Teorema del residuo

Concepto de análisis complejo

En el análisis complejo , el teorema del residuo , a veces llamado teorema del residuo de Cauchy , es una herramienta poderosa para evaluar integrales de línea de funciones analíticas sobre curvas cerradas; a menudo se puede utilizar también para calcular integrales reales y series infinitas . Generaliza el teorema de la integral de Cauchy y la fórmula integral de Cauchy . El teorema del residuo no debe confundirse con casos especiales del teorema de Stokes generalizado ; sin embargo, este último puede utilizarse como un ingrediente de su prueba.

Enunciado del teorema de residuos de Cauchy

La declaración es la siguiente:

Ilustración del entorno

Sea un subconjunto abierto simplemente conexo del plano complejo que contiene una lista finita de puntos y una función holomorfa en Sea una curva rectificable cerrada en y denotando el residuo de en cada punto por y el número de vueltas de alrededor por la integral de línea de alrededor es igual a veces la suma de residuos, cada uno contado tantas veces como vueltas alrededor del punto respectivo: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n},}$ ${\displaystyle U_{0}=U\smallsetminus \{a_{1},\ldots ,a_{n}\},}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U_{0}.}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle U_{0},}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle \operatorname {Res} (f,a_{k})}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle \operatorname {I} (\gamma ,a_{k}),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle 2\pi i}$ ${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).}$$

Si es una curva cerrada simple orientada positivamente , es si está en el interior de y si no, por lo tanto ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \operatorname {I} (\gamma ,a_{k})}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle 0}$

$${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (f,a_{k})}$$

con la suma sobre los de dentro ^[1] ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle \gamma .}$

La relación del teorema del residuo con el teorema de Stokes está dada por el teorema de la curva de Jordan . La curva plana general γ debe primero reducirse a un conjunto de curvas cerradas simples cuyo total es equivalente a para fines de integración; esto reduce el problema a encontrar la integral de a lo largo de una curva de Jordan con interior El requisito de que sea holomorfo en es equivalente al enunciado de que la derivada exterior en Por lo tanto, si dos regiones planares y de encierran el mismo subconjunto de las regiones y se encuentran completamente en por lo tanto ${\displaystyle \{\gamma _{i}\}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle f\,dz}$ ${\displaystyle \gamma _{i}}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U_{0}=U\smallsetminus \{a_{k}\}}$ ${\displaystyle d(f\,dz)=0}$ ${\displaystyle U_{0}.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{a_{j}\}}$ ${\displaystyle \{a_{k}\},}$ ${\displaystyle V\smallsetminus W}$ ${\displaystyle W\smallsetminus V}$ ${\displaystyle U_{0},}$

$${\displaystyle \int _{V\smallsetminus W}d(f\,dz)-\int _{W\smallsetminus V}d(f\,dz)}$$

está bien definida e igual a cero. En consecuencia, la integral de contorno de a lo largo es igual a la suma de un conjunto de integrales a lo largo de caminos, cada uno de los cuales encierra una región arbitrariamente pequeña alrededor de un único — los residuos de (hasta el factor convencional en Sumando, recuperamos la expresión final de la integral de contorno en términos de los números de sinuoso ${\displaystyle f\,dz}$ ${\displaystyle \gamma _{j}=\partial V}$ ${\displaystyle \gamma _{j},}$ ${\displaystyle a_{j}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 2\pi i}$ ${\displaystyle \{a_{j}\}.}$ ${\displaystyle \{\gamma _{j}\},}$ ${\displaystyle \{\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\}.}$

Para evaluar integrales reales, se utiliza el teorema del residuo de la siguiente manera: se extiende el integrando al plano complejo y se calculan sus residuos (lo que suele ser fácil), y se extiende una parte del eje real a una curva cerrada añadiendo un semicírculo en el semiplano superior o inferior, formando un semicírculo. La integral sobre esta curva se puede calcular entonces utilizando el teorema del residuo. A menudo, la parte del semicírculo de la integral tenderá a cero a medida que el radio del semicírculo crezca, dejando solo la parte del eje real de la integral, la que nos interesaba originalmente.

Cálculo de residuos

Supóngase que se da un disco perforado D = { z  : 0 < | z − c | < R } en el plano complejo y f es una función holomorfa definida (al menos) en D . El residuo Res( f , c ) de f en c es el coeficiente a ₋₁ de ( z − c ) ⁻¹ en la expansión en serie de Laurent de f alrededor de c . Existen varios métodos para calcular este valor, y la elección de cuál método utilizar depende de la función en cuestión y de la naturaleza de la singularidad.

Según el teorema del residuo, tenemos:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz}$

donde γ traza un círculo alrededor de c en sentido antihorario y no pasa por otras singularidades ni las contiene en su interior. Podemos elegir que la trayectoria γ sea un círculo de radio ε alrededor de c. Dado que ε puede ser tan pequeño como queramos, se puede hacer que contenga solo la singularidad de c debido a la naturaleza de las singularidades aisladas. Esto se puede utilizar para el cálculo en casos en los que la integral se puede calcular directamente, pero normalmente se utilizan residuos para simplificar el cálculo de las integrales, y no al revés.

Singularidades removibles

Si la función f puede continuar hasta una función holomorfa en todo el disco , entonces Res( f ,  c ) = 0. Lo inverso no suele ser cierto. ${\displaystyle |y-c|<R}$

Postes simples

Si c es un polo simple de f , el residuo de f viene dado por:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).}$

Si ese límite no existe, entonces f tiene una singularidad esencial en c . Si el límite es 0, entonces f es analítica en c o tiene una singularidad removible allí. Si el límite es igual a infinito, entonces el orden del polo es mayor que 1.

Es posible que la función f pueda expresarse como cociente de dos funciones, , donde g y h son funciones holomorfas en un entorno de c , con h ( c ) = 0 y  h( c ) ≠ 0. En tal caso, la regla de L'Hôpital puede utilizarse para simplificar la fórmula anterior a: ${\displaystyle f(z)={\frac {g(z)}{h(z)}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Res} (f,c)&=\lim _{z\to c}(z-c)f(z)=\lim _{z\to c}{\frac {zg(z)-cg(z)}{h(z)}}\\[4pt]&=\lim _{z\to c}{\frac {g(z)+zg'(z)-cg'(z)}{h'(z)}}={\frac {g(c)}{h'(c)}}.\end{aligned}}}$

Fórmula límite para polos de orden superior

De manera más general, si c es un polo de orden n , entonces el residuo de f alrededor de z = c se puede encontrar mediante la fórmula:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{z\to c}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left((z-c)^{n}f(z)\right).}$

Esta fórmula puede ser muy útil para determinar los residuos de polos de orden bajo. Para polos de orden superior, los cálculos pueden volverse difíciles de manejar y la expansión en serie suele ser más sencilla. Para singularidades esenciales , no existe una fórmula tan simple y los residuos generalmente deben tomarse directamente de las expansiones en serie.

Residuo en el infinito

En general, el residuo en el infinito se define como:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\operatorname {Res} \left({\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right),0\right).}$

Si se cumple la siguiente condición:

${\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=0,}$

Entonces el residuo en el infinito se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,\infty )=-\lim _{|z|\to \infty }z\cdot f(z).}$

Si en cambio

${\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=c\neq 0,}$

entonces el residuo en el infinito es

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,\infty )=\lim _{|z|\to \infty }z^{2}\cdot f'(z).}$

Para funciones meromórficas en todo el plano complejo con un número finito de singularidades, la suma de los residuos en las singularidades (necesariamente) aisladas más el residuo en el infinito es cero, lo que da:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\sum _{k}\operatorname {Res} (f(z),a_{k}).}$

Métodos de serie

Si partes o la totalidad de una función se pueden expandir en una serie de Taylor o una serie de Laurent , lo que puede ser posible si las partes o la totalidad de la función tienen una expansión en serie estándar, entonces calcular el residuo es significativamente más simple que con otros métodos. El residuo de la función simplemente se da por el coeficiente de en la expansión en serie de Laurent de la función. ${\displaystyle (z-c)^{-1}}$

Ejemplos

Una integral a lo largo del eje real

La integral $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx}$$

El contorno C.

surge en la teoría de la probabilidad al calcular la función característica de la distribución de Cauchy . Se resiste a las técnicas del cálculo elemental pero se puede evaluar expresándola como un límite de integrales de contorno .

Supóngase que t > 0 y definamos el contorno C que va a lo largo de la recta real desde − a hasta a y luego en sentido antihorario a lo largo de un semicírculo centrado en 0 desde a hasta − a . Supongamos que a es mayor que 1, de modo que la unidad imaginaria i está encerrada dentro de la curva. Ahora consideremos la integral de contorno $${\displaystyle \int _{C}{f(z)}\,dz=\int _{C}{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz.}$$

Como e ^itz es una función entera (que no tiene singularidades en ningún punto del plano complejo), esta función tiene singularidades solo donde el denominador z ² + 1 es cero. Como z ² + 1 = ( z + i )( z − i ) , eso sucede solo donde z = i o z = − i . Solo uno de esos puntos está en la región limitada por este contorno. Como f ( z ) es el residuo de f ( z ) en z = i es $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}&={\frac {e^{itz}}{2i}}\left({\frac {1}{z-i}}-{\frac {1}{z+i}}\right)\\&={\frac {e^{itz}}{2i(z-i)}}-{\frac {e^{itz}}{2i(z+i)}},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {Res} _{z=i}f(z)={\frac {e^{-t}}{2i}}.}$$

De acuerdo con el teorema del residuo, entonces, tenemos $${\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz=2\pi i\cdot \operatorname {Res} \limits _{z=i}f(z)=2\pi i{\frac {e^{-t}}{2i}}=\pi e^{-t}.}$$

El contorno C puede dividirse en una parte recta y un arco curvo, de modo que y así $${\displaystyle \int _{\mathrm {straight} }f(z)\,dz+\int _{\mathrm {arc} }f(z)\,dz=\pi e^{-t}}$$ $${\displaystyle \int _{-a}^{a}f(z)\,dz=\pi e^{-t}-\int _{\mathrm {arc} }f(z)\,dz.}$$

Utilizando algunas estimaciones , tenemos y $${\displaystyle \left|\int _{\mathrm {arc} }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz\right|\leq \pi a\cdot \sup _{\text{arc}}\left|{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\right|\leq \pi a\cdot \sup _{\text{arc}}{\frac {1}{|z^{2}+1|}}\leq {\frac {\pi a}{a^{2}-1}},}$$ $${\displaystyle \lim _{a\to \infty }{\frac {\pi a}{a^{2}-1}}=0.}$$

La estimación en el numerador se deduce de que t > 0 y, para los números complejos z a lo largo del arco (que se encuentra en el semiplano superior), el argumento φ de z se encuentra entre 0 y π . Por lo tanto, $${\displaystyle \left|e^{itz}\right|=\left|e^{it|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )}\right|=\left|e^{-t|z|\sin \varphi +it|z|\cos \varphi }\right|=e^{-t|z|\sin \varphi }\leq 1.}$$

Por lo tanto, $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz=\pi e^{-t}.}$$

Si t < 0 entonces un argumento similar con un arco C ′ que gira alrededor de − i en lugar de i muestra que

El contorno C ′ .

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz=\pi e^{t},}$$

Y finalmente tenemos $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.}$$

(Si t = 0 entonces la integral cede inmediatamente a los métodos de cálculo elemental y su valor es π .)

Evaluación de funciones zeta

El hecho de que π cot( πz ) tenga polos simples con residuo 1 en cada entero se puede utilizar para calcular la suma $${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n).}$$

Consideremos, por ejemplo, f ( z ) = z ⁻² . Sea Γ _N el rectángulo que es el límite de [− N − ⁠1/2⁠ , N + ⁠1/2⁠ ] ² con orientación positiva, con un entero N . Por la fórmula del residuo,

$${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{N}}f(z)\pi \cot(\pi z)\,dz=\operatorname {Res} \limits _{z=0}+\sum _{n=-N \atop n\neq 0}^{N}n^{-2}.}$$

El lado izquierdo tiende a cero cuando N → ∞ ya que está uniformemente acotado en el contorno, gracias al uso en el lado izquierdo y derecho del contorno, y por lo tanto el integrando tiene orden en todo el contorno. Por otro lado, ^[2] ${\displaystyle |\cot(\pi z)|}$ ${\displaystyle x=\pm \left({\frac {1}{2}}+N\right)}$ ${\displaystyle O(N^{-2})}$

$${\displaystyle {\frac {z}{2}}\cot \left({\frac {z}{2}}\right)=1-B_{2}{\frac {z^{2}}{2!}}+\cdots }$$donde el número de Bernoulli ${\displaystyle B_{2}={\frac {1}{6}}.}$

(De hecho, ⁠el/2⁠ cuna( ⁠el/2⁠ ) ​​= ⁠es/1 − e ^{− iz}⁠ − ⁠es/2⁠ .) Por lo tanto, el residuo Res _{z =0} es − ⁠π2^​/3Concluimos :

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$lo cual es una prueba del problema de Basilea .

El mismo argumento funciona para todos donde es un entero positivo, lo que nos da El truco no funciona cuando , ya que en este caso, el residuo en cero se desvanece y obtenemos la identidad inútil . ${\displaystyle f(x)=x^{-2n}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \zeta (2n)={\frac {(-1)^{n+1}B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}.}$$ ${\displaystyle f(x)=x^{-2n-1}}$ ${\displaystyle 0+\zeta (2n+1)-\zeta (2n+1)=0}$

Evaluación de la serie de Eisenstein

El mismo truco se puede utilizar para establecer la suma de la serie de Eisenstein : $${\displaystyle \pi \cot(\pi z)=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}(z-n)^{-1}.}$$

Prueba

Elija un valor arbitrario . Como se indicó anteriormente, defina ${\displaystyle w\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} }$

$${\displaystyle g(z):={\frac {1}{w-z}}\pi \cot(\pi z)}$$

Por el teorema del residuo de Cauchy, para todo lo suficientemente grande tal que rodea a , ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Gamma _{N}}$ ${\displaystyle w}$

$${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma _{N}}g(z)dz=-\pi \cot(\pi z)+\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{z-n}}}$$

Queda por demostrar que la integral converge a cero. Como es una función par y es simétrica respecto del origen, tenemos , y por lo tanto ${\displaystyle \pi \cot(\pi z)/z}$ ${\displaystyle \Gamma _{N}}$ ${\displaystyle \oint _{\Gamma _{N}}\pi \cot(\pi z)/zdz=0}$

$${\displaystyle \oint _{\Gamma _{N}}g(z)dz=\oint _{\Gamma _{N}}\left({\frac {1}{z}}+{\frac {1}{w-z}}\right)\pi \cot(\pi z)dz=-w\oint _{\Gamma _{N}}{\frac {1}{z(z-w)}}\pi \cot(\pi z)dz=O(1/N)}$$

Véase también

• Residuo (análisis complejo)
• Fórmula integral de Cauchy
• Teorema maestro de Glasser
• El lema de Jordan
• Métodos de integración de contornos
• Teorema de Morera
• Teorema de Nachbin
• Residuo en el infinito
• Forma logarítmica

Notas

1. Whittaker y Watson 1920, pág. 112, §6.1.
2. Whittaker & Watson 1920, p. 125, §7.2. Nótese que el número de Bernoulli se denota por en el libro de Whittaker & Watson. ${\displaystyle B_{2n}}$ ${\displaystyle B_{n}}$

Referencias

• Ahlfors, Lars (1979). Análisis complejo . McGraw Hill. ISBN 0-07-085008-9.
• Lindelöf, Ernst L. (1905). Le calcul des résidus et ses apps à la théorie des fonctions (en francés). Ediciones Jacques Gabay (publicado en 1989). ISBN 2-87647-060-8.
• Mitrinović, Dragoslav; Kečkić, Jovan (1984). El método de Cauchy de residuos: teoría y aplicaciones . D. Reidel Publishing Company. ISBN 90-277-1623-4.
• Whittaker, ET ; Watson, GN (1920). Un curso de análisis moderno (3.ª ed.). Cambridge University Press.

Enlaces externos

• "Teorema integral de Cauchy", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Teorema del residuo en MathWorld