teorema de abel

Teorema de la serie de potencias en matemáticas

En matemáticas , el teorema de Abel para series de potencias relaciona un límite de una serie de potencias con la suma de sus coeficientes . Lleva el nombre del matemático noruego Niels Henrik Abel , quien lo demostró en 1826. ^[1]

Teorema

Deja que la serie Taylor.

$${\displaystyle G(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$$

realesradio de convergencia ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle 1.}$

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$$

convergecontinua desde la izquierda ${\displaystyle G(x)}$ ${\displaystyle x=1,}$

$${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}G(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}.}$$

El mismo teorema es válido para series de potencias complejas.

$${\displaystyle G(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k},}$$

sector Stolzdisco unitario abierto ${\displaystyle z\to 1}$

$${\displaystyle |1-z|\leq M(1-|z|)}$$

${\displaystyle M>1}$

$${\displaystyle \sum _{n>0}{\frac {z^{3^{n}}-z^{2\cdot 3^{n}}}{n}}}$$

acotado ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle z=1,}$ ${\displaystyle e^{\pi i/3^{n}},}$ ${\displaystyle z=1}$ ${\displaystyle z}$

Tenga en cuenta que es continua en el intervalo cerrado real en virtud de la convergencia uniforme de la serie en subconjuntos compactos del disco de convergencia. El teorema de Abel nos permite decir más: la restricción de to es continua. ${\displaystyle G(z)}$ ${\displaystyle [0,t]}$ ${\displaystyle t<1,}$ ${\displaystyle G(z)}$ ${\displaystyle [0,1]}$

sector Stolz

20 sectores Stolz, que van desde 1,01 a 10. Las líneas rojas son las tangentes al cono en el extremo derecho. ${\displaystyle M}$

El sector Stolz tiene ecuación explícita ${\displaystyle |1-z|\leq M(1-|z|)}$

$${\displaystyle y^{2}=-{\frac {M^{4}(x^{2}-1)-2M^{2}((x-1)x+1)+2{\sqrt {M^{4}(-2M^{2}(x-1)+2x-1)}}+(x-1)^{2}}{(M^{2}-1)^{2}}}}$$

El extremo izquierdo del sector es y el extremo derecho es . En el extremo derecho, se convierte en un cono con un ángulo donde . ${\displaystyle x={\frac {1-M}{1+M}}}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle 2\theta }$ ${\displaystyle \cos \theta ={\frac {1}{M}}}$

Observaciones

Como consecuencia inmediata de este teorema, si es cualquier número complejo distinto de cero para el cual la serie ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}}$$

$${\displaystyle \lim _{t\to 1^{-}}G(tz)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}}$$

desde abajo

El teorema también se puede generalizar para dar cuenta de sumas que divergen hasta el infinito. ^{[ cita necesaria ]} Si

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\infty }$$

$${\displaystyle \lim _{z\to 1^{-}}G(z)\to \infty .}$$

Sin embargo, si sólo se sabe que la serie es divergente, pero por razones distintas a la de divergir hasta el infinito, entonces la afirmación del teorema puede fallar: tomemos, por ejemplo, la serie de potencias para

$${\displaystyle {\frac {1}{1+z}}.}$$

En la serie es igual a pero. ${\displaystyle z=-1}$ ${\displaystyle 1-1+1-1+\cdots ,}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{1+1}}={\tfrac {1}{2}}.}$

También destacamos que el teorema se cumple para radios de convergencia distintos de : let ${\displaystyle R=1}$

$${\displaystyle G(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$$

${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle x=R.}$ ${\displaystyle G(x)}$ ${\displaystyle x=R,}$

$${\displaystyle \lim _{x\to R^{-}}G(x)=G(R).}$$

Aplicaciones

La utilidad del teorema de Abel es que nos permite encontrar el límite de una serie de potencias cuando su argumento (es decir, ) se acerca desde abajo, incluso en los casos en los que el radio de convergencia de la serie de potencias es igual a y no podemos ser estar seguro de si el límite debe ser finito o no. Véase, por ejemplo, la serie binomial . El teorema de Abel nos permite evaluar muchas series en forma cerrada. Por ejemplo, cuando ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle 1}$

$${\displaystyle a_{k}={\frac {(-1)^{k}}{k+1}},}$$

$${\displaystyle G_{a}(z)={\frac {\ln(1+z)}{z}},\qquad 0<z<1,}$$

${\displaystyle [-z,0]}$

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}}$$

${\displaystyle \ln 2}$

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}}$$

${\displaystyle \arctan 1={\tfrac {\pi }{4}}.}$

${\displaystyle G_{a}(z)}$Se llama función generadora de la secuencia. El teorema de Abel es frecuentemente útil para tratar con funciones generadoras de secuencias no negativas y con valores reales , como las funciones generadoras de probabilidad . En particular, es útil en la teoría de los procesos de Galton-Watson . ${\displaystyle a.}$

Esquema de la prueba

Después de restar una constante de podemos suponer que Let Entonces, sustituyendo y realizando una manipulación simple de la serie ( suma por partes ) se obtiene ${\displaystyle a_{0},}$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=0.}$ ${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\!.}$ ${\displaystyle a_{k}=s_{k}-s_{k-1}}$

$${\displaystyle G_{a}(z)=(1-z)\sum _{k=0}^{\infty }s_{k}z^{k}.}$$

Elija lo suficientemente grande como para que sea para todos y tenga en cuenta que ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle |s_{k}|<\varepsilon }$ ${\displaystyle k\geq n}$

$${\displaystyle \left|(1-z)\sum _{k=n}^{\infty }s_{k}z^{k}\right|\leq \varepsilon |1-z|\sum _{k=n}^{\infty }|z|^{k}=\varepsilon |1-z|{\frac {|z|^{n}}{1-|z|}}<\varepsilon M}$$

${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle 1}$

$${\displaystyle \left|(1-z)\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}z^{k}\right|<\varepsilon ,}$$

${\displaystyle \left|G_{a}(z)\right|<(M+1)\varepsilon }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle 1}$

Conceptos relacionados

Los recíprocos de un teorema como el de Abel se denominan teoremas de Tauber : no existe un recíproco exacto, pero los resultados están condicionados a alguna hipótesis. El campo de las series divergentes , y sus métodos de sumatoria, contiene muchos teoremas de tipo abeliano y de tipo tauberiano .

Ver también

• Fórmula de suma de Abel  : versión de integración por partes del método de Abel para suma por partes
• Resumen de Nachbin  : teorema que limita la tasa de crecimiento de funciones analíticasPages displaying short descriptions of redirect targets
• Suma por partes  – Teorema para simplificar sumas de productos de secuencias

Otras lecturas

• Ahlfors, Lars Valerian (1 de septiembre de 1980). Análisis complejo (Tercera ed.). Educación superior de McGraw Hill. págs. 41–42. ISBN 0-07-085008-9.- Ahlfors lo llamó teorema del límite de Abel .

Referencias

1. Abel, Niels Henrik (1826). "Untersuchungen über die Reihe usw". J. Reina Angew. Matemáticas. 1 : 311–339. ${\displaystyle 1+{\frac {m}{1}}x+{\frac {m\cdot (m-1)}{2\cdot 1}}x^{2}+{\frac {m\cdot (m-1)\cdot (m-2)}{3\cdot 2\cdot 1}}x^{3}+\ldots }$

enlaces externos

• Abel sumabilidad en PlanetMath . (una mirada más general a los teoremas abelianos de este tipo)
• AA Zakharov (2001) [1994], "Método de suma de Abel", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Weisstein, Eric W. "Teorema de convergencia de Abel". MundoMatemático .