Resumen de Cesáro

Método de suma modificado aplicable a algunas series divergentes

En análisis matemático , la suma de Cesàro (también conocida como media de Cesàro ^{[1] [2]} o límite de Cesàro ^[3] ) asigna valores a algunas sumas infinitas que no son necesariamente convergentes en el sentido habitual. La suma de Cesàro se define como el límite, cuando n tiende a infinito, de la secuencia de medias aritméticas de las primeras n sumas parciales de la serie.

Este caso especial de un método de sumabilidad de matrices recibe el nombre del analista italiano Ernesto Cesàro (1859-1906).

El término sumatoria puede ser engañoso, ya que algunas afirmaciones y pruebas sobre la sumatoria de Cesáro pueden implicar la estafa de Eilenberg-Mazur . Por ejemplo, se aplica comúnmente a la serie de Grandi con la conclusión de que la suma de esa serie es 1/2.

Definición

Sea una secuencia , y sea ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}$

${\displaystyle s_{k}=a_{1}+\cdots +a_{k}=\sum _{n=1}^{k}a_{n}}$

sea ​​su k- ésima suma parcial .

La sucesión ( a _n ) se llama Cesàro sumable , con Cesàro suma A ∈ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , si, cuando n tiende a infinito, la media aritmética de sus primeras n sumas parciales s ₁ , s ₂ , ..., s _n tiende a A :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}s_{k}=A.}$

El valor del límite resultante se llama suma de Cesàro de la serie. Si esta serie es convergente, entonces es sumable de Cesàro y su suma de Cesàro es la suma usual. ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$

Ejemplos

Primer ejemplo

Sea a _n = (−1) ⁿ para n ≥ 0. Es decir, es la secuencia ${\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}$

${\displaystyle (1,-1,1,-1,\ldots ).}$

Sea G la serie

${\displaystyle G=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=1-1+1-1+1-\cdots }$

La serie G se conoce como la serie de Grandi .

Sea la secuencia de sumas parciales de G : ${\displaystyle (s_{k})_{k=0}^{\infty }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{k}&=\sum _{n=0}^{k}a_{n}\\(s_{k})&=(1,0,1,0,\ldots ).\end{aligned}}}$

Esta sucesión de sumas parciales no converge, por lo que la serie G es divergente. Sin embargo, G es sumable en Cesáreo. Sea la sucesión de medias aritméticas de las primeras n sumas parciales: ${\displaystyle (t_{n})_{n=1}^{\infty }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}t_{n}&={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}\\(t_{n})&=\left({\frac {1}{1}},{\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {2}{4}},{\frac {3}{5}},{\frac {3}{6}},{\frac {4}{7}},{\frac {4}{8}},\ldots \right).\end{aligned}}}$

Entonces

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }t_{n}=1/2,}$

y por lo tanto, la suma de Cesàro de la serie G es 1/2 .

Segundo ejemplo

Como otro ejemplo, sea n ₌ n para n ≥ 1. Es decir, ¿es la secuencia? ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}$

${\displaystyle (1,2,3,4,\ldots ).}$

Sea G ahora la serie

${\displaystyle G=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=1+2+3+4+\cdots }$

Entonces la secuencia de sumas parciales es ${\displaystyle (s_{k})_{k=1}^{\infty }}$

${\displaystyle (1,3,6,10,\ldots ).}$

Como la sucesión de sumas parciales crece sin límite, la serie G diverge hasta el infinito. La sucesión ( t _n ) de medias de sumas parciales de G es

${\displaystyle \left({\frac {1}{1}},{\frac {4}{2}},{\frac {10}{3}},{\frac {20}{4}},\ldots \right).}$

Esta sucesión también diverge hasta el infinito, por lo que G no es sumable según el método de Cesàro. De hecho, para la serie de cualquier sucesión que diverge hasta el infinito (positivo o negativo), el método de Cesàro también conduce a la serie de una sucesión que diverge de la misma manera, y por lo tanto, dicha serie no es sumable según el método de Cesàro.

(C, α )suma

En 1890, Ernesto Cesàro planteó una familia más amplia de métodos de suma que desde entonces se han denominado (C, α ) para números enteros no negativos α . El método (C, 0) es simplemente una suma ordinaria, y (C, 1) es la suma de Cesàro descrita anteriormente.

Los métodos de orden superior se pueden describir de la siguiente manera: dada una serie Σ a _n , definir las cantidades

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}^{-1}&=a_{n}\\A_{n}^{\alpha }&=\sum _{k=0}^{n}A_{k}^{\alpha -1}\end{aligned}}}$

(donde los índices superiores no denotan exponentes) y definen E^alfa
_nSer un^alfa
_npara la serie 1 + 0 + 0 + 0 + ... . Entonces la suma (C, α ) de Σ a _n se denota por (C, α )-Σ a _n y tiene el valor

${\displaystyle (\mathrm {C} ,\alpha ){\text{-}}\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}=\lim _{n\to \infty }{\frac {A_{n}^{\alpha }}{E_{n}^{\alpha }}}}$

si existe (Shawyer y Watson 1994, págs. 16-17). Esta descripción representa una aplicación iterada α veces del método de suma inicial y puede reformularse como

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathrm {C} ,\alpha ){\text{-}}\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}&=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=0}^{n}{\frac {\binom {n}{j}}{\binom {n+\alpha }{j}}}a_{j}\\&=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=0}^{n}{\frac {\left(n-j+1\right)_{\alpha }}{\left(n+1\right)_{\alpha }}}a_{j}{\text{.}}\end{aligned}}}$

De manera aún más general, para α ∈ \ ⁻ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ , sea A^alfa
_nestar implícitamente dado por los coeficientes de la serie

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }A_{n}^{\alpha }x^{n}={\frac {\displaystyle {\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}}{(1-x)^{1+\alpha }}},}$

y E^alfa
_ncomo se indica más arriba. En particular, E^alfa
_nson los coeficientes binomiales de potencia −1 − α . Entonces la suma (C, α ) de Σ a _n se define como se indica anteriormente.

Si Σ a _n tiene una suma (C, α ) , entonces también tiene una suma (C, β ) para cada β > α , y las sumas concuerdan; además tenemos a _n = o ( n ^α ) si α > −1 (ver notación o pequeña ).

Cesàro sumabilidad de una integral

Sea α ≥ 0. La integral es (C, α ) sumable si ${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx}$

${\displaystyle \lim _{\lambda \to \infty }\int _{0}^{\lambda }\left(1-{\frac {x}{\lambda }}\right)^{\alpha }f(x)\,dx}$

existe y es finito (Titchmarsh 1948, §1.15). El valor de este límite, en caso de existir, es la suma (C, α ) de la integral. Análogamente al caso de la suma de una serie, si α = 0 , el resultado es la convergencia de la integral impropia . En el caso α = 1 , la convergencia (C, 1) es equivalente a la existencia del límite

${\displaystyle \lim _{\lambda \to \infty }{\frac {1}{\lambda }}\int _{0}^{\lambda }\int _{0}^{x}f(y)\,dy\,dx}$

que es el límite de medias de las integrales parciales.

Como es el caso de las series, si una integral es (C, α ) sumable para algún valor de α ≥ 0 , entonces también es (C, β ) sumable para todo β > α , y el valor del límite resultante es el mismo.

Véase también

• Suma de Abel
• Fórmula de suma de Abel
• Fórmula de Abel-Plana
• Teoremas abeliano y tauberio
• Secuencia casi convergente
• Suma de Borel
• Serie divergente
• Suma de Euler
• Suma de Euler-Boole
• Teorema de Fejér
• Suma de Hölder
• Suma de Lambert
• La fórmula de Perron
• Resumen de Ramanujan
• Riesz significa
• Teorema de Silverman-Toeplitz
• Teorema de Stolz-Cesàro
• Teorema del límite de Cauchy
• Suma por partes

Referencias

1. Hardy, GH (1992). Serie Divergente . Providence: Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-2649-2.
2. Katznelson, Yitzhak (1976). Introducción al análisis armónico . Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-63331-2.
3. Henk C. Tijms (2003). Un primer curso sobre modelos estocásticos. John Wiley & Sons. pág. 439. ISBN 978-0-471-49880-3.

Bibliografía

• Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Métodos de sumabilidad de Borel: teoría y aplicaciones , Oxford University Press, ISBN 0-19-853585-6
• Titchmarsh, EC (1948), Introducción a la teoría de las integrales de Fourier (2.ª ed.), Nueva York, NY: Chelsea Publishing. Reimpreso en 1986 con ISBN 978-0-8284-0324-5 . 
• Volkov, II (2001) [1994], "Métodos de suma de Cesàro", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Zygmund, Antoni (1988) [1968], Series trigonométricas (2.ª ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-35885-9