Prueba de raíz

Criterio de convergencia de una serie infinita

En matemáticas , la prueba de la raíz es un criterio para la convergencia (una prueba de convergencia ) de una serie infinita . Depende de la cantidad

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

donde están los términos de la serie, y establece que la serie converge absolutamente si esta cantidad es menor que uno, pero diverge si es mayor que uno. Es particularmente útil en relación con las series de potencias . ${\displaystyle a_{n}}$

Explicación de la prueba de raíz

Diagrama de decisión para la prueba de raíz

La prueba de la raíz fue desarrollada por primera vez por Augustin-Louis Cauchy , quien la publicó en su libro de texto Cours d'analyse (1821). ^[1] Por lo tanto, a veces se la conoce como prueba de la raíz de Cauchy o prueba radical de Cauchy . Para una serie

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

La prueba de raíz utiliza el número

${\displaystyle C=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

donde "lim sup" denota el límite superior , posiblemente +∞. Nótese que si

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

converge, entonces es igual a C y puede usarse en la prueba de raíz.

La prueba raíz establece que:

• si C < 1 entonces la serie converge absolutamente ,
• si C > 1 entonces la serie diverge ,
• Si C = 1 y el límite se aproxima estrictamente desde arriba, entonces la serie diverge,
• de lo contrario la prueba no es concluyente (la serie puede divergir, converger absolutamente o converger condicionalmente ).

Hay algunas series para las cuales C = 1 y la serie converge, por ejemplo , y hay otras para las cuales C = 1 y la serie diverge, por ejemplo . ${\displaystyle \textstyle \sum 1/{n^{2}}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum 1/n}$

Aplicación a series de potencias

Esta prueba se puede utilizar con una serie de potencias.

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-p)^{n}}$

donde los coeficientes c _n y el centro p son números complejos y el argumento z es una variable compleja.

Los términos de esta serie vendrían dados por a _n = c _n ( z − p ) ⁿ . A continuación, se aplica la prueba de la raíz a a n _como se indicó anteriormente. Nótese que a veces una serie como esta se denomina serie de potencias "alrededor de p ", porque el radio de convergencia es el radio R del intervalo o disco más grande centrado en p tal que la serie convergerá para todos los puntos z estrictamente en el interior (la convergencia en el límite del intervalo o disco generalmente debe comprobarse por separado).

Un corolario de la prueba de la raíz aplicada a una serie de potencias es el teorema de Cauchy-Hadamard : el radio de convergencia es exactamente el que garantiza que realmente queremos decir ∞ si el denominador es 0. ${\displaystyle 1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}},}$

Prueba

La prueba de la convergencia de una serie Σ a _n es una aplicación de la prueba de comparación .

Si para todo n ≥ N ( N algún número natural fijo ) tenemos , entonces . Como la serie geométrica converge, también lo hace según la prueba de comparación. Por lo tanto, Σ a _n converge de manera absoluta. ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\leq k<1}$ ${\displaystyle |a_{n}|\leq k^{n}<1}$ ${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }k^{n}}$ ${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }|a_{n}|}$

Si para un número infinito de n , entonces a _n no converge a 0, por lo tanto la serie es divergente. ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}>1}$

Demostración del corolario : Para una serie de potencias Σ a _n = Σ c _n ( z  −  p ) ⁿ , vemos por lo anterior que la serie converge si existe una N tal que para todo n ≥ N tenemos

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}={\sqrt[{n}]{|c_{n}(z-p)^{n}|}}<1,}$

equivalente a

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}\cdot |z-p|<1}$

para todo n ≥ N , lo que implica que para que la serie converja debemos tener para todo n suficientemente grande . Esto es equivalente a decir ${\displaystyle |z-p|<1/{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}}$

${\displaystyle |z-p|<1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}},}$

Así que ahora el único otro lugar donde la convergencia es posible es cuando ${\displaystyle R\leq 1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}.}$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}={\sqrt[{n}]{|c_{n}(z-p)^{n}|}}=1,}$

(ya que los puntos > 1 divergirán) y esto no cambiará el radio de convergencia ya que estos son solo los puntos que se encuentran en el límite del intervalo o disco, por lo que

${\displaystyle R=1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}.}$

Ejemplos

Ejemplo 1:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {2^{i}}{i^{9}}}}$

Aplicando la prueba de la raíz y utilizando el hecho de que ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }n^{1/n}=1,}$

${\displaystyle C=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\left|{\frac {2^{n}}{n^{9}}}\right|}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt[{n}]{2^{n}}}{\sqrt[{n}]{n^{9}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {2}{(n^{1/n})^{9}}}=2}$

Dado que la serie diverge. ^[2] ${\displaystyle C=2>1,}$

Ejemplo 2:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{\lfloor n/2\rfloor }}}=1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+\ldots }$

La prueba de raíz muestra convergencia porque

${\displaystyle r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{2n}]{|a_{2n}|}}=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{2n}]{|1/2^{n}|}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}<1.}$

Este ejemplo muestra cómo la prueba de la raíz es más sólida que la prueba de la razón . La prueba de la razón no es concluyente para esta serie, ya que si es par, mientras que si es impar, , por lo tanto, el límite no existe. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{n+1}/a_{n}=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{n+1}/a_{n}=1/2}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|a_{n+1}/a_{n}|}$

Jerarquía de pruebas de raíz

La jerarquía de pruebas de raíz ^{[3] [4]} se construye de manera similar a la jerarquía de pruebas de razón (ver Sección 4.1 de prueba de razón , y más específicamente la Subsección 4.1.4 allí).

Para una serie con términos positivos tenemos las siguientes pruebas de convergencia/divergencia. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

Sea un número entero, y sea el iterador número uno del logaritmo natural , es decir, y para cualquier , . ${\displaystyle K\geq 1}$ ${\displaystyle \ln _{(K)}(x)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \ln _{(1)}(x)=\ln(x)}$ ${\displaystyle 2\leq k\leq K}$ ${\displaystyle \ln _{(k)}(x)=\ln _{(k-1)}(\ln(x))}$

Supongamos que , cuando es grande, se puede presentar en la forma ${\displaystyle {\sqrt[{-n}]{a_{n}}}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\sqrt[{-n}]{a_{n}}}=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}+{\frac {\rho _{n}}{n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}}.}$

(Se supone que la suma vacía es 0).

• La serie converge, si ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\rho _{n}>1}$
• La serie diverge, si ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\rho _{n}<1}$
• De lo contrario, la prueba no es concluyente.

Prueba

Desde entonces tenemos ${\displaystyle {\sqrt[{-n}]{a_{n}}}=\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{n}}\ln a_{n}}}$

${\displaystyle \mathrm {e} ^{-{\frac {1}{n}}\ln a_{n}}=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}+{\frac {\rho _{n}}{n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}}.}$

De esto,

${\displaystyle \ln a_{n}=-n\ln \left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}+{\frac {\rho _{n}}{n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}}\right).}$

De la expansión de Taylor aplicada al lado derecho, obtenemos:

${\displaystyle \ln a_{n}=-1-\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}-{\frac {\rho _{n}}{\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}}+O\left({\frac {1}{n}}\right).}$

Por eso,

${\displaystyle a_{n}={\begin{cases}\mathrm {e} ^{-1+O(1/n)}{\frac {1}{(n\prod _{k=1}^{K-2}\ln _{(k)}n)\ln _{(K-1)}^{\rho _{n}}n}},&K\geq 2,\\\mathrm {e} ^{-1+O(1/n)}{\frac {1}{n^{\rho _{n}}}},&K=1.\end{cases}}}$

(El producto vacío se establece en 1.)

El resultado final se desprende de la prueba integral de convergencia .

Véase también

• Prueba de proporción
• Serie convergente

Referencias

1. Bottazzini, Umberto (1986), El cálculo superior: una historia del análisis real y complejo desde Euler hasta Weierstrass, Springer-Verlag, págs. 116-117, ISBN 978-0-387-96302-0Traducido del italiano por Warren Van Egmond.
2. Briggs, William; Cochrane, Lyle (2011). Cálculo: trascendentales tempranos . Addison Wesley. pág. 571.
3. Abramov, Vyacheslav M. (2022). "Condiciones necesarias y suficientes para la convergencia de series positivas" (PDF) . Revista de análisis clásico . 19 (2): 117--125. arXiv : 2104.01702 . doi :10.7153/jca-2022-19-09.
4. Bourchtein, Ludmila; Bourchtein, Andrei; Nornberg, Gabrielle; Venzke, Cristiane (2012). "Una jerarquía de pruebas de convergencia relacionadas con la prueba de Cauchy" (PDF) . Revista Internacional de Análisis Matemático . 6 (37--40): 1847--1869.

• Knopp, Konrad (1956). "§ 3.2". Sucesiones y series infinitas . Dover publications, Inc., Nueva York. ISBN 0-486-60153-6.
• Whittaker, ET y Watson, GN (1963). "§ 2.35". Un curso de análisis moderno (cuarta edición). Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3.

Este artículo incorpora material de la prueba de la raíz de Cauchy en PlanetMath , que se encuentra bajo la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .