Fase y frecuencia instantáneas.

Concepto de ingeniería eléctrica

La fase instantánea y la frecuencia son conceptos importantes en el procesamiento de señales que ocurren en el contexto de la representación y análisis de funciones que varían en el tiempo. ^[1] La fase instantánea (también conocida como fase local o simplemente fase ) de una función de valor complejo s ( t ), es la función de valor real:

${\displaystyle \varphi (t)=\arg\{s(t)\},}$

donde arg es la función de argumento complejo . La frecuencia instantánea es la tasa temporal de cambio de la fase instantánea.

Y para una función de valor real s ( t ), se determina a partir de la representación analítica de la función , s _a ( t ): ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\arg\{s_{\mathrm {a} }(t)\}\\[4pt]&=\arg\{s(t)+j{\hat {s}}(t)\},\end{aligned}}}$

donde representa la transformada de Hilbert de s ( t ). ${\displaystyle {\hat {s}}(t)}$

Cuando φ ( t ) está restringido a su valor principal , ya sea el intervalo (− π , π ] o [0, 2 π ) , se llama fase envuelta . De lo contrario, se llama fase desenvuelta , que es una función continua del argumento t , asumiendo que s _a ( t ) es una función continua de t . Salvo indicación en contrario, deberá inferirse la forma continua.

Fase instantánea vs tiempo. La función tiene dos discontinuidades verdaderas de 180° en los momentos 21 y 59, lo que indica cruces por cero de amplitud. Las "discontinuidades" de 360° en los momentos 19, 37 y 91 son artefactos de la envoltura de fase.

Fase instantánea de una forma de onda modulada en frecuencia: MSK (modificación por desplazamiento mínimo). Un gráfico "envuelto" de 360° simplemente se replica verticalmente dos veces más, creando la ilusión de un gráfico no envuelto, pero utilizando solo 3x360° del eje vertical.

Ejemplos

Ejemplo 1

${\displaystyle s(t)=A\cos(\omega t+\theta ),}$

donde ω > 0.

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{\mathrm {a} }(t)&=Ae^{j(\omega t+\theta )},\\\varphi (t)&=\omega t+\theta .\end{aligned}}}$

En este ejemplo sinusoidal simple, la constante θ también se conoce comúnmente como fase o desplazamiento de fase . φ ( t ) es función del tiempo; θ no lo es. En el siguiente ejemplo, también vemos que el desplazamiento de fase de una sinusoide de valor real es ambiguo a menos que se especifique una referencia (sen o cos). φ ( t ) está definido sin ambigüedades.

Ejemplo 2

${\displaystyle s(t)=A\sin(\omega t)=A\cos \left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right),}$

donde ω > 0.

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{\mathrm {a} }(t)&=Ae^{j\left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right)},\\\varphi (t)&=\omega t-{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

En ambos ejemplos , los máximos locales de s ( t ) corresponden a φ ( t ) = 2 π N para valores enteros de  N. Esto tiene aplicaciones en el campo de la visión por computadora.

Formulaciones

La frecuencia angular instantánea se define como:

${\displaystyle \omega (t)={\frac {d\varphi (t)}{dt}},}$

y la frecuencia instantánea (ordinaria) se define como:

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\omega (t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {d\varphi (t)}{dt}}}$

donde φ ( t ) debe ser la fase desenvuelta ; de lo contrario, si se envuelve φ ( t ), las discontinuidades en φ ( t ) darán como resultado impulsos delta de Dirac en f ( t ).

La operación inversa, que siempre desenvuelve fase, es:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\int _{-\infty }^{t}\omega (\tau )\,d\tau =2\pi \int _{-\infty }^{t}f(\tau )\,d\tau \\[5pt]&=\int _{-\infty }^{0}\omega (\tau )\,d\tau +\int _{0}^{t}\omega (\tau )\,d\tau \\[5pt]&=\varphi (0)+\int _{0}^{t}\omega (\tau )\,d\tau .\end{aligned}}}$

Esta frecuencia instantánea, ω ( t ), se puede derivar directamente de las partes real e imaginaria de s _a ( t ), en lugar del complejo arg sin preocuparse por el desenvolvimiento de la fase.

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\arg\{s_{\mathrm {a} }(t)\}\\[4pt]&=\operatorname {atan2} ({\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)],{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)])+2m_{1}\pi \\[4pt]&=\arctan \left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)+m_{2}\pi \end{aligned}}}$

2 m ₁ π y m ₂ π son los múltiplos enteros de π necesarios para sumar para desenvolver la fase. En valores de tiempo, t , donde no hay cambios en el número entero m ₂ , la derivada de φ ( t ) es

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (t)={\frac {d\varphi (t)}{dt}}&={\frac {d}{dt}}\arctan \left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{1+\left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)^{2}}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)\\[3pt]&={\frac {{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}-{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}}{({\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)])^{2}+({\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)])^{2}}}\\[3pt]&={\frac {1}{|s_{\mathrm {a} }(t)|^{2}}}\left({\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}-{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{(s(t))^{2}+\left({\hat {s}}(t)\right)^{2}}}\left(s(t){\frac {d{\hat {s}}(t)}{dt}}-{\hat {s}}(t){\frac {ds(t)}{dt}}\right)\end{aligned}}}$

Para funciones de tiempo discreto, esto se puede escribir como recursividad:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi [n]&=\varphi [n-1]+\omega [n]\\&=\varphi [n-1]+\underbrace {\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\}-\arg\{s_{\mathrm {a} }[n-1]\}} _{\Delta \varphi [n]}\\&=\varphi [n-1]+\arg \left\{{\frac {s_{\mathrm {a} }[n]}{s_{\mathrm {a} }[n-1]}}\right\}\\\end{aligned}}}$

Luego, las discontinuidades se pueden eliminar sumando 2 π siempre que Δ φ [ n ] ≤ − π y restando 2 π siempre que Δ φ [ n ] >  π . Eso permite que φ [ n ] se acumule sin límite y produzca una fase instantánea desenvuelta. Una formulación equivalente que reemplaza la operación módulo 2 π con una multiplicación compleja es:

${\displaystyle \varphi [n]=\varphi [n-1]+\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\,s_{\mathrm {a} }^{*}[n-1]\},}$

donde el asterisco denota conjugado complejo. La frecuencia instantánea en tiempo discreto (en unidades de radianes por muestra) es simplemente el avance de fase para esa muestra.

${\displaystyle \omega [n]=\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\,s_{\mathrm {a} }^{*}[n-1]\}.}$

Representación compleja

En algunas aplicaciones, como promediar los valores de fase en varios momentos de tiempo, puede resultar útil convertir cada valor en un número complejo o representación vectorial: ^[3]

${\displaystyle e^{i\varphi (t)}={\frac {s_{\mathrm {a} }(t)}{|s_{\mathrm {a} }(t)|}}=\cos(\varphi (t))+i\sin(\varphi (t)).}$

Esta representación es similar a la representación de fase envuelta en que no distingue entre múltiplos de 2 π en la fase, pero similar a la representación de fase no envuelta ya que es continua. Se puede obtener una fase de promedio vectorial como el argumento de la suma de los números complejos sin preocuparse por el ajuste.

Ver también

• Desplazamiento angular
• Señal analítica
• Modulación de frecuencia
• Retraso de grupo
• amplitud instantánea
• Frecuencia negativa

Referencias

1. Sejdic, E.; Djurovic, I.; Stankovic, L. (agosto de 2008). "Análisis de rendimiento cuantitativo del escalograma como estimador de frecuencia instantánea". Transacciones IEEE sobre procesamiento de señales . 56 (8): 3837–3845. Código Bib : 2008ITSP...56.3837S. doi :10.1109/TSP.2008.924856. ISSN  1053-587X. S2CID  16396084.
2. Blackledge, Jonathan M. (2006). Procesamiento de señales digitales: métodos matemáticos y computacionales, desarrollo y aplicaciones de software (2 ed.). Publicación Woodhead. pag. 134.ISBN​ 1904275265.
3. Wang, S. (2014). "Un método de desenvolvimiento de fase guiado de calidad mejorada y sus aplicaciones a la resonancia magnética". Avances en la Investigación Electromagnética . 145 : 273–286. doi : 10.2528/PIER14021005 .

Otras lecturas

• Cohen, León (1995). Análisis Tiempo-Frecuencia . Prentice Hall.
• Granlund; Knutsson (1995). Procesamiento de señales para visión por computadora . Editores académicos de Kluwer.