Transformada de Riesz

En la teoría matemática del análisis armónico , las transformadas de Riesz son una familia de generalizaciones de la transformada de Hilbert a espacios euclidianos de dimensión d  > 1. Son un tipo de operador integral singular , es decir, están dadas por una convolución de una función con otra función que tiene una singularidad en el origen. En concreto, las transformadas de Riesz de una función de valor complejo ƒ sobre R ^d se definen mediante

para j  = 1,2,..., d . La constante c _d es una normalización dimensional dada por

${\displaystyle c_{d}={\frac {1}{\pi \omega _{d-1}}}={\frac {\Gamma [(d+1)/2]}{\pi ^{(d+1)/2}}}.}$

donde ω _{d −1} es el volumen de la unidad ( d  − 1)-bola . El límite se escribe de varias maneras, a menudo como un valor principal o como una convolución con la distribución templada.

${\displaystyle K(x)={\frac {1}{\pi \omega _{d-1}}}\,p.v.{\frac {x_{j}}{|x|^{d+1}}}.}$

Las transformadas de Riesz surgen en el estudio de las propiedades de diferenciabilidad de los potenciales armónicos en la teoría de potenciales y el análisis armónico . En particular, surgen en la demostración de la desigualdad de Calderón-Zygmund (Gilbarg y Trudinger 1983, §9.4).

Propiedades del multiplicador

Las transformadas de Riesz se dan mediante un multiplicador de Fourier . De hecho, la transformada de Fourier de R _j ƒ se da mediante

${\displaystyle {\mathcal {F}}(R_{j}f)(x)=-i{\frac {x_{j}}{|x|}}({\mathcal {F}}f)(x).}$

En esta forma , las transformadas de Riesz se consideran generalizaciones de la transformada de Hilbert . El núcleo es una distribución homogénea de grado cero. Una consecuencia particular de esta última observación es que la transformada de Riesz define un operador lineal acotado desde L ² ( R ^d ) hasta sí misma. ^[1]

Esta propiedad de homogeneidad también se puede enunciar de forma más directa sin la ayuda de la transformada de Fourier. Si σ _s es la dilatación sobre R ^d por el escalar s , es decir σ _s x  =  sx , entonces σ _s define una acción sobre funciones mediante pullback :

${\displaystyle \sigma _{s}^{*}f=f\circ \sigma _{s}.}$

Las transformadas de Riesz conmutan con σ _s :

${\displaystyle \sigma _{s}^{*}(R_{j}f)=R_{j}(\sigma _{x}^{*}f).}$

De manera similar, las transformadas de Riesz conmutan con traslaciones. Sea τ _a la traslación en R ^d a lo largo del vector a ; es decir, τ _a ( x ) =  x  +  a . Entonces

${\displaystyle \tau _{a}^{*}(R_{j}f)=R_{j}(\tau _{a}^{*}f).}$

Para la propiedad final, es conveniente considerar las transformadas de Riesz como una única entidad vectorial R ƒ = ( R ₁ ƒ,..., R _d ƒ). Considérese una rotación ρ en R ^d . La rotación actúa sobre variables espaciales y, por lo tanto, sobre funciones a través de pullback. Pero también puede actuar sobre el vector espacial R ƒ. La propiedad de transformación final afirma que la transformada de Riesz es equivariante con respecto a estas dos acciones; es decir,

${\displaystyle \rho ^{*}R_{j}[(\rho ^{-1})^{*}f]=\sum _{k=1}^{d}\rho _{jk}R_{k}f.}$

De hecho, estas tres propiedades caracterizan la transformada de Riesz en el siguiente sentido. Sea T =( T ₁ ,..., T _d ) una d -tupla de operadores lineales acotados desde L ² ( R ^d ) hasta L ² ( R ^d ) tales que

• T conmuta con todas las dilataciones y traslaciones.
• T es equivariante con respecto a las rotaciones.

Entonces, para alguna constante c , T = cR .

Relación con el Laplaciano

De manera algo imprecisa, las transformadas de Riesz dan las primeras derivadas parciales de una solución de la ecuación ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {(-\Delta )^{\frac {1}{2}}u=f},}$

donde Δ es el laplaciano. Por lo tanto, la transformada de Riesz de se puede escribir como: ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {Rf=\nabla (-\Delta )^{-{\frac {1}{2}}}f}}$

En particular, también se debería tener

${\displaystyle R_{i}R_{j}\Delta u=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}},}$

De modo que las transformadas de Riesz proporcionan una manera de recuperar información sobre todo el hessiano de una función a partir del conocimiento únicamente de su laplaciano.

Esto se hace ahora más preciso. Supongamos que es una función de Schwartz . Entonces, de hecho, por la forma explícita del multiplicador de Fourier, se tiene ${\displaystyle u}$

${\displaystyle R_{i}R_{j}(\Delta u)=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}.}$

La identidad no es generalmente cierta en el sentido de distribuciones . Por ejemplo, si es una distribución templada tal que , entonces sólo se puede concluir que ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Delta u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{d})}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}=-R_{i}R_{j}\Delta u+P_{ij}(x)}$

para algún polinomio . ${\displaystyle P_{ij}}$

Véase también

• Transformada de Hilbert
• Núcleo de Poisson
• Potencial de Riesz

Referencias

1. Estrictamente hablando, la definición ( 1 ) puede tener sentido únicamente para la función de Schwartz f . La acotación en un subespacio denso de L ² implica que cada transformada de Riesz admite una extensión lineal continua a todo L ² .

• Gilbarg, D.; Trudinger, Neil (1983), Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden , Nueva York: Springer, ISBN 3-540-41160-7.
• Stein, Elias (1970), Integrales singulares y propiedades de diferenciabilidad de funciones , Princeton University Press.
• Stein, Elias ; Weiss, Guido (1971), Introducción al análisis de Fourier en espacios euclidianos , Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X.
• Arcozzi, N. (1998), Transformada de Riesz en esferas y grupos de Lie compactos , Nueva York: Springer, doi : 10.1007/BF02384766 , ISSN  0004-2080, S2CID  119919955.