xi ~}$

${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}$

para . Aquí denota la función zeta de Riemann y es la función Gamma . ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle \Gamma (s)}$

La ecuación funcional (o fórmula de reflexión ) de Landau es ${\displaystyle ~\xi ~}$

${\displaystyle \xi (1-s)=\xi (s)~.}$

La función original de Riemann, rebautizada en mayúsculas por Landau, ^[1] satisface ${\displaystyle ~\Xi ~}$

${\displaystyle \Xi (z)=\xi \left({\tfrac {1}{2}}+zi\right)}$,

y obedece a la ecuación funcional

${\displaystyle \Xi (-z)=\Xi (z)~.}$

Ambas funciones son completas y puramente reales para argumentos reales.

Valores

La forma general para números enteros pares positivos es

${\displaystyle \xi (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {n!}{(2n)!}}B_{2n}2^{2n-1}\pi ^{n}(2n-1)}$

donde B _n denota el n - ésimo número de Bernoulli . Por ejemplo:

${\displaystyle \xi (2)={\frac {\pi }{6}}}$

Representaciones en serie

La función tiene la expansión en serie ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ln \xi \left({\frac {-z}{1-z}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n},}$

dónde

${\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right],}$

donde la suma se extiende sobre ρ, los ceros no triviales de la función zeta, en orden de . ${\displaystyle |\Im (\rho )|}$

Esta expansión juega un papel particularmente importante en el criterio de Li , que establece que la hipótesis de Riemann es equivalente a tener λ _n > 0 para todo n positivo .

Producto Hadamard

Una simple expansión infinita del producto es

${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right),\!}$

donde ρ varía sobre las raíces de ξ.

Para asegurar la convergencia en la expansión, el producto debe tomarse sobre "pares coincidentes" de ceros, es decir, los factores para un par de ceros de la forma ρ y 1−ρ deben agruparse.

Referencias

1. Landau, Edmund (1974) [1909]. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen [ Manual del estudio de la distribución de los números primos ] (Tercera ed.). Nueva York: Chelsea. §70-71 y página 894.

• Weisstein, Eric W. "Función Xi". MathWorld .
• Keiper, JB (1992). "Expansiones en series de potencias de la función xi de Riemann". Matemáticas de la computación . 58 (198): 765–773. Bibcode :1992MaCom..58..765K. doi : 10.1090/S0025-5718-1992-1122072-5 .

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