Relaciones Kramers-Kronig

Tipo de relación matemática

Las relaciones de Kramers-Kronig , a veces abreviadas como relaciones KK , son relaciones matemáticas bidireccionales que conectan las partes real e imaginaria de cualquier función compleja que sea analítica en el semiplano superior . Las relaciones se utilizan a menudo para calcular la parte real a partir de la parte imaginaria (o viceversa) de las funciones de respuesta en sistemas físicos , porque para los sistemas estables, la causalidad implica la condición de analiticidad y, a la inversa, la analiticidad implica la causalidad del sistema físico estable correspondiente. ^[1] La relación recibe su nombre en honor a Ralph Kronig y Hans Kramers . ^{[2] [3]} En matemáticas , estas relaciones se conocen con los nombres de teorema de Sokhotski-Plemelj y transformada de Hilbert .

Formulación

Ilustración de una de las relaciones de Kramers-Kronig, que determina la parte real de la susceptibilidad dada la parte imaginaria.

Sea una función compleja de la variable compleja , donde y son reales . Supongamos que esta función es analítica en el semiplano superior cerrado de y tiende a como . Las relaciones de Kramers-Kronig están dadas por y donde es real y donde denota el valor principal de Cauchy . Las partes real e imaginaria de dicha función no son independientes, lo que permite reconstruir la función completa dada solo una de sus partes. ${\displaystyle \chi (\omega )=\chi _{1}(\omega )+i\chi _{2}(\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \chi _{1}(\omega )}$ ${\displaystyle \chi _{2}(\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle |\omega |\to \infty }$ $${\displaystyle \chi _{1}(\omega )={\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\chi _{2}(\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '}$$ $${\displaystyle \chi _{2}(\omega )=-{\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\chi _{1}(\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega ',}$$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Derivación

Contorno integral para derivar relaciones de Kramers-Kronig

La prueba comienza con una aplicación del teorema de residuo de Cauchy para la integración compleja. Dada cualquier función analítica en el semiplano superior cerrado, la función , donde es real, es analítica en el semiplano superior (abierto). El teorema de residuo establece, en consecuencia, que para cualquier contorno cerrado dentro de esta región. Cuando se elige el contorno para trazar el eje real, una joroba sobre el polo en , y un gran semicírculo en el semiplano superior. Esto sigue a la descomposición de la integral en sus contribuciones a lo largo de cada uno de estos tres segmentos de contorno y los pasa a límites. La longitud del segmento semicircular aumenta proporcionalmente a , pero la integral sobre él se desvanece en el límite porque se desvanece más rápido que . Nos quedan los segmentos a lo largo del eje real y el semicírculo alrededor del polo. Pasamos el tamaño del semicírculo a cero y obtenemos ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \omega '\mapsto \chi (\omega ')/(\omega '-\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$ $${\displaystyle \oint {\frac {\chi (\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '=0}$$ ${\displaystyle \omega '=\omega }$ ${\displaystyle |\omega '|}$ ${\displaystyle {\frac {\chi (\omega ')}{\omega '-\omega }}}$ ${\displaystyle 1/|\omega '|}$ $${\displaystyle 0=\oint {\frac {\chi (\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '={\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\chi (\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '-i\pi \chi (\omega ).}$$

El segundo término de la última expresión se obtiene utilizando la teoría de residuos, ^[4] más específicamente, el teorema de Sokhotski-Plemelj . Reordenando, llegamos a la forma compacta de las relaciones de Kramers-Kronig: $${\displaystyle \chi (\omega )={\frac {1}{i\pi }}{\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\chi (\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '.}$$

El único en el denominador efectúa la conexión entre los componentes real e imaginario. Finalmente, descomponemos la ecuación en sus partes real e imaginaria para obtener las formas citadas anteriormente. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \chi (\omega )}$

Interpretación física y forma alternativa

El formalismo de Kramers-Kronig se puede aplicar a funciones de respuesta . En ciertos sistemas físicos lineales, o en campos de ingeniería como el procesamiento de señales , la función de respuesta describe cómo alguna propiedad dependiente del tiempo de un sistema físico responde a una fuerza de impulso en el tiempo. Por ejemplo, podría ser el ángulo de un péndulo y la fuerza aplicada de un motor que impulsa el movimiento del péndulo. La respuesta debe ser cero porque un sistema no puede responder a una fuerza antes de que se aplique. Se puede demostrar (por ejemplo, invocando el teorema de Titchmarsh ) que esta condición de causalidad implica que la transformada de Fourier de es analítica en el semiplano superior. ^[5] Además, si el sistema está sujeto a una fuerza oscilatoria con una frecuencia mucho mayor que su frecuencia de resonancia más alta, casi no habrá tiempo para que el sistema responda antes de que la fuerza haya cambiado de dirección, por lo que la respuesta de frecuencia convergerá a cero cuando se vuelva muy grande. A partir de estas consideraciones físicas, resulta que normalmente satisfará las condiciones necesarias para las relaciones de Kramers-Kronig. ${\displaystyle \chi (t-t')}$ ${\displaystyle P(t)}$ ${\displaystyle F(t')}$ ${\displaystyle t'.}$ ${\displaystyle P(t)}$ ${\displaystyle F(t)}$ ${\displaystyle \chi (t-t')}$ ${\displaystyle t<t'}$ ${\displaystyle \chi (\omega )}$ ${\displaystyle \chi (t)}$ ${\displaystyle \chi (\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \chi (\omega )}$

La parte imaginaria de una función de respuesta describe cómo un sistema disipa energía , ya que está en fase con la fuerza impulsora . ^{[ cita requerida ]} Las relaciones de Kramers-Kronig implican que observar la respuesta disipativa de un sistema es suficiente para determinar su respuesta desfasada (reactiva), y viceversa.

Las integrales van de a , lo que implica que conocemos la respuesta a frecuencias negativas. Afortunadamente, en la mayoría de los sistemas físicos, la respuesta de frecuencia positiva determina la respuesta de frecuencia negativa porque es la transformada de Fourier de una respuesta de valor real . Haremos esta suposición de ahora en adelante. ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \chi (\omega )}$ ${\displaystyle \chi (t)}$

En consecuencia, . Esto significa que es una función par de la frecuencia y es impar . ${\displaystyle \chi (-\omega )=\chi ^{*}(\omega )}$ ${\displaystyle \chi _{1}(\omega )}$ ${\displaystyle \chi _{2}(\omega )}$

Usando estas propiedades, podemos reducir los rangos de integración a . Consideremos la primera relación, que da la parte real . Transformamos la integral en una de paridad definida multiplicando el numerador y el denominador del integrando por y separando: ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle \chi _{1}(\omega )}$ ${\displaystyle \omega '+\omega }$ $${\displaystyle \chi _{1}(\omega )={1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\omega '\chi _{2}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '+{\omega \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\chi _{2}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '.}$$

Como es impar, la segunda integral se desvanece y nos quedamos con ${\displaystyle \chi _{2}(\omega )}$ $${\displaystyle \chi _{1}(\omega )={2 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\int _{0}^{\infty }{\omega '\chi _{2}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '.}$$

La misma derivación para la parte imaginaria da $${\displaystyle \chi _{2}(\omega )=-{2 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\int _{0}^{\infty }{\omega \chi _{1}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '=-{2\omega \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\int _{0}^{\infty }{\chi _{1}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '.}$$

Éstas son las relaciones de Kramers-Kronig en una forma que es útil para funciones de respuesta físicamente realistas.

Prueba relacionada del dominio del tiempo

Hu ^[6] y Hall y Heck ^[7] ofrecen una prueba relacionada y posiblemente más intuitiva que evita la integración de contornos. Se basa en los siguientes hechos:

• Una respuesta al impulso causal se puede expresar como la suma de una función par y una función impar, donde la función impar es la función par multiplicada por la función de signo .
• Las partes pares e impares de una forma de onda del dominio del tiempo corresponden a las partes reales e imaginarias de su integral de Fourier, respectivamente.
• La multiplicación por la función de signo en el dominio del tiempo corresponde a la transformada de Hilbert (es decir, la convolución por el núcleo de Hilbert ) en el dominio de la frecuencia. ${\displaystyle 1/\pi \omega }$

Combinando las fórmulas proporcionadas por estos hechos se obtienen las relaciones de Kramers-Kronig. Esta demostración cubre un terreno ligeramente diferente al anterior, ya que relaciona las partes reales e imaginarias en el dominio de la frecuencia de cualquier función que sea causal en el dominio del tiempo, ofreciendo un enfoque algo diferente de la condición de analiticidad en el semiplano superior del dominio de la frecuencia.

También está disponible un artículo con una versión informal e ilustrada de esta prueba. ^[8]

Relación magnitud (ganancia)-fase

La forma convencional de Kramers-Kronig que se muestra arriba relaciona la parte real y la parte imaginaria de una función de respuesta compleja. Un objetivo relacionado es encontrar una relación entre la magnitud y la fase de una función de respuesta compleja.

En general, lamentablemente, la fase no se puede predecir de forma única a partir de la magnitud. ^[9] Un ejemplo simple de esto es un retardo de tiempo puro de tiempo T , que tiene amplitud 1 en cualquier frecuencia independientemente de T , pero tiene una fase dependiente de T (específicamente, fase = 2 π × T × frecuencia).

Sin embargo, existe una relación única de amplitud frente a fase en el caso especial de un sistema de fase mínima , ^[9] a veces llamada relación de ganancia de Bode-fase . Los términos relaciones de Bayard-Bode y teorema de Bayard-Bode , después de los trabajos de Marcel Bayard (1936) y Hendrik Wade Bode (1945), también se utilizan para las relaciones de Kramers-Kronig en general o para la relación de amplitud-fase en particular, particularmente en los campos de las telecomunicaciones y la teoría del control . ^{[10] [11]}

Aplicaciones en física

Óptica

Índice de refracción complejo

Las relaciones de Kramers-Kronig se utilizan para relacionar las porciones reales e imaginarias del índice de refracción complejo de un medio, donde es el coeficiente de extinción . ^[12] Por lo tanto, en efecto, esto también se aplica a la permitividad relativa compleja y la susceptibilidad eléctrica . ^[13] ${\displaystyle {\tilde {n}}=n+i\kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

La ecuación de Sellmeier está directamente relacionada con las relaciones de Kramer-Kronig y se utiliza para aproximar el índice de refracción real y complejo de materiales alejados de cualquier resonancia. ^{[14] [15]}

Birrefringencia circular

En la rotación óptica , las relaciones de Kramers-Kronig establecen una conexión entre la dispersión rotatoria óptica y el dicroísmo circular .

Magneto-óptica

Las relaciones de Kramers-Kronig permiten soluciones exactas de problemas de dispersión no triviales, que encuentran aplicaciones en magneto-óptica. ^[16]

Elipsometría

En elipsometría , las relaciones de Kramer-Kronig se aplican para verificar los valores medidos de las partes reales y complejas del índice de refracción de películas delgadas. ^[17]

Espectroscopia electrónica

En la espectroscopia de pérdida de energía de electrones , el análisis de Kramers-Kronig permite calcular la dependencia energética de las partes reales e imaginarias de la permitividad óptica de la luz de una muestra , junto con otras propiedades ópticas como el coeficiente de absorción y la reflectividad . ^[18]

En resumen, midiendo la cantidad de electrones de alta energía (por ejemplo, 200 keV) que pierden una cantidad dada de energía al atravesar una muestra muy delgada (aproximación de dispersión simple), se puede calcular la parte imaginaria de la permitividad a esa energía. Usando estos datos con el análisis de Kramers-Kronig, también se puede calcular la parte real de la permitividad (como función de la energía).

Esta medición se realiza con electrones, en lugar de con luz, y puede realizarse con una resolución espacial muy alta. De este modo, se podrían buscar, por ejemplo, bandas de absorción ultravioleta (UV) en una muestra de laboratorio de polvo interestelar de menos de 100 nm de diámetro, es decir, demasiado pequeñas para la espectroscopia UV. Aunque la espectroscopia electrónica tiene una resolución energética más pobre que la espectroscopia de luz, los datos sobre las propiedades en los rangos espectrales visible, ultravioleta y de rayos X suaves se pueden registrar en el mismo experimento.

En la espectroscopia de fotoemisión resuelta en ángulo, las relaciones de Kramers-Kronig se pueden utilizar para vincular las partes reales e imaginarias de la autoenergía de los electrones . Esto es característico de las múltiples interacciones entre cuerpos que experimenta el electrón en el material. Ejemplos notables se encuentran en los superconductores de alta temperatura , donde se observan en la dispersión de banda torceduras correspondientes a la parte real de la autoenergía y también se observan cambios en el ancho de MDC correspondientes a la parte imaginaria de la autoenergía. ^[19]

Dispersión hadrónica

Las relaciones de Kramers-Kronig también se utilizan bajo el nombre de "relaciones de dispersión integral" con referencia a la dispersión hadrónica . ^[20] En este caso, la función es la amplitud de dispersión. Mediante el uso del teorema óptico, la parte imaginaria de la amplitud de dispersión se relaciona con la sección transversal total , que es una cantidad físicamente medible.

Dispersión de electrones

De manera similar a la dispersión hadrónica, las relaciones de Kramers-Kronig se emplean en la dispersión de electrones de alta energía . En particular, entran en la derivación de la regla de suma de Gerasimov-Drell-Hearn . ^[21]

Geofísica

Para la propagación de ondas sísmicas, la relación de Kramer-Kronig ayuda a encontrar la forma correcta del factor de calidad en un medio atenuante. ^[22]

Espectroscopia de impedancia electroquímica

La prueba de Kramers-Kronig se utiliza en aplicaciones de baterías y pilas de combustible ( espectroscopia dieléctrica ) para comprobar la linealidad , la causalidad y la estacionariedad . Dado que en la práctica no es posible obtener datos en todo el rango de frecuencias, como exige la fórmula de Kramers-Kronig, es necesario realizar aproximaciones.

A frecuencias altas (> 1 MHz) generalmente es seguro asumir que la impedancia está dominada por la resistencia óhmica del electrolito, aunque a menudo se observan artefactos de inductancia .

A bajas frecuencias, la prueba KK puede utilizarse para verificar si los datos experimentales son fiables. En la práctica con baterías, los datos obtenidos con experimentos de duración inferior a un minuto suelen no superar la prueba para frecuencias inferiores a 10 Hz. Por lo tanto, se debe tener cuidado al interpretar dichos datos. ^[23]

En la práctica de la electroquímica, debido al rango finito de frecuencias de los datos experimentales, se utiliza la relación Z-HIT en lugar de las relaciones de Kramers-Kronig. A diferencia de la relación Kramers-Kronig (que está escrita para un rango de frecuencias infinito), la integración Z-HIT requiere solo un rango de frecuencias finito. Además, la relación Z-HIT es más robusta con respecto al error en Re e Im de la impedancia, ya que su precisión depende principalmente de la precisión de los datos de fase.

Véase también

• Dispersión (óptica)
• Función de respuesta lineal
• Continuación del análisis numérico

Referencias

Citas

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Fuentes

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