Alfredo Tauber

matemático húngaro

Alfred Tauber (5 de noviembre de 1866 – 26 de julio de 1942) ^[1] fue un matemático austríaco nacido en el Imperio austríaco, conocido por su contribución al análisis matemático y a la teoría de funciones de una variable compleja : es el epónimo de una importante clase de teoremas con aplicaciones que van desde el análisis matemático y armónico hasta la teoría de números . ^[2] Fue asesinado en el campo de concentración de Theresienstadt .

Vida y carrera académica

Nacido en Pressburg, Reino de Hungría , Imperio austríaco (hoy Bratislava , Eslovaquia ), comenzó a estudiar matemáticas en la Universidad de Viena en 1884, obtuvo su doctorado. en 1889, ^{[3] [4]} y su habilitación en 1891. A partir de 1892 trabajó como matemático jefe en la compañía de seguros Phönix hasta 1908, cuando se convirtió en profesor adjunto en la Universidad de Viena , aunque, ya a partir de 1901, había sido profesor honorario en la Universidad Técnica de Viena y director de su cátedra de matemáticas de seguros. ^[5] En 1933, recibió la Gran Condecoración de Honor en Plata por Servicios a la República de Austria , ^[5] y se jubiló como profesor extraordinario emérito . Sin embargo, continuó dando conferencias como privatdozent hasta 1938, ^{[3] [6]} cuando se vio obligado a dimitir como consecuencia del " Anschluss ". ^[7] Los días 28 y 29 de junio de 1942 fue deportado en el transporte IV/2, č. 621 a Theresienstadt , ^{[3] [5] [8]} donde fue asesinado el 26 de julio de 1942. ^[1]

Trabajar

Pinl y Dick (1974, p. 202) enumeran 35 publicaciones en la bibliografía adjunta a su obituario, y también una búsqueda realizada en la base de datos " Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik " da como resultado una lista de 35 trabajos matemáticos escritos por él, que abarcan un período de tiempo de 1891 a 1940. ^[9] Sin embargo, Hlawka (2007) cita dos artículos sobre matemáticas actuariales que no aparecen en estas dos listas bibliográficas y en la bibliografía de Binder sobre las obras de Tauber (1984, págs. 163-166), al tiempo que enumera 71 entradas incluidas las de la bibliografía de Pinl & Dick (1974, p. 202) y las dos citadas por Hlawka, no incluye la nota breve (Tauber 1895) por lo que se desconoce el número exacto de sus obras. Según Hlawka (2007), su investigación científica se puede dividir en tres áreas: la primera comprende sus trabajos sobre la teoría de funciones de una variable compleja y sobre la teoría de potenciales , la segunda incluye trabajos sobre ecuaciones diferenciales lineales y sobre la gama Gamma. función , mientras que el último incluye sus contribuciones a la ciencia actuarial. ^[3] Pinl y Dick (1974, p. 202) dan una lista más detallada de los temas de investigación en los que trabajó Tauber, aunque se restringe al análisis matemático y temas geométricos : algunos de ellos son series infinitas , series de Fourier , armónicos esféricos , los teoría de cuaterniones , geometría analítica y descriptiva . ^[10] Las contribuciones científicas más importantes de Tauber pertenecen a la primera de sus áreas de investigación, ^[11] incluso si su trabajo sobre la teoría potencial ha sido eclipsado por el de Aleksandr Lyapunov . ^[3]

Teoremas de Tauber

Su artículo más importante es (Tauber 1897). ^[3] En este artículo logró demostrar por primera vez un inverso al teorema de Abel : ^[12] este resultado fue el punto de partida de numerosas investigaciones, ^[3] que condujeron a la demostración y a la aplicación de varios teoremas de este tipo. para varios métodos de sumabilidad . El enunciado de estos teoremas tiene una estructura estándar: si una serie ∑  an es sumable según un método de sumabilidad dado y satisface una condición adicional, llamada " condición Tauberiana ", _[ ^13] entonces es una serie convergente . ^[14] A partir de 1913, GH Hardy y JE Littlewood utilizaron el término Tauberiano para identificar esta clase de teoremas. ^[15] Describiendo con un poco más de detalle el trabajo de Tauber de 1897, se puede decir que sus principales logros son los dos teoremas siguientes: ^{[16] [17]}

El primer teorema de Tauber . ^[18] Si la serie ∑  a _n es sumable en Abel a la suma s , es decir, lim _{x → 1 ⁻}  ∑+∞
norte =0 a _n x  ⁿ  = s , y si a _n  =  ο ( n ⁻¹ ) , entonces ∑  a _k converge a s .

Este teorema es, según Korevaar (2004, p. 10), ^[19] _el precursor de toda la teoría tauberiana: la condición an  =  ο ( n ⁻¹ ) es la primera condición tauberiana, que luego tuvo muchas generalizaciones profundas. ^[20] En la parte restante de su artículo, utilizando el teorema anterior, ^[21] Tauber demostró el siguiente resultado, más general: ^[22]

El segundo teorema de Tauber . ^[23] La serie ∑  a _n converge a la suma s si y sólo si se cumplen las dos condiciones siguientes:

1. ∑  a _n es Abel sumable y
2. ∑n
   k = 1 ka _k  =  ο ( n ) .

Este resultado no es una consecuencia trivial del primer teorema de Tauber . ^[24] La mayor generalidad de este resultado con respecto al anterior se debe a que demuestra la equivalencia exacta entre la convergencia ordinaria por un lado y la sumabilidad de Abel (condición 1) conjuntamente con la condición Tauberiana (condición 2) por el otro. Chatterji (1984, pp. 169-170) afirma que este último resultado debe haberle parecido a Tauber mucho más completo y satisfactorio con respecto al primero, ya que establece una condición necesaria y suficiente para la convergencia de una serie, mientras que el primero era simplemente un trampolín hacia él: la única razón por la que el segundo teorema de Tauber no se menciona muy a menudo parece ser que no tiene una generalización profunda como la que tiene el primero, ^[25] aunque tiene el lugar que le corresponde en todos los desarrollos detallados de la sumabilidad de series. . ^{[23] [25]}

Aportes a la teoría de la transformada de Hilbert

Frederick W. King (2009, p. 3) escribe que Tauber contribuyó en una etapa temprana a la teoría de la ahora llamada " transformada de Hilbert ", anticipando con su contribución los trabajos de Hilbert y Hardy de tal manera que la transformada quizás debería soportar sus tres nombres. ^[26] Precisamente, Tauber (1891) considera la parte real φ y la parte imaginaria ψ de una serie de potencias f , ^{[27] [28]}

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=1}^{+\infty }c_{k}z^{k}=\varphi (\theta )+\mathrm {i} \psi (\theta )}$

dónde

• z = re  ^{yo θ} con r  = | z |   siendo el valor absoluto de la variable compleja dada ,
• c _k r  ^k  =  a _k  + i b _k para todo número natural k , ^[29]
• φ ( θ ) =  ∑+∞
  k =1 a _k cos( kθ ) −  b _k pecado( kθ ) y ψ ( θ ) =  ∑+∞
  k =1 a _k sin( kθ ) +  b _k cos( kθ ) son series trigonométricas y, por tanto, funciones periódicas , que expresan la parte real e imaginaria de la serie de potencias dada.

Bajo la hipótesis de que r es menor que el radio de convergencia R _f de la serie de potencias f , Tauber demuestra que φ y ψ satisfacen las dos ecuaciones siguientes:

(1)      ${\displaystyle \varphi (\theta )={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\left\{\psi (\theta +\phi )-\psi (\theta -\phi )\right\}\cot \left({\frac {\phi }{2}}\right)\,\mathrm {d} \phi }$

(2)      ${\displaystyle \psi (\theta )=-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\left\{\varphi (\theta +\phi )-\varphi (\theta -\phi )\right\}\cot \left({\frac {\phi }{2}}\right)\mathrm {d} \phi }$

Suponiendo entonces r = R _f , también puede demostrar que las ecuaciones anteriores siguen siendo válidas si φ y ψ sólo son absolutamente integrables : ^[30] este resultado equivale a definir la transformada de Hilbert en el círculo ya que, después de algunos cálculos que explotan la periodicidad de las funciones involucradas, se puede demostrar que (1) y (2) son equivalentes al siguiente par de transformadas de Hilbert: ^[31]

${\displaystyle \varphi (\theta )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\psi (\phi )\cot \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)\mathrm {d} \phi \qquad \psi (\theta )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\varphi (\phi )\cot \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)\mathrm {d} \phi }$

Finalmente, quizás valga la pena señalar una aplicación de los resultados de (Tauber 1891), dados (sin pruebas) por el propio Tauber en el breve anuncio de investigación (Tauber 1895):

la función continua de valor complejo φ ( θ ) + i ψ ( θ ) definida en un círculo dado es el valor límite de una función holomorfa definida en su disco abierto si y solo si se satisfacen las dos condiciones siguientes

1. la función [ φ ( θ − α ) −  φ ( θ + α )]/α es uniformemente integrable en cada vecindad del punto α  = 0 , y
2. la función ψ ( θ ) satisface (2) .

Publicaciones Seleccionadas

• Tauber, Alfred (1891), "Über den Zusammenhang des reellen und imaginären Theiles einer Potenzreihe" [Sobre la relación entre la parte real e imaginaria de una serie de potencias], Monatshefte für Mathematik und Physik , II : 79–118, doi :10.1007/ bf01691828, JFM  23.0251.01, S2CID  120241651.
• Tauber, Alfred (1895), "Ueber die Werte einer analytischen Function längs einer Kreislinie" [Sobre los valores de una función analítica a lo largo de un perímetro circular], Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 4 : 115, archivado desde el original en 2015- 01/07 , consultado el 16 de julio de 2014..
• Tauber, Alfred (1897), "Ein Satz aus der Theorie der unendlichen Reihen" [Un teorema sobre series infinitas], Monatshefte für Mathematik und Physik , VIII : 273–277, doi :10.1007/BF01696278, JFM  28.0221.02, S2CID  120692627.
• Tauber, Alfred (1898), "Über einige Sätze der Potentialtheorie" [Algunos teoremas de la teoría potencial], Monatshefte für Mathematik und Physik , IX : 79–118, doi :10.1007/BF01707858, JFM  29.0654.02, S2CID  124400762.
• Tauber, Alfred (1920), "Über konvergente und asymptotische Darstellung des Integrallogarithmus" [Sobre la representación convergente y asintótica de la función integral logarítmica], Mathematische Zeitschrift , 8 (1–2): 52–62, doi :10.1007/bf01212858, JFM  47.0329.01, S2CID  119967249.
• Tauber, Alfred (1922), "Über die Umwandlung von Potenzreihen in Kettenbrüche" [Sobre la conversión de series de potencias en fracciones continuas], Mathematische Zeitschrift , 15 : 66–80, doi :10.1007/bf01494383, JFM  48.0236.01, S2CID  122501264.

Ver también

• ciencia actuarial
• Teorema tauberiano de Hardy-Littlewood
• Teoría de la sumabilidad

Notas

1. La fecha de muerte se informa en (Sigmund 2004, p. 33) y también en el registro VIAF de Tauber Archivado el 18 de septiembre de 2018 en Wayback Machine , línea 678: Sigmund (2004, págs. 31-33) también da una descripción. de los acontecimientos de los últimos años de la vida de Tauber, hasta los días de su deportación.
2. La Clasificación de Materias de Matemáticas de 2010 tiene dos entradas sobre teoremas de Tauber: la entrada 11M45, perteneciente al área "Teoría de números", y la entrada 40E05, perteneciente al área " Secuencias , series , sumabilidad ".
3. (Hlawka 2007).
4. Según Hlawka (2007), escribió su tesis doctoral en 1888.
5. (Pinl y Dick 1974, págs. 202-203).
6. Sigmund (2004, p. 2) afirma que su baja pensión lo obligó a seguir realizando su curso de matemáticas actuariales .
7. (Sigmund 2004, p. 21 y p. 28).
8. (Fischer et al. 1990, p. 812, nota al pie 14).
9. Vea los resultados de la consulta de Jahrbuch: "au = (TAUBER, A*)".
10. En palabras exactas de los autores, "Unendliche Reihen, Fouriersche Reihen, Kugelfunktionen, Quaternionen,..., Analitische und Darstellende Geometrie" (Pinl y Dick 1974, p. 202).
11. Según la clasificación de Hlawka (2007).
12. Véase, por ejemplo, (Hardy 1949, p. 149), (Hlawka 2007), (Korevaar 2004, p. VII, p. 2 y p. 10), (Lune 1986, p. 2, §1.1 "Primer teorema de Tauber" ) y (Sigmund 2004, p. 21).
13. Véase, por ejemplo (Hardy 1949, p. 149) y (Korevaar 2004, p. 6).
14. Ver (Hardy 1949, p. 149), (Hlawka 2007) y (Lune 1986, p. 2 §1.1 "Primer teorema de Tauber").
15. Ver (Korevaar 2004, p. 2) y (Sigmund 2004, p. 21): Korevaar precisa que la locución "teoremas tauberianos" se utilizó por primera vez en la nota breve (Hardy y Littlewood 1913).
16. Ver (Hardy 1949, p. 149 y p. 150), (Korevaar 2004, p. 10 y p. 11) y (Lune 1986, p. 2, §1.1 "Primer teorema de Tauber" y p. 4, §1.1 "Segundo teorema de Tauber").
17. La notación Landau little– ο se utiliza en la siguiente descripción.
18. Véase, por ejemplo, (Hardy 1949, p. 149), (Korevaar 2004, p. 10) y (Lune 1986, p. 2, §1.1 "Primer teorema de Tauber").
19. Véase también (Lune 1986, p. 2, §1.1 "Primer teorema de Tauber") y (Hardy 1949, p. 149): Sigmund (2004, p. 21) atribuye incorrectamente este papel al segundo teorema de Tauber . Véase también el análisis de Chatterji (1984, págs. 169-170 y pág. 172).
20. Ver (Hardy 1949, p. 149), Chatterji (1984, p. 169 y p. 172) y (Korevaar 2004, p. 6).
21. Ver (Chatterji 1984, p. 169 teorema B), (Lune 1986, p. 4, §1.2 "Segundo teorema de Tauber") y el comentario de Korevaar (2004, p. 11): Hardy (1949, pp. 150– 152) demuestra este teorema demostrando uno más general que involucra integrales de Riemann-Stieltjes .
22. (Chatterji 1984, p. 169 teorema A), (Korevaar 2004, p. 11).
23. Véase, por ejemplo (Hardy 1949, p. 150), (Korevaar 2004, p. 11) y (Lune 1986, p. 4, §1.2 "Segundo teorema de Tauber").
24. Según Chatterji (1984, p. 172): véanse también las pruebas de los dos teoremas dados por Lune (1986, capítulo 1, §§1.1–1.2, págs. 2–7).
25. Nuevamente según Chatterji (1984, p. 172).
26. En palabras de King (2009, p.3), " En retrospectiva, quizás la transformación debería llevar los nombres de los tres autores antes mencionados ".
27. El análisis presentado sigue de cerca (King 2009, p. 131), que a su vez sigue (Tauber 1891, págs. 79–80).
28. Véase también el breve anuncio de investigación (Tauber 1895).
29. Como señala King (2009, p. 131), esta definición no estándar de la parte real e imaginaria del k -ésimo coeficiente complejo de una serie de potencias se introduce intencionalmente para ocultar ("suprimir") la dependencia funcional de φ y ψ en r .
30. Esto significa que φ, ψ  ∈  L 1 .
31. (Rey 2009, pag.131).

Referencias

Referencias biográficas y generales.

• Binder, Christa (1984), "Alfred Tauber (1866-1942). Ein österreichischer Mathematiker", en Chatterji, SD (ed.), Jahrbuch Überblicke Mathematik, Encuestas matemáticas (en alemán), vol. 17, Mannheim : Bibliographisches Institut AG , págs. 151-166, Zbl  0544.01021
• Fischer, Gerd; Hirzebruch, Friedrich ; Scharlau, Winfried; Törnig, Willi, eds. (1990), Ein Jahrhundert Mathematik 1890 – 1990: Festschrift zum Jubiläum der DMV, Dokumente zur Geschichte der Mathematik (en alemán), vol. Banda 6, Braunschweig / Wiesbaden : Friedrich Vieweg & Sohn , págs. XII+830, doi :10.1007/978-3-322-80265-1, ISBN 3-528-06326-2, SEÑOR  1085961, Zbl  0706.01002.
• Pinl, Maximiliano; Dick, Auguste (1974), "Kollegen in einer dunklen Zeit. Schluß", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (en alemán), 75 : 202–203, MR  0476359, Zbl  0281.01013.
• Hlawka, Edmund (2007), "Tauber, Alfred", Diccionario completo de biografía científica , Nueva York: Charles Scribner's Sons , consultado el 27 de febrero de 2016.
• Sigmund, Karl (2004), "Failing Phoenix: Tauber, Helly y Viennese Life Insurance", The Mathematical Intelligencer , 26 (2): 21–33, doi :10.1007/bf02985648, MR  2067894, S2CID  121108996, Zbl  0849.01036.

Referencias científicas

• Chatterji, SD (1984), "Teorema de Tauber: algunas observaciones históricas", en Chatterji, SD (ed.), Jahrbuch Überblicke Mathematik, Encuestas matemáticas, vol. 17, Mannheim : Bibliographisches Institut AG , págs. 167-175, Zbl  0555.40008, así como Zbl  0556.01005.
• Hardy, GH (1949), Serie Divergente , Oxford : Clarendon Press , xvi+396, ISBN 978-0-8218-2649-2, LCCN  49005496, SEÑOR  0030620, OCLC  808787, 2.ª edición publicada por Chelsea Publishing Company , 1991, LCCN  91-75377, ISBN 0828403341 . 
• Hardy, GH ; Littlewood, JE (1913), "Teoremas tauberianos sobre series de términos positivos", Messenger of Mathematics , XLII : 191–192, JFM  44.0283.01.
• King, Frederick W. (2009), Hilbert se transforma. Volumen 1 , Enciclopedia de las Matemáticas y sus Aplicaciones, vol. 124, Cambridge : Cambridge University Press , págs. xxxviii+858, ISBN 978-0-521-88762-5, SEÑOR  2542214, Zbl  1188.44005.
• Korevaar, Jacob (2004), Teoría tauberiana. Un siglo de desarrollos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 329, Springer-Verlag , págs. xvi+483, doi :10.1007/978-3-662-10225-1, ISBN 3-540-21058-X, SEÑOR  2073637, Zbl  1056.40002.
• Lune, J. van de (1986), Introducción a la teoría tauberiana: de Tauber a Wiener, CWI Syllabus, vol. 12, Ámsterdam : CWI , págs. iv+102, ISBN 90-6196-309-5, SEÑOR  0882005, Zbl  0636.40002.

enlaces externos

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Alfred Tauber", Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
• Alfred Tauber en enciclopedia.com
• Alfred Tauber en el Proyecto de Genealogía de Matemáticas