Filtro causal

En el procesamiento de señales , un filtro causal es un sistema causal lineal e invariante en el tiempo . La palabra causal indica que la salida del filtro depende solo de entradas pasadas y presentes. Un filtro cuya salida también depende de entradas futuras es no causal , mientras que un filtro cuya salida depende solo de entradas futuras es anticausal . Los sistemas (incluidos los filtros) que son realizables (es decir, que operan en tiempo real ) deben ser causales porque dichos sistemas no pueden actuar sobre una entrada futura. En efecto, eso significa que la muestra de salida que mejor representa la entrada en el momento sale un poco más tarde. Una práctica de diseño común para los filtros digitales es crear un filtro realizable acortando y/o desplazando en el tiempo una respuesta de impulso no causal. Si el acortamiento es necesario, a menudo se logra como el producto de la respuesta de impulso con una función de ventana . ${\displaystyle t,}$

Un ejemplo de un filtro anticausal es un filtro de fase máxima , que puede definirse como un filtro anticausal estable cuyo inverso también es estable y anticausal.

Cada componente del filtro causal comienza a funcionar cuando comienza su estímulo. Las salidas del filtro no causal comienzan antes de que comience el estímulo.

Ejemplo

La siguiente definición es un promedio móvil o deslizante de los datos de entrada . Se omite un factor constante de 1 ⁄ 2 para simplificar: ${\displaystyle s(x)\,}$

${\displaystyle f(x)=\int _{x-1}^{x+1}s(\tau )\,d\tau \ =\int _{-1}^{+1}s(x+\tau )\,d\tau \,}$

donde podría representar una coordenada espacial, como en el procesamiento de imágenes. Pero si representa el tiempo , entonces un promedio móvil definido de esa manera no es causal (también llamado no realizable ), porque depende de entradas futuras, como . Una salida realizable es ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (t)\,}$ ${\displaystyle f(t)\,}$ ${\displaystyle s(t+1)\,}$

${\displaystyle f(t-1)=\int _{-2}^{0}s(t+\tau )\,d\tau =\int _{0}^{+2}s(t-\tau )\,d\tau \,}$

que es una versión retrasada de la salida no realizable.

Cualquier filtro lineal (como un promedio móvil) se puede caracterizar mediante una función h ( t ) llamada respuesta al impulso . Su salida es la convolución.

${\displaystyle f(t)=(h*s)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )s(t-\tau )\,d\tau .\,}$

En esos términos, la causalidad requiere

${\displaystyle f(t)=\int _{0}^{\infty }h(\tau )s(t-\tau )\,d\tau }$

y la igualdad general de estas dos expresiones requiere h ( t ) = 0 para todo t  < 0.

Caracterización de filtros causales en el dominio de la frecuencia

Sea h ( t ) un filtro causal con la transformada de Fourier correspondiente H (ω). Defina la función

${\displaystyle g(t)={h(t)+h^{*}(-t) \over 2}}$

que no es causal. Por otra parte, g ( t ) es hermítica y, en consecuencia, su transformada de Fourier G (ω) es real. Ahora tenemos la siguiente relación

${\displaystyle h(t)=2\,\Theta (t)\cdot g(t)\,}$

donde Θ( t ) es la función escalón unitario de Heaviside .

Esto significa que las transformadas de Fourier de h ( t ) y g ( t ) están relacionadas de la siguiente manera

${\displaystyle H(\omega )=\left(\delta (\omega )-{i \over \pi \omega }\right)*G(\omega )=G(\omega )-i\cdot {\widehat {G}}(\omega )\,}$

donde es una transformada de Hilbert realizada en el dominio de la frecuencia (en lugar del dominio del tiempo). El signo de puede depender de la definición de la transformada de Fourier. ${\displaystyle {\widehat {G}}(\omega )\,}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}(\omega )\,}$

Tomando la transformada de Hilbert de la ecuación anterior se obtiene esta relación entre "H" y su transformada de Hilbert:

${\displaystyle {\widehat {H}}(\omega )=iH(\omega )}$

Referencias

• Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (septiembre de 2007), Recetas numéricas (3.ª ed.), Cambridge University Press, pág. 767, ISBN 9780521880688
• Rowell (enero de 2009), Determinación de la causalidad de un sistema a partir de su respuesta de frecuencia (PDF) , MIT OpenCourseWare