Transformada de Hilbert

Transformada integral y operador lineal

En matemáticas y procesamiento de señales , la transformada de Hilbert es una integral singular específica que toma una función, u ( t ) de una variable real y produce otra función de una variable real H( u )( t ) . La transformada de Hilbert está dada por el valor principal de Cauchy de la convolución con la función (véase § Definición). La transformada de Hilbert tiene una representación particularmente simple en el dominio de la frecuencia : imparte un desplazamiento de fase de ±90° ( π /2 radianes) a cada componente de frecuencia de una función, el signo del desplazamiento depende del signo de la frecuencia (véase § Relación con la transformada de Fourier). La transformada de Hilbert es importante en el procesamiento de señales, donde es un componente de la representación analítica de una señal de valor real u ( t ) . La transformada de Hilbert fue introducida por primera vez por David Hilbert en este contexto, para resolver un caso especial del problema de Riemann-Hilbert para funciones analíticas. ${\displaystyle 1/(\pi t)}$

Definición

La transformada de Hilbert de u puede considerarse como la convolución de u ( t ) con la función h ( t ) = ⁠1/πt​⁠ , conocido como el núcleo de Cauchy . Debido a que 1/ t no es integrable en t = 0 , la integral que define la convolución no siempre converge. En cambio, la transformada de Hilbert se define utilizando el valor principal de Cauchy (denotado aquí por pv ). Explícitamente, la transformada de Hilbert de una función (o señal) u ( t ) está dada por

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)={\frac {1}{\pi }}\,\operatorname {p.v.} \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {u(\tau )}{t-\tau }}\,\mathrm {d} \tau ,}$$

siempre que esta integral exista como valor principal. Esta es precisamente la convolución de u con la distribución templada p.v.1/πt​⁠ . ^[1] Alternativamente, al cambiar las variables, la integral de valor principal se puede escribir explícitamente ^[2] como

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)={\frac {2}{\pi }}\,\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t-\tau )-u(t+\tau )}{2\tau }}\,\mathrm {d} \tau .}$$

Cuando la transformada de Hilbert se aplica dos veces seguidas a una función u , el resultado es

$${\displaystyle \operatorname {H} {\bigl (}\operatorname {H} (u){\bigr )}(t)=-u(t),}$$

siempre que las integrales que definen ambas iteraciones converjan en un sentido adecuado. En particular, la transformada inversa es . Este hecho se puede ver más fácilmente considerando el efecto de la transformada de Hilbert sobre la transformada de Fourier de u ( t ) (ver § Relación con la transformada de Fourier a continuación). ${\displaystyle -\operatorname {H} }$

Para una función analítica en el semiplano superior , la transformada de Hilbert describe la relación entre la parte real y la parte imaginaria de los valores de contorno. Es decir, si f ( z ) es analítica en el semiplano complejo superior { z  : Im{ z } > 0} , y u ( t ) = Re{ f ( t + 0· i )} , entonces Im{ f ( t + 0· i )} = H( u )( t ) hasta una constante aditiva, siempre que exista esta transformada de Hilbert.

Notación

En el procesamiento de señales, la transformada de Hilbert de u ( t ) se denota comúnmente por . ^[3] Sin embargo, en matemáticas, esta notación ya se usa ampliamente para denotar la transformada de Fourier de u ( t ) . ^[4] Ocasionalmente, la transformada de Hilbert puede denotarse por . Además, muchas fuentes definen la transformada de Hilbert como el negativo de la definida aquí. ^[5] ${\displaystyle {\hat {u}}(t)}$ ${\displaystyle {\tilde {u}}(t)}$

Historia

La transformada de Hilbert surgió en el trabajo de Hilbert de 1905 sobre un problema que Riemann planteó sobre funciones analíticas, ^{[6] [7]} que llegó a conocerse como el problema de Riemann-Hilbert . El trabajo de Hilbert se centró principalmente en la transformada de Hilbert para funciones definidas en el círculo. ^{[8] [9]} Algunos de sus trabajos anteriores relacionados con la transformada de Hilbert discreta se remontan a las conferencias que dio en Gotinga . Los resultados fueron publicados posteriormente por Hermann Weyl en su disertación. ^[10] Schur mejoró los resultados de Hilbert sobre la transformada de Hilbert discreta y los extendió al caso integral. ^[11] Estos resultados se restringieron a los espacios L ² y ℓ ² . En 1928, Marcel Riesz demostró que la transformada de Hilbert puede definirse para u en ( L p espacio ) para 1 < p < ∞ , que la transformada de Hilbert es un operador acotado en para 1 < p < ∞ , y que resultados similares se cumplen para la transformada de Hilbert en el círculo así como para la transformada de Hilbert discreta. ^[12] La transformada de Hilbert fue un ejemplo motivador para Antoni Zygmund y Alberto Calderón durante su estudio de las integrales singulares . ^[13] Sus investigaciones han jugado un papel fundamental en el análisis armónico moderno. Varias generalizaciones de la transformada de Hilbert, como las transformadas de Hilbert bilineales y trilineales, siguen siendo áreas activas de investigación en la actualidad. ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

Relación con la transformada de Fourier

La transformada de Hilbert es un operador multiplicador . ^[14] El multiplicador de H es σ _H ( ω ) = − i sgn( ω ) , donde sgn es la función signum . Por lo tanto:

$${\displaystyle {\mathcal {F}}{\bigl (}\operatorname {H} (u){\bigr )}(\omega )=-i\operatorname {sgn}(\omega )\cdot {\mathcal {F}}(u)(\omega ),}$$

donde denota la transformada de Fourier . Dado que sgn( x ) = sgn(2 π x ) , se deduce que este resultado se aplica a las tres definiciones comunes de . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Por la fórmula de Euler , $${\displaystyle \sigma _{\operatorname {H} }(\omega )={\begin{cases}~~i=e^{+i\pi /2},&{\text{for }}\omega <0,\\~~0,&{\text{for }}\omega =0,\\-i=e^{-i\pi /2},&{\text{for }}\omega >0.\end{cases}}}$$

Por lo tanto, H( u )( t ) tiene el efecto de desplazar la fase de los componentes de frecuencia negativos de u ( t ) en +90° ( π ⁄ 2  radianes) y la fase de los componentes de frecuencia positivos en −90°, e i ·H( u )( t ) tiene el efecto de restaurar los componentes de frecuencia positivos mientras desplaza los de frecuencia negativos unos +90° adicionales, lo que resulta en su negación (es decir, una multiplicación por −1).

Cuando se aplica la transformada de Hilbert dos veces, la fase de los componentes de frecuencia negativos y positivos de u ( t ) se desplazan respectivamente en +180° y −180°, que son cantidades equivalentes. La señal se niega; es decir, H(H( u )) = − u , porque

$${\displaystyle \left(\sigma _{\operatorname {H} }(\omega )\right)^{2}=e^{\pm i\pi }=-1\quad {\text{for }}\omega \neq 0.}$$

Tabla de transformadas de Hilbert seleccionadas

En la siguiente tabla, el parámetro frecuencia es real. ${\displaystyle \omega }$

Notas

1. Algunos autores (por ejemplo, Bracewell) utilizan nuestra −H como su definición de la transformada directa. Una consecuencia es que la columna derecha de esta tabla sería negada.
2. La transformada de Hilbert de las funciones seno y coseno se puede definir tomando el valor principal de la integral en el infinito. Esta definición concuerda con el resultado de definir la transformada de Hilbert de manera distributiva.

Está disponible una tabla extensa de transformadas de Hilbert. ^[15] Nótese que la transformada de Hilbert de una constante es cero.

Dominio de definición

No es obvio en absoluto que la transformada de Hilbert esté bien definida, ya que la integral impropia que la define debe converger en un sentido adecuado. Sin embargo, la transformada de Hilbert está bien definida para una amplia clase de funciones, a saber, aquellas en para 1 < p < ∞ . ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

Más precisamente, si u está en 1 < p < ∞ , entonces el límite que define la integral impropia ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)={\frac {2}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t-\tau )-u(t+\tau )}{2\tau }}\,d\tau }$$

existe para casi cada t . La función límite también está en y, de hecho, es el límite en la media de la integral impropia también. Es decir, ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t-\tau )-u(t+\tau )}{2\tau }}\,\mathrm {d} \tau \to \operatorname {H} (u)(t)}$$

como ε → 0 en la norma L ^p , así como puntualmente en casi todas partes, por el teorema de Titchmarsh. ^[16]

En el caso p = 1 , la transformada de Hilbert aún converge puntualmente casi en todas partes, pero puede no ser integrable, incluso localmente. ^[17] En particular, la convergencia en la media no ocurre en general en este caso. La transformada de Hilbert de una función L ¹ converge, sin embargo, en L ¹ -débil, y la transformada de Hilbert es un operador acotado de L ¹ a L ^1,w . ^[18] (En particular, dado que la transformada de Hilbert también es un operador multiplicador en L ² , la interpolación de Marcinkiewicz y un argumento de dualidad proporcionan una prueba alternativa de que H está acotado en L ^p .)

Propiedades

Limitación

Si 1 < p < ∞ , entonces la transformada de Hilbert en es un operador lineal acotado , lo que significa que existe una constante C _p tal que ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle \left\|\operatorname {H} u\right\|_{p}\leq C_{p}\left\|u\right\|_{p}}$$

para todos . ^[19] ${\displaystyle u\in L^{p}(\mathbb {R} )}$

La mejor constante viene dada por ^[20] ${\displaystyle C_{p}}$ $${\displaystyle C_{p}={\begin{cases}\tan {\frac {\pi }{2p}}&{\text{for}}~1<p\leq 2,\\[4pt]\cot {\frac {\pi }{2p}}&{\text{for}}~2<p<\infty .\end{cases}}}$$

Una manera fácil de encontrar la mejor potencia de 2 es a través de la llamada identidad de Cotlar, que para todos los valores reales f . Las mismas constantes óptimas se cumplen para la transformada periódica de Hilbert. ${\displaystyle C_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (\operatorname {H} f)^{2}=f^{2}+2\operatorname {H} (f\operatorname {H} f)}$

La acotación de la transformada de Hilbert implica la convergencia del operador de suma parcial simétrica ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ $${\displaystyle S_{R}f=\int _{-R}^{R}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\xi }\,\mathrm {d} \xi }$$

para f en . ^[21] ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

Adhesión anti-yo

La transformada de Hilbert es un operador adjunto antiauto relativo al emparejamiento de dualidad entre y el espacio dual , donde p y q son conjugados de Hölder y 1 < p , q < ∞ . Simbólicamente, ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{q}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle \langle \operatorname {H} u,v\rangle =\langle u,-\operatorname {H} v\rangle }$$

para y . ^[22] ${\displaystyle u\in L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle v\in L^{q}(\mathbb {R} )}$

Transformada inversa

La transformada de Hilbert es una antiinvolución , ^[23] lo que significa que

$${\displaystyle \operatorname {H} {\bigl (}\operatorname {H} \left(u\right){\bigr )}=-u}$$

siempre que cada transformación esté bien definida. Dado que H conserva el espacio , esto implica en particular que la transformada de Hilbert es invertible en , y que ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle \operatorname {H} ^{-1}=-\operatorname {H} }$$

Estructura compleja

Como H ² = −I (" I " es el operador identidad ) en el espacio de Banach real de funciones de valores reales en , la transformada de Hilbert define una estructura compleja lineal en este espacio de Banach. En particular, cuando p = 2 , la transformada de Hilbert da el espacio de Hilbert de funciones de valores reales en la estructura de un espacio de Hilbert complejo . ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

Los estados propios (complejos) de la transformada de Hilbert admiten representaciones como funciones holomorfas en los semiplanos superior e inferior en el espacio de Hardy H 2 por el teorema de Paley-Wiener .

Diferenciación

Formalmente, la derivada de la transformada de Hilbert es la transformada de Hilbert de la derivada, es decir, estos dos operadores lineales conmutan:

$${\displaystyle \operatorname {H} \left({\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {H} (u)}$$

Iterando esta identidad,

$${\displaystyle \operatorname {H} \left({\frac {\mathrm {d} ^{k}u}{\mathrm {d} t^{k}}}\right)={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}\operatorname {H} (u)}$$

Esto es rigurosamente cierto como se indica siempre que u y sus primeras k derivadas pertenezcan a . ^[24] Esto se puede comprobar fácilmente en el dominio de la frecuencia, donde la diferenciación se convierte en multiplicación por ω . ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

Convoluciones

La transformada de Hilbert se puede realizar formalmente como una convolución con la distribución templada ^[25]

$${\displaystyle h(t)=\operatorname {p.v.} {\frac {1}{\pi \,t}}}$$

Así formalmente,

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)=h*u}$$

Sin embargo, a priori esto sólo puede definirse para u una distribución de soporte compacto . Es posible trabajar con cierto rigor con esto ya que las funciones de soporte compacto (que son distribuciones a fortiori ) son densas en L ^p . Alternativamente, se puede usar el hecho de que h ( t ) es la derivada distribucional de la función log| t |/ π ; a saber:

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {1}{\pi }}\left(u*\log {\bigl |}\cdot {\bigr |}\right)(t)\right)}$$

Para la mayoría de los propósitos operativos, la transformada de Hilbert puede considerarse como una convolución. Por ejemplo, en un sentido formal, la transformada de Hilbert de una convolución es la convolución de la transformada de Hilbert aplicada solo a uno de los factores:

$${\displaystyle \operatorname {H} (u*v)=\operatorname {H} (u)*v=u*\operatorname {H} (v)}$$

Esto es rigurosamente cierto si u y v son distribuciones con soporte compacto ya que, en ese caso,

$${\displaystyle h*(u*v)=(h*u)*v=u*(h*v)}$$

Pasando a un límite apropiado, entonces también es cierto si u ∈ L ^p y v ∈ L ^q siempre que

$${\displaystyle 1<{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}}$$

de un teorema de Titchmarsh. ^[26]

Invariancia

La transformada de Hilbert tiene las siguientes propiedades de invariancia en . ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

• Conmuta con traslaciones, es decir, conmuta con los operadores T _a f ( x ) = f ( x + a ) para todo a en ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• Conmuta con dilataciones positivas, es decir, conmuta con los operadores M _λ f ( x ) = f ( λ x ) para todo λ > 0 .
• Es anticonmutativa con la reflexión R f ( x ) = f (− x ) .

Hasta una constante multiplicativa, la transformada de Hilbert es el único operador acotado en L ² con estas propiedades. ^[27]

De hecho, existe un conjunto más amplio de operadores que conmutan con la transformada de Hilbert. El grupo actúa mediante operadores unitarios U _g en el espacio mediante la fórmula ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle \operatorname {U} _{g}^{-1}f(x)={\frac {1}{cx+d}}\,f\left({\frac {ax+b}{cx+d}}\right)\,,\qquad g={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}~,\qquad {\text{ for }}~ad-bc=\pm 1.}$$

Esta representación unitaria es un ejemplo de una representación en serie principal de En este caso es reducible, dividiéndose como la suma ortogonal de dos subespacios invariantes, el espacio de Hardy y su conjugado. Estos son los espacios de L ² valores de contorno de funciones holomorfas en los semiplanos superior e inferior. y su conjugado consiste exactamente en aquellas L ² funciones con transformadas de Fourier que se desvanecen en las partes negativa y positiva del eje real respectivamente. Dado que la transformada de Hilbert es igual a H = − i (2 P − I) , donde P es la proyección ortogonal de sobre e I el operador identidad , se deduce que y su complemento ortogonal son espacios propios de H para los valores propios ± i . En otras palabras, H conmuta con los operadores U _g . Las restricciones de los operadores U _g a y su conjugado dan representaciones irreducibles de – el llamado límite de representaciones en series discretas . ^[28] ${\displaystyle ~{\text{SL}}(2,\mathbb {R} )~.}$ ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {H} ^{2}(\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle \operatorname {H} ^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {H} ^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}$

Ampliando el dominio de la definición

Transformada de Hilbert de distribuciones

Además, es posible extender la transformada de Hilbert a ciertos espacios de distribuciones (Pandey 1996, Capítulo 3). Dado que la transformada de Hilbert conmuta con la diferenciación y es un operador acotado en L ^p , H se restringe para dar una transformada continua en el límite inverso de los espacios de Sobolev :

$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{L^{p}}={\underset {n\to \infty }{\underset {\longleftarrow }{\lim }}}W^{n,p}(\mathbb {R} )}$$

La transformada de Hilbert puede entonces definirse en el espacio dual de , denotado , que consta de distribuciones L ^p . Esto se logra mediante el emparejamiento de dualidad: Para , defina: ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{L^{p}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{L^{p}}'}$
${\displaystyle u\in {\mathcal {D}}'_{L^{p}}}$

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)\in {\mathcal {D}}'_{L^{p}}=\langle \operatorname {H} u,v\rangle \ \triangleq \ \langle u,-\operatorname {H} v\rangle ,\ {\text{for all}}\ v\in {\mathcal {D}}_{L^{p}}.}$$

También es posible definir la transformada de Hilbert en el espacio de distribuciones templadas mediante un enfoque debido a Gel'fand y Shilov, ^[29] pero se necesita considerablemente más cuidado debido a la singularidad en la integral.

Transformada de Hilbert de funciones acotadas

La transformada de Hilbert también se puede definir para funciones en , pero requiere algunas modificaciones y advertencias. Si se entiende correctamente, la transformada de Hilbert se asigna al espacio de Banach de clases de oscilación media acotada (BMO). ${\displaystyle L^{\infty }(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\mathbb {R} )}$

Interpretada de manera ingenua, la transformada de Hilbert de una función acotada está claramente mal definida. Por ejemplo, con u = sgn( x ) , la integral que define H( u ) diverge casi en todas partes a ±∞ . Para aliviar tales dificultades, la transformada de Hilbert de una función L ^∞ se define por la siguiente forma regularizada de la integral

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)=\operatorname {p.v.} \int _{-\infty }^{\infty }u(\tau )\left\{h(t-\tau )-h_{0}(-\tau )\right\}\,\mathrm {d} \tau }$$

donde como arriba h ( x ) = ⁠1/πx⁠ y

$${\displaystyle h_{0}(x)={\begin{cases}0&{\text{for}}~|x|<1\\{\frac {1}{\pi \,x}}&{\text{for}}~|x|\geq 1\end{cases}}}$$

La transformada modificada H concuerda con la transformada original hasta una constante aditiva en funciones de soporte compacto a partir de un resultado general de Calderón y Zygmund. ^[30] Además, la integral resultante converge puntualmente casi en todas partes, y con respecto a la norma BMO, a una función de oscilación media acotada.

Un resultado profundo del trabajo de Fefferman ^[31] es que una función es de oscilación media acotada si y sólo si tiene la forma f + H( g ) para algún . ${\displaystyle f,g\in L^{\infty }(\mathbb {R} )}$

Funciones conjugadas

La transformada de Hilbert puede entenderse en términos de un par de funciones f ( x ) y g ( x ) tales que la función es el valor límite de una función holomorfa F ( z ) en el semiplano superior. ^[32] En estas circunstancias, si f y g son suficientemente integrables, entonces una es la transformada de Hilbert de la otra. $${\displaystyle F(x)=f(x)+i\,g(x)}$$

Supongamos que Entonces, por la teoría de la integral de Poisson , f admite una extensión armónica única en el semiplano superior, y esta extensión está dada por ${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} ).}$

$${\displaystyle u(x+iy)=u(x,y)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }f(s)\;{\frac {y}{(x-s)^{2}+y^{2}}}\;\mathrm {d} s}$$

cual es la convolución de f con el núcleo de Poisson

$${\displaystyle P(x,y)={\frac {y}{\pi \,\left(x^{2}+y^{2}\right)}}}$$

Además, hay una función armónica única v definida en el semiplano superior tal que F ( z ) = u ( z ) + iv ( z ) es holomorfa y $${\displaystyle \lim _{y\to \infty }v\,(x+i\,y)=0}$$

Esta función armónica se obtiene a partir de f tomando una convolución con el núcleo de Poisson conjugado

$${\displaystyle Q(x,y)={\frac {x}{\pi \,\left(x^{2}+y^{2}\right)}}.}$$

De este modo $${\displaystyle v(x,y)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }f(s)\;{\frac {x-s}{\,(x-s)^{2}+y^{2}\,}}\;\mathrm {d} s.}$$

De hecho, las partes reales e imaginarias del núcleo de Cauchy son $${\displaystyle {\frac {i}{\pi \,z}}=P(x,y)+i\,Q(x,y)}$$

de modo que F = u + iv es holomorfo por la fórmula integral de Cauchy .

La función v obtenida de u de esta manera se llama conjugado armónico de u . El límite (no tangencial) de v ( x , y ) cuando y → 0 es la transformada de Hilbert de f . Por lo tanto, sucintamente, $${\displaystyle \operatorname {H} (f)=\lim _{y\to 0}Q(-,y)\star f}$$

Teorema de Titchmarsh

El teorema de Titchmarsh (llamado así por EC Titchmarsh , quien lo incluyó en su trabajo de 1937) precisa la relación entre los valores límite de las funciones holomorfas en el semiplano superior y la transformada de Hilbert. ^[33] Da las condiciones necesarias y suficientes para que una función integrable al cuadrado de valor complejo F ( x ) en la línea real sea el valor límite de una función en el espacio de Hardy H ² ( U ) de funciones holomorfas en el semiplano superior U .

El teorema establece que las siguientes condiciones para una función integrable al cuadrado de valor complejo son equivalentes: ${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

• F ( x ) es el límite cuando z → x de una función holomorfa F ( z ) en el semiplano superior tal que $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|F(x+i\,y)|^{2}\;\mathrm {d} x<K}$$
• Las partes reales e imaginarias de F ( x ) son transformadas de Hilbert entre sí.
• La transformada de Fourier se desvanece para x < 0 . ${\displaystyle {\mathcal {F}}(F)(x)}$

Un resultado más débil es cierto para funciones de clase L p para p > 1 . ^[34] Específicamente, si F ( z ) es una función holomorfa tal que

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|F(x+i\,y)|^{p}\;\mathrm {d} x<K}$$

para todo y , entonces existe una función de valor complejo F ( x ) en tal que F ( x + iy ) → F ( x ) en la norma L ^{p cuando} y → 0 (además de cumplirse puntualmente casi en todas partes ). Además, ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle F(x)=f(x)-i\,g(x)}$$

donde f es una función de valor real en y g es la transformada de Hilbert (de clase L ^p ) de f . ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

Esto no es cierto en el caso p = 1. De hecho, la transformada de Hilbert de una función L ¹ f no necesita converger en la media a otra función L ^{1. Sin embargo, [35]} la transformada de Hilbert de f converge casi en todas partes a una función finita g tal que

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {|g(x)|^{p}}{1+x^{2}}}\;\mathrm {d} x<\infty }$$

Este resultado es directamente análogo a uno de Andrey Kolmogorov para las funciones de Hardy en el disco. ^[36] Aunque generalmente se lo llama teorema de Titchmarsh, el resultado agrega mucho trabajo de otros, incluidos Hardy, Paley y Wiener (ver Teorema de Paley-Wiener ), así como el trabajo de Riesz, Hille y Tamarkin ^[37].

Problema de Riemann-Hilbert

Una forma del problema de Riemann-Hilbert busca identificar pares de funciones _F + _y F− tales que F ₊ sea holomorfa en el semiplano superior y F− _sea holomorfa en el semiplano inferior, de modo que para x a lo largo del eje real, $${\displaystyle F_{+}(x)-F_{-}(x)=f(x)}$$

donde f ( x ) es una función dada de valor real de . El lado izquierdo de esta ecuación puede entenderse como la diferencia de los límites de F _± de los semiplanos apropiados o como una distribución de hiperfunción . Dos funciones de esta forma son una solución del problema de Riemann-Hilbert. ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

Formalmente, si F _± resuelve el problema de Riemann-Hilbert $${\displaystyle f(x)=F_{+}(x)-F_{-}(x)}$$

entonces la transformada de Hilbert de f ( x ) está dada por ^[38] $${\displaystyle H(f)(x)=-i{\bigl (}F_{+}(x)+F_{-}(x){\bigr )}.}$$

Transformada de Hilbert en el círculo

Para una función periódica f se define la transformada circular de Hilbert:

$${\displaystyle {\tilde {f}}(x)\triangleq {\frac {1}{2\pi }}\operatorname {p.v.} \int _{0}^{2\pi }f(t)\,\cot \left({\frac {x-t}{2}}\right)\,\mathrm {d} t}$$

La transformada circular de Hilbert se utiliza para caracterizar el espacio de Hardy y para estudiar la función conjugada en las series de Fourier. El núcleo se conoce como núcleo de Hilbert , ya que fue en esta forma en la que se estudió originalmente la transformada de Hilbert. ^[8] $${\displaystyle \cot \left({\frac {x-t}{2}}\right)}$$

El núcleo de Hilbert (para la transformada circular de Hilbert) se puede obtener haciendo que el núcleo de Cauchy sea 1 ⁄ x periódico. Más precisamente, para x ≠ 0

$${\displaystyle {\frac {1}{\,2\,}}\cot \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{x+2n\pi }}+{\frac {1}{\,x-2n\pi \,}}\right)}$$

Muchos resultados sobre la transformada circular de Hilbert pueden derivarse de los resultados correspondientes para la transformada de Hilbert a partir de esta correspondencia.

Otra conexión más directa la proporciona la transformada de Cayley C ( x ) = ( x – i ) / ( x + i ) , que lleva la línea real al círculo y el semiplano superior al disco unitario. Induce una función unitaria

$${\displaystyle U\,f(x)={\frac {1}{(x+i)\,{\sqrt {\pi }}}}\,f\left(C\left(x\right)\right)}$$

de L ² ( T ) sobre El operador U lleva el espacio de Hardy H ² ( T ) sobre el espacio de Hardy . ^[39] ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ).}$ ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} )}$

Transformada de Hilbert en el procesamiento de señales

Teorema de Bedrosian

El teorema de Bedrosian establece que la transformada de Hilbert del producto de una señal de paso bajo y una señal de paso alto con espectros no superpuestos está dada por el producto de la señal de paso bajo y la transformada de Hilbert de la señal de paso alto, o

$${\displaystyle \operatorname {H} \left(f_{\text{LP}}(t)\cdot f_{\text{HP}}(t)\right)=f_{\text{LP}}(t)\cdot \operatorname {H} \left(f_{\text{HP}}(t)\right),}$$

donde f _LP y f _HP son las señales de paso bajo y paso alto respectivamente. ^[40] Una categoría de señales de comunicación a la que se aplica esto se denomina modelo de señal de banda estrecha. Un miembro de esa categoría es la modulación de amplitud de una "portadora" sinusoidal de alta frecuencia:

$${\displaystyle u(t)=u_{m}(t)\cdot \cos(\omega t+\varphi ),}$$

donde u _m ( t ) es la forma de onda del "mensaje" de ancho de banda estrecho, como voz o música. Entonces, por el teorema de Bedrosian: ^[41]

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)={\begin{cases}+u_{m}(t)\cdot \sin(\omega t+\varphi ),&\omega >0,\\-u_{m}(t)\cdot \sin(\omega t+\varphi ),&\omega <0.\end{cases}}}$$

Representación analítica

Un tipo específico de función conjugada es :

$${\displaystyle u_{a}(t)\triangleq u(t)+i\cdot H(u)(t),}$$

conocida como la representación analítica de El nombre refleja su manejabilidad matemática, debido en gran medida a la fórmula de Euler . Aplicando el teorema de Bedrosian al modelo de banda estrecha, la representación analítica es : ^[42] ${\displaystyle u(t).}$

Una propiedad de la transformada de Fourier indica que esta operación heterodina compleja puede desplazar todos los componentes de frecuencia negativos de u _m ( t ) por encima de 0 Hz. En ese caso, la parte imaginaria del resultado es una transformada de Hilbert de la parte real. Esta es una forma indirecta de producir transformadas de Hilbert.

Modulación de ángulo (fase/frecuencia)

La forma: ^[43]

$${\displaystyle u(t)=A\cdot \cos(\omega t+\varphi _{m}(t))}$$

Se denomina modulación angular , que incluye tanto la modulación de fase como la modulación de frecuencia . La frecuencia instantánea es   Para un ω   suficientemente grande , en comparación con : ${\displaystyle \omega +\varphi _{m}^{\prime }(t).}$ ${\displaystyle \varphi _{m}^{\prime }}$

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)\approx A\cdot \sin(\omega t+\varphi _{m}(t))}$$y: $${\displaystyle u_{a}(t)\approx A\cdot e^{i(\omega t+\varphi _{m}(t))}.}$$

Modulación de banda lateral única (SSB)

Cuando u _m ( t ) en  la ecuación 1 también es una representación analítica (de una forma de onda de mensaje), es decir:

$${\displaystyle u_{m}(t)=m(t)+i\cdot {\widehat {m}}(t)}$$

El resultado es una modulación de banda lateral única :

$${\displaystyle u_{a}(t)=(m(t)+i\cdot {\widehat {m}}(t))\cdot e^{i(\omega t+\varphi )}}$$

cuyo componente transmitido es: ^{[44] [45]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}u(t)&=\operatorname {Re} \{u_{a}(t)\}\\&=m(t)\cdot \cos(\omega t+\varphi )-{\widehat {m}}(t)\cdot \sin(\omega t+\varphi )\end{aligned}}}$$

Causalidad

La función presenta dos desafíos basados ​​en la causalidad para la implementación práctica en una convolución (además de su valor indefinido en 0): ${\displaystyle h(t)=1/(\pi t)}$

• Su duración es infinita (técnicamente soporte infinito ). La ventana de longitud finita reduce el rango de frecuencia efectivo de la transformación; las ventanas más cortas resultan en mayores pérdidas en frecuencias bajas y altas. Véase también filtro de cuadratura .
• Es un filtro no causal , por lo que se requiere una versión retrasada. La salida correspondiente se retrasa posteriormente en Al crear la parte imaginaria de una señal analítica , la fuente (parte real) también debe retrasarse en . ${\displaystyle h(t-\tau ),}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle \tau }$

Transformada de Hilbert discreta

Figura 1 : Filtro cuya respuesta de frecuencia está limitada en banda a aproximadamente el 95% de la frecuencia de Nyquist

Figura 2 : Filtro de transformada de Hilbert con una respuesta de frecuencia de paso alto

Figura 3 .

Figura 4. La transformada de Hilbert de cos( ωt ) es sin( ωt ) . Esta figura muestra sin(ωt) y dos transformadas de Hilbert aproximadas calculadas por la función de la biblioteca MATLAB, hilbert().

Figura 5. Transformadas de Hilbert discretas de una función coseno, utilizando convolución por partes

Para una función discreta, con transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT), y transformada de Hilbert discreta, la DTFT de en la región − π < ω < π viene dada por : ${\displaystyle u[n],}$ ${\displaystyle U(\omega )}$ ${\displaystyle {\widehat {u}}[n],}$ ${\displaystyle {\widehat {u}}[n]}$

${\displaystyle \operatorname {DTFT} ({\widehat {u}})=U(\omega )\cdot (-i\cdot \operatorname {sgn}(\omega )).}$

La DTFT inversa, utilizando el teorema de convolución , es : ^{[46] [47]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {u}}[n]&={\scriptstyle \mathrm {DTFT} ^{-1}}(U(\omega ))\ *\ {\scriptstyle \mathrm {DTFT} ^{-1}}(-i\cdot \operatorname {sgn}(\omega ))\\&=u[n]\ *\ {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }(-i\cdot \operatorname {sgn}(\omega ))\cdot e^{i\omega n}\,\mathrm {d} \omega \\&=u[n]\ *\ \underbrace {{\frac {1}{2\pi }}\left[\int _{-\pi }^{0}i\cdot e^{i\omega n}\,\mathrm {d} \omega -\int _{0}^{\pi }i\cdot e^{i\omega n}\,\mathrm {d} \omega \right]} _{h[n]},\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle h[n]\ \triangleq \ {\begin{cases}0,&{\text{for }}n{\text{ even}}\\{\frac {2}{\pi n}}&{\text{for }}n{\text{ odd}},\end{cases}}}$

que es una respuesta de impulso infinita (IIR).

Consideraciones prácticas

Método 1: Convolución directa de datos en streaming con una aproximación FIR que designaremos por Ejemplos de truncamiento se muestran en las figuras 1 y 2. La Fig. 1 tiene un número impar de coeficientes antisimétricos y se llama Tipo III. ^[48] Este tipo exhibe inherentemente respuestas de magnitud cero en frecuencias 0 y Nyquist, lo que resulta en una forma de filtro de paso de banda. ^{[49] [50]} Un diseño de Tipo IV (número par de coeficientes antisimétricos) se muestra en la Fig . 2. ^{[51] [52]} Tiene una respuesta de frecuencia de paso alto. ^[53] El Tipo III es la elección habitual. ^{[54] [55]} por estas razones : ${\displaystyle u[n]}$ ${\displaystyle h[n],}$ ${\displaystyle {\tilde {h}}[n].}$ ${\displaystyle h[n]}$

• Una secuencia típica (es decir, correctamente filtrada y muestreada) no tiene componentes útiles en la frecuencia de Nyquist. ${\displaystyle u[n]}$
• La respuesta al impulso de tipo IV requiere un desplazamiento de la muestra en la secuencia, lo que hace que los coeficientes con valor cero pasen a ser distintos de cero, como se ve en la Figura 2. Por lo tanto, un diseño de tipo III es potencialmente el doble de eficiente que el de tipo IV. ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle h[n]}$
• El retardo de grupo de un diseño de tipo III es un número entero de muestras, lo que facilita la alineación para crear una señal analítica . El retardo de grupo de tipo IV está a medio camino entre dos muestras. ${\displaystyle {\widehat {u}}[n]}$ ${\displaystyle u[n]}$

El truncamiento abrupto de crea una ondulación (efecto Gibbs) de la respuesta de frecuencia plana. Esto se puede mitigar mediante el uso de una función de ventana para reducirla a cero. ^[56] ${\displaystyle h[n]}$ ${\displaystyle {\tilde {h}}[n]}$

Método 2: Convolución por partes. Es bien sabido que la convolución directa es computacionalmente mucho más intensiva que métodos como el solapamiento-guardado que dan acceso a las eficiencias de la transformada rápida de Fourier a través del teorema de convolución. ^[57] Específicamente, la transformada discreta de Fourier (DFT) de un segmento de se multiplica puntualmente con una DFT de la secuencia. Se realiza una DFT inversa en el producto y se descartan los artefactos transitorios en los bordes anterior y posterior del segmento. Los segmentos de entrada superpuestos evitan espacios en el flujo de salida. Una descripción equivalente del dominio del tiempo es que los segmentos de longitud (un parámetro arbitrario) se convolucionan con la función periódica : ${\displaystyle u[n]}$ ${\displaystyle {\tilde {h}}[n]}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\tilde {h}}_{N}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\tilde {h}}[n-mN].}$

Cuando la duración de los valores distintos de cero de es la secuencia de salida incluye muestras de salidas que se descartan de cada bloque de y los bloques de entrada se superponen en esa cantidad para evitar espacios. ${\displaystyle {\tilde {h}}[n]}$ ${\displaystyle M<N,}$ ${\displaystyle N-M+1}$ ${\displaystyle {\widehat {u}}.}$  ${\displaystyle M-1}$ ${\displaystyle N,}$

Método 3: Igual que el método 2, excepto que la DFT de se reemplaza por muestras de la distribución (cuyos componentes reales e imaginarios son todos simplemente o  ) que convoluciona con una suma periódica : ^[A] ${\displaystyle {\tilde {h}}[n]}$ ${\displaystyle -i\operatorname {sgn} (\omega )}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \pm 1.}$ ${\displaystyle u[n]}$

${\displaystyle h_{N}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-mN],}$   ^{[B] [C]}

Para algún parámetro arbitrario, no es un FIR, por lo que los efectos de borde se extienden a lo largo de toda la transformación. Decidir qué eliminar y la cantidad correspondiente de superposición es una cuestión de diseño que depende de la aplicación. ${\displaystyle N.}$ ${\displaystyle h[n]}$

La figura 3 muestra la diferencia entre los métodos 2 y 3. Solo se muestra la mitad de la respuesta al impulso antisimétrica y solo los coeficientes distintos de cero. El gráfico azul corresponde al método 2, donde se trunca mediante una función de ventana rectangular, en lugar de cónica. Se genera mediante una función de Matlab, hilb(65) . Sus efectos transitorios se conocen con exactitud y se descartan fácilmente. La respuesta de frecuencia, que está determinada por el argumento de la función, es el único problema de diseño que depende de la aplicación. ${\displaystyle h[n]}$

El gráfico rojo corresponde al método 3. Es la DFT inversa de la distribución. Específicamente, es la función que se convoluciona con un segmento de mediante la función MATLAB , hilbert(u,512) , ^[60] . La parte real de la secuencia de salida es la secuencia de entrada original, de modo que la salida compleja es una representación analítica de ${\displaystyle h_{512}[n],}$ ${\displaystyle -i\operatorname {sgn} (\omega )}$ ${\displaystyle u[n]}$ ${\displaystyle u[n].}$

Cuando la entrada es un segmento de un coseno puro, la convolución resultante para dos valores diferentes de se representa en la Fig. 4 (gráficos rojo y azul). Los efectos de borde evitan que el resultado sea una función seno pura (gráfico verde). Dado que no es una secuencia FIR, la extensión teórica de los efectos es la secuencia de salida completa. Pero las diferencias con una función seno disminuyen con la distancia desde los bordes. El parámetro es la longitud de la secuencia de salida. Si excede la longitud de la secuencia de entrada, la entrada se modifica agregando elementos de valor cero. En la mayoría de los casos, eso reduce la magnitud de las distorsiones de borde. Pero su duración está dominada por los tiempos de subida y bajada inherentes de la respuesta al impulso. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle h_{N}[n]}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle h[n]}$

La figura 5 es un ejemplo de convolución por partes, utilizando ambos métodos 2 (en azul) y 3 (puntos rojos). Se crea una función seno calculando la transformada de Hilbert discreta de una función coseno, que se procesó en cuatro segmentos superpuestos y se volvió a unir. Como muestra el resultado FIR (azul), las distorsiones aparentes en el resultado IIR (rojo) no son causadas por la diferencia entre y (verde y rojo en la figura 3 ). El hecho de que esté cónico ( en ventana ) es realmente útil en este contexto. El problema real es que no está lo suficientemente en ventana. Efectivamente, mientras que el método de ahorro de superposición necesita ${\displaystyle h[n]}$ ${\displaystyle h_{N}[n]}$ ${\displaystyle h_{N}[n]}$ ${\displaystyle M=N,}$ ${\displaystyle M<N.}$

Transformada de Hilbert en teoría de números

La transformada de Hilbert teórica de números es una extensión ^[61] de la transformada de Hilbert discreta a números enteros módulo un número primo apropiado. En esto se sigue la generalización de la transformada de Fourier discreta a transformadas teóricas de números. La transformada de Hilbert teórica de números se puede utilizar para generar conjuntos de secuencias discretas ortogonales. ^[62]

Véase también

• Señal analítica
• Conjugado armónico
• Espectroscopia de Hilbert
• Transformada de Hilbert en el plano complejo
• Transformada de Hilbert-Huang
• Relación de Kramers-Kronig
• Transformada de Riesz
• Señal de banda lateral única
• Operadores integrales singulares de tipo convolución

Notas

1. ver § Convolución periódica , Ec.4b
2. Una versión cerrada de para valores pares de es: ^[58] ${\displaystyle h_{N}[n]}$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle h_{N}[n]={\begin{cases}{\frac {2}{N}}\cot(\pi n/N)&{\text{for }}n{\text{ odd}},\\0&{\text{for }}n{\text{ even}}.\end{cases}}}$$
3. Una versión cerrada de para valores impares de es : ^[59] ${\displaystyle h_{N}[n]}$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle h_{N}[n]={\frac {1}{N}}\left(\cot(\pi n/N)-{\frac {\cos(\pi n)}{\sin(\pi n/N)}}\right),}$$

Citas de páginas

1. Debido a Schwartz 1950; ver Pandey 1996, Capítulo 3.
2. Zygmund 1968, §XVI.1.
3. Por ejemplo, Brandwood 2003, pág. 87.
4. Por ejemplo, Stein y Weiss 1971.
5. Por ejemplo, Bracewell 2000, pág. 359.
6. Kress 1989.
7. Bitsadze 2001.
8. Khvedelidze 2001.
9. Hilbert 1953.
10. Hardy, Littlewood y Pólya 1952, §9.1.
11. Hardy, Littlewood y Pólya 1952, §9.2.
12. Riesz 1928.
13. Calderón y Zygmund 1952.
14. Duoandikoetxea 2000, Capítulo 3.
15. Rey 2009b.
16. Titchmarsh 1948, Capítulo 5.
17. Titchmarsh 1948, §5.14.
18. Stein y Weiss 1971, Lema V.2.8.
19. Este teorema se debe a Riesz 1928, VII; véase también Titchmarsh 1948, Teorema 101.
20. Este resultado se debe a Pichorides 1972; véase también Grafakos 2004, Observación 4.1.8.
21. Véase por ejemplo Duoandikoetxea 2000, pág. 59.
22. Titchmarsh 1948, Teorema 102.
23. Titchmarsh 1948, pág. 120.
24. Pandey 1996, §3.3.
25. Duistermaat y Kolk 2010, pág. 211.
26. Titchmarsh 1948, Teorema 104.
27. Stein 1970, §III.1.
28. Véase Bargmann 1947, Lang 1985 y Sugiura 1990.
29. Gel'fand y Shilov 1968.
30. Calderón y Zygmund 1952; ver Fefferman 1971.
31. Fefferman 1971; Fefferman y Stein 1972
32. Titchmarsh 1948, Capítulo V.
33. Titchmarsh 1948, Teorema 95.
34. Titchmarsh 1948, Teorema 103.
35. Titchmarsh 1948, Teorema 105.
36. Duren 1970, Teorema 4.2.
37. ver King 2009a, § 4.22.
38. Pandey 1996, Capítulo 2.
39. Rosenblum y Rovnyak 1997, pág. 92.
40. Schreier y Scharf 2010, 14.
41. Bedrosian 1962.
42. Osgood, pág. 320
43. Osgood, pág. 320
44. Franks 1969, pág. 88
45. Tretter 1995, pág. 80 (7.9)
46. Carrick, Jaeger y Harris 2011, pág. 2
47. Rabiner y Gold 1975, pág. 71 (Ecuación 2.195)
48. Isukapalli, pág. 14
49. Isukapalli, pág. 18
50. Rabiner & Gold 1975, pág. 172 (Fig. 3.74)
51. Isukapalli, pág. 15
52. Rabiner & Gold 1975, pág. 173 (Fig. 3.75)
53. Isukapalli, pág. 18
54. Carrick, Jaeger y Harris 2011, pág. 3
55. Rabiner y Gold 1975, pág. 175
56. Carrick, Jaeger y Harris 2011, pág. 3
57. Rabiner y Gold 1975, pág. 59 (2.163)
58. Johansson, pág. 24
59. Johansson, pág. 25
60. MathWorks. «Hilbert: señal analítica en tiempo discreto mediante la transformada de Hilbert». Documentación de MATLAB Signal Processing Toolbox . Consultado el 6 de mayo de 2021 .
61. Kak 1970.
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Referencias

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Lectura adicional

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Enlaces externos

• Derivación de la acotación de la transformada de Hilbert
• Transformada de Hilbert de Mathworld: contiene una tabla de transformadas
• Weisstein, Eric W. "Teorema de Titchmarsh". MathWorld .
• "GS256 Clase 3: Transformación de Hilbert" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 27 de febrero de 2012.Una introducción de nivel básico a la transformación de Hilbert.