Filtro coincidente

Filtros utilizados en el procesamiento de señales que son óptimos en algún sentido.

En el procesamiento de señales , la salida del filtro adaptado se obtiene correlacionando una señal retardada conocida , o plantilla , con una señal desconocida para detectar la presencia de la plantilla en la señal desconocida. ^{[1] [2]} Esto equivale a convolucionar la señal desconocida con una versión conjugada de la plantilla en tiempo inverso. El filtro adaptado es el filtro lineal óptimo para maximizar la relación señal-ruido (SNR) en presencia de ruido estocástico aditivo .

Los filtros adaptados se utilizan comúnmente en radar , en los que se envía una señal conocida y la señal reflejada se examina en busca de elementos comunes de la señal saliente. La compresión de pulsos es un ejemplo de filtrado coincidente. Se llama así porque la respuesta al impulso se adapta a las señales de impulso de entrada. Los filtros adaptados bidimensionales se utilizan comúnmente en el procesamiento de imágenes , por ejemplo, para mejorar la SNR de las observaciones de rayos X.

El filtrado adaptado es una técnica de demodulación con filtros LTI (invariante de tiempo lineal) para maximizar la SNR. ^[3] Originalmente también se conocía como filtro Norte . ^[4]

Derivación

Derivación mediante álgebra matricial

La siguiente sección deriva el filtro coincidente para un sistema de tiempo discreto . La derivación para un sistema de tiempo continuo es similar, con sumas reemplazadas por integrales.

El filtro adaptado es el filtro lineal, que maximiza la relación señal-ruido de salida . ${\displaystyle h}$

${\displaystyle \ y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h[n-k]x[k],}$

donde es la entrada en función de la variable independiente y es la salida filtrada. Aunque la mayoría de las veces expresamos los filtros como la respuesta al impulso de los sistemas convolucionales, como se indicó anteriormente (consulte la teoría del sistema LTI ), es más fácil pensar en el filtro coincidente en el contexto del producto interno , que veremos en breve. ${\displaystyle x[k]}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle y[n]}$

Podemos derivar el filtro lineal que maximiza la relación señal-ruido de salida invocando un argumento geométrico. La intuición detrás del filtro adaptado se basa en correlacionar la señal recibida (un vector) con un filtro (otro vector) que es paralelo a la señal, maximizando el producto interno. Esto mejora la señal. Cuando consideramos el ruido estocástico aditivo, tenemos el desafío adicional de minimizar la salida debida al ruido eligiendo un filtro que sea ortogonal al ruido.

Definamos formalmente el problema. Buscamos un filtro, tal que maximicemos la relación señal-ruido de salida, donde la salida es el producto interno del filtro y la señal observada . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle x}$

Nuestra señal observada consta de la señal deseable y el ruido aditivo : ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle \ x=s+v.\,}$

Definamos la matriz de autocorrelación del ruido, recordando que esta matriz tiene simetría hermitiana , propiedad que será útil en la derivación:

${\displaystyle \ R_{v}=E\{vv^{\mathrm {H} }\}\,}$

donde denota la transpuesta conjugada de y denota expectativa (tenga en cuenta que en caso de que el ruido tenga media cero, su matriz de autocorrelación es igual a su matriz de covarianza ). ${\displaystyle v^{\mathrm {H} }}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle R_{v}}$

Llamemos a nuestra salida, , el producto interno de nuestro filtro y la señal observada tal que ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \ y=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h^{*}[k]x[k]=h^{\mathrm {H} }x=h^{\mathrm {H} }s+h^{\mathrm {H} }v=y_{s}+y_{v}.}$

Ahora definimos la relación señal-ruido, que es nuestra función objetivo, como la relación entre la potencia de salida debida a la señal deseada y la potencia de salida debida al ruido:

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {|y_{s}|^{2}}{E\{|y_{v}|^{2}\}}}.}$

Reescribimos lo anterior:

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {|h^{\mathrm {H} }s|^{2}}{E\{|h^{\mathrm {H} }v|^{2}\}}}.}$

Deseamos maximizar esta cantidad eligiendo . Ampliando el denominador de nuestra función objetivo, tenemos ${\displaystyle h}$

${\displaystyle \ E\{|h^{\mathrm {H} }v|^{2}\}=E\{(h^{\mathrm {H} }v){(h^{\mathrm {H} }v)}^{\mathrm {H} }\}=h^{\mathrm {H} }E\{vv^{\mathrm {H} }\}h=h^{\mathrm {H} }R_{v}h.\,}$

Ahora, nuestro se convierte ${\displaystyle \mathrm {SNR} }$

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {|h^{\mathrm {H} }s|^{2}}{h^{\mathrm {H} }R_{v}h}}.}$

Reescribiremos esta expresión con alguna manipulación matricial. El motivo de esta medida aparentemente contraproducente se hará evidente en breve. Explotando la simetría hermitiana de la matriz de autocorrelación , podemos escribir ${\displaystyle R_{v}}$

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {|{(R_{v}^{1/2}h)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{-1/2}s)|^{2}}{{(R_{v}^{1/2}h)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{1/2}h)}},}$

Nos gustaría encontrar un límite superior para esta expresión. Para hacerlo, primero reconocemos una forma de desigualdad de Cauchy-Schwarz :

${\displaystyle \ |a^{\mathrm {H} }b|^{2}\leq (a^{\mathrm {H} }a)(b^{\mathrm {H} }b),\,}$

es decir, el cuadrado del producto interno de dos vectores sólo puede ser tan grande como el producto de los productos internos individuales de los vectores. Este concepto vuelve a la intuición detrás del filtro coincidente: este límite superior se logra cuando los dos vectores y son paralelos. Reanudamos nuestra derivación expresando el límite superior de nuestra a la luz de la desigualdad geométrica anterior: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathrm {SNR} }$

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {|{(R_{v}^{1/2}h)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{-1/2}s)|^{2}}{{(R_{v}^{1/2}h)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{1/2}h)}}\leq {\frac {\left[{(R_{v}^{1/2}h)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{1/2}h)\right]\left[{(R_{v}^{-1/2}s)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{-1/2}s)\right]}{{(R_{v}^{1/2}h)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{1/2}h)}}.}$

Nuestra valiente manipulación de la matriz ahora ha dado sus frutos. Vemos que la expresión de nuestro límite superior se puede simplificar enormemente:

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {|{(R_{v}^{1/2}h)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{-1/2}s)|^{2}}{{(R_{v}^{1/2}h)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{1/2}h)}}\leq s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s.}$

Podemos alcanzar este límite superior si elegimos,

${\displaystyle \ R_{v}^{1/2}h=\alpha R_{v}^{-1/2}s}$

donde es un número real arbitrario. Para verificar esto, conectamos nuestra expresión para la salida : ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mathrm {SNR} }$

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {|{(R_{v}^{1/2}h)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{-1/2}s)|^{2}}{{(R_{v}^{1/2}h)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{1/2}h)}}={\frac {\alpha ^{2}|{(R_{v}^{-1/2}s)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{-1/2}s)|^{2}}{\alpha ^{2}{(R_{v}^{-1/2}s)}^{\mathrm {H} }(R_{v}^{-1/2}s)}}={\frac {|s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s|^{2}}{s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s}}=s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s.}$

Por lo tanto, nuestro filtro adaptado óptimo es

${\displaystyle \ h=\alpha R_{v}^{-1}s.}$

A menudo optamos por normalizar el valor esperado de la potencia de salida del filtro debido al ruido a la unidad. Es decir, restringimos

${\displaystyle \ E\{|y_{v}|^{2}\}=1.\,}$

Esta restricción implica un valor de , para el cual podemos resolver: ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \ E\{|y_{v}|^{2}\}=\alpha ^{2}s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s=1,}$

flexible

${\displaystyle \ \alpha ={\frac {1}{\sqrt {s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s}}},}$

dándonos nuestro filtro normalizado,

${\displaystyle \ h={\frac {1}{\sqrt {s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s}}}R_{v}^{-1}s.}$

Si nos interesa escribir la respuesta al impulso del filtro para el sistema de convolución, es simplemente la inversión de tiempo conjugada compleja de la entrada . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle s}$

Aunque hemos derivado el filtro adaptado en tiempo discreto, podemos extender el concepto a sistemas de tiempo continuo si lo reemplazamos con la función de autocorrelación del ruido en tiempo continuo , suponiendo una señal continua , un ruido continuo y un filtro continuo . ${\displaystyle R_{v}}$ ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle v(t)}$ ${\displaystyle h(t)}$

Derivación vía Lagrangiana

Alternativamente, podemos resolver el filtro coincidente resolviendo nuestro problema de maximización con un lagrangiano. Nuevamente, el filtro adaptado intenta maximizar la relación señal-ruido de salida ( ) de una señal determinista filtrada en ruido aditivo estocástico. La secuencia observada, nuevamente, es ${\displaystyle \mathrm {SNR} }$

${\displaystyle \ x=s+v,\,}$

con la matriz de autocorrelación de ruido,

${\displaystyle \ R_{v}=E\{vv^{\mathrm {H} }\}.\,}$

La relación señal-ruido es

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {|y_{s}|^{2}}{E\{|y_{v}|^{2}\}}},}$

dónde y . ${\displaystyle y_{s}=h^{\mathrm {H} }s}$ ${\displaystyle y_{v}=h^{\mathrm {H} }v}$

Evaluando la expresión en el numerador, tenemos

${\displaystyle \ |y_{s}|^{2}={y_{s}}^{\mathrm {H} }y_{s}=h^{\mathrm {H} }ss^{\mathrm {H} }h.\,}$

y en el denominador,

${\displaystyle \ E\{|y_{v}|^{2}\}=E\{{y_{v}}^{\mathrm {H} }y_{v}\}=E\{h^{\mathrm {H} }vv^{\mathrm {H} }h\}=h^{\mathrm {H} }R_{v}h.\,}$

La relación señal-ruido se vuelve

${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {h^{\mathrm {H} }ss^{\mathrm {H} }h}{h^{\mathrm {H} }R_{v}h}}.}$

Si ahora restringimos el denominador a 1, el problema de maximizar se reduce a maximizar el numerador. Luego podemos formular el problema usando un multiplicador de Lagrange : ${\displaystyle \mathrm {SNR} }$

${\displaystyle \ h^{\mathrm {H} }R_{v}h=1}$

${\displaystyle \ {\mathcal {L}}=h^{\mathrm {H} }ss^{\mathrm {H} }h+\lambda (1-h^{\mathrm {H} }R_{v}h)}$

${\displaystyle \ \nabla _{h^{*}}{\mathcal {L}}=ss^{\mathrm {H} }h-\lambda R_{v}h=0}$

${\displaystyle \ (ss^{\mathrm {H} })h=\lambda R_{v}h}$

que reconocemos como un problema de valores propios generalizado

${\displaystyle \ h^{\mathrm {H} }(ss^{\mathrm {H} })h=\lambda h^{\mathrm {H} }R_{v}h.}$

Como es de rango unitario, tiene un solo valor propio distinto de cero. Se puede demostrar que este valor propio es igual ${\displaystyle ss^{\mathrm {H} }}$

${\displaystyle \ \lambda _{\max }=s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s,}$

produciendo el siguiente filtro combinado óptimo

${\displaystyle \ h={\frac {1}{\sqrt {s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s}}}R_{v}^{-1}s.}$

Este es el mismo resultado encontrado en la subsección anterior.

Interpretación como estimador de mínimos cuadrados

Derivación

El filtrado coincidente también se puede interpretar como un estimador de mínimos cuadrados para la ubicación óptima y el escalamiento de un modelo o plantilla determinados. Una vez más, definamos la secuencia observada como

${\displaystyle \ x_{k}=s_{k}+v_{k},\,}$

donde es el ruido medio cero no correlacionado. Se supone que la señal es una versión escalada y desplazada de una secuencia modelo conocida : ${\displaystyle v_{k}}$ ${\displaystyle s_{k}}$ ${\displaystyle f_{k}}$

${\displaystyle \ s_{k}=\mu _{0}\cdot f_{k-j_{0}}}$

Queremos encontrar estimaciones óptimas para el cambio y la escala desconocidos minimizando el residuo de mínimos cuadrados entre la secuencia observada y una "secuencia de sondeo" : ${\displaystyle j^{*}}$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$ ${\displaystyle j_{0}}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle h_{j-k}}$

${\displaystyle \ j^{*},\mu ^{*}=\arg \min _{j,\mu }\sum _{k}\left(x_{k}-\mu \cdot h_{j-k}\right)^{2}}$

Más tarde resultará que el filtro correspondiente será el adecuado , pero aún no se ha especificado. Al expandir y el cuadrado dentro de la suma se obtiene ${\displaystyle h_{j-k}}$ ${\displaystyle x_{k}}$

${\displaystyle \ j^{*},\mu ^{*}=\arg \min _{j,\mu }\left[\sum _{k}(s_{k}+v_{k})^{2}+\mu ^{2}\sum _{k}h_{j-k}^{2}-2\mu \sum _{k}s_{k}h_{j-k}-2\mu \sum _{k}v_{k}h_{j-k}\right].}$

El primer término entre paréntesis es una constante (ya que se da la señal observada) y no influye en la solución óptima. El último término tiene un valor esperado constante porque el ruido no está correlacionado y tiene media cero. Por lo tanto, podemos eliminar ambos términos de la optimización. Después de invertir el signo, obtenemos el problema de optimización equivalente.

${\displaystyle \ j^{*},\mu ^{*}=\arg \max _{j,\mu }\left[2\mu \sum _{k}s_{k}h_{j-k}-\mu ^{2}\sum _{k}h_{j-k}^{2}\right].}$

Establecer la derivada wrt en cero proporciona una solución analítica para : ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$

${\displaystyle \ \mu ^{*}={\frac {\sum _{k}s_{k}h_{j-k}}{\sum _{k}h_{j-k}^{2}}}.}$

Insertar esto en nuestra función objetivo produce un problema de maximización reducida por solo : ${\displaystyle j^{*}}$

${\displaystyle \ j^{*}=\arg \max _{j}{\frac {\left(\sum _{k}s_{k}h_{j-k}\right)^{2}}{\sum _{k}h_{j-k}^{2}}}.}$

El numerador puede tener un límite superior mediante la desigualdad de Cauchy-Schwarz :

${\displaystyle \ {\frac {\left(\sum _{k}s_{k}h_{j-k}\right)^{2}}{\sum _{k}h_{j-k}^{2}}}\leq {\frac {\sum _{k}s_{k}^{2}\cdot \sum _{k}h_{j-k}^{2}}{\sum _{k}h_{j-k}^{2}}}=\sum _{k}s_{k}^{2}={\text{constant}}.}$

El problema de optimización asume su máximo cuando se cumple la igualdad en esta expresión. Según las propiedades de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, esto sólo es posible cuando

${\displaystyle \ h_{j-k}=\nu \cdot s_{k}=\kappa \cdot f_{k-j_{0}}.}$

para constantes arbitrarias distintas de cero o , y la solución óptima se obtiene en como se desee. Por lo tanto, nuestra "secuencia de sondeo" debe ser proporcional al modelo de señal , y la elección conveniente produce el filtro coincidente. ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle j^{*}=j_{0}}$ ${\displaystyle h_{j-k}}$ ${\displaystyle f_{k-j_{0}}}$ ${\displaystyle \kappa =1}$

${\displaystyle \ h_{k}=f_{-k}.}$

Tenga en cuenta que el filtro es el modelo de señal reflejada. Esto garantiza que la operación que se aplicará para encontrar el óptimo sea de hecho la convolución entre la secuencia observada y el filtro coincidente . La secuencia filtrada asume su máximo en la posición donde la secuencia observada coincide mejor (en el sentido de mínimos cuadrados) con el modelo de señal . ${\displaystyle \sum _{k}x_{k}h_{j-k}}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle h_{k}}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle f_{k}}$

Trascendencia

El filtro adaptado se puede derivar de diversas maneras, ^[2] pero como caso especial de un procedimiento de mínimos cuadrados también se puede interpretar como un método de máxima verosimilitud en el contexto de un modelo de ruido gaussiano (coloreado) y el asociado. Poca probabilidad . ^[5] Si la señal transmitida no poseyera parámetros desconocidos (como tiempo de llegada, amplitud,...), entonces el filtro adaptado, según el lema de Neyman-Pearson , minimizaría la probabilidad de error. Sin embargo, dado que la señal exacta generalmente está determinada por parámetros desconocidos que efectivamente se estiman (o ajustan ) en el proceso de filtrado, el filtro coincidente constituye una estadística (de prueba) de máxima verosimilitud generalizada . ^[6] La serie de tiempo filtrada puede entonces interpretarse como (proporcional a) la probabilidad del perfil , la probabilidad condicional maximizada en función del parámetro de tiempo. ^[7] Esto implica en particular que la probabilidad de error (en el sentido de Neyman y Pearson, es decir, en lo que respecta a la maximización de la probabilidad de detección para una probabilidad dada de falsa alarma ^[8] ) no es necesariamente óptima. Lo que comúnmente se conoce como relación señal-ruido (SNR) , que se supone que se maximiza mediante un filtro adaptado, en este contexto corresponde a , donde es la relación de probabilidad (condicionalmente) maximizada. ^{[7] [nota 1]} ${\displaystyle {\sqrt {2\log({\mathcal {L}})}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

La construcción del filtro adaptado se basa en un espectro de ruido conocido . En realidad, sin embargo, el espectro de ruido suele estimarse a partir de datos y, por tanto, sólo se conoce con una precisión limitada. Para el caso de un espectro incierto, el filtro adaptado puede generalizarse a un procedimiento iterativo más robusto con propiedades favorables también en ruido no gaussiano. ^[7]

Interpretación en el dominio de la frecuencia.

Cuando se ve en el dominio de la frecuencia, es evidente que el filtro adaptado aplica la mayor ponderación a los componentes espectrales que exhiben la mayor relación señal-ruido (es decir, gran ponderación cuando el ruido es relativamente bajo, y viceversa). En general, esto requiere una respuesta de frecuencia no plana, pero la "distorsión" asociada no es motivo de preocupación en situaciones como el radar y las comunicaciones digitales , donde se conoce la forma de onda original y el objetivo es la detección de esta señal contra el ruido de fondo. . Desde el punto de vista técnico, el filtro adaptado es un método de mínimos cuadrados ponderados basado en los datos ( heteroscedásticos ) en el dominio de la frecuencia (donde los "pesos" se determinan a través del espectro de ruido, consulte también la sección anterior), o de manera equivalente, un método de mínimos cuadrados ponderado . Método de cuadrados aplicado a los datos blanqueados .

Ejemplos

Radar y sonar

Los filtros adaptados se utilizan a menudo en la detección de señales . ^[1] Como ejemplo, supongamos que deseamos juzgar la distancia de un objeto reflejando una señal en él. Podemos optar por transmitir una sinusoide de tono puro a 1 Hz. Suponemos que nuestra señal recibida es una forma atenuada y desfasada de la señal transmitida con ruido añadido.

Para juzgar la distancia del objeto, correlacionamos la señal recibida con un filtro adaptado que, en el caso del ruido blanco (no correlacionado) , es otra sinusoide de tono puro de 1 Hz. Cuando la salida del sistema de filtro adaptado excede un cierto umbral, concluimos con una alta probabilidad de que la señal recibida se haya reflejado en el objeto. Usando la velocidad de propagación y el tiempo en que observamos por primera vez la señal reflejada, podemos estimar la distancia del objeto. Si cambiamos la forma del pulso de una manera especialmente diseñada, la relación señal-ruido y la resolución de distancia pueden incluso mejorarse después del filtrado adaptado: esta es una técnica conocida como compresión de pulso .

Además, los filtros coincidentes se pueden utilizar en problemas de estimación de parámetros (ver teoría de la estimación ). Volviendo a nuestro ejemplo anterior, es posible que deseemos estimar la velocidad del objeto, además de su posición. Para aprovechar el efecto Doppler , nos gustaría estimar la frecuencia de la señal recibida. Para hacerlo, podemos correlacionar la señal recibida con varios filtros coincidentes de sinusoides en diferentes frecuencias. El filtro adaptado con la salida más alta revelará, con alta probabilidad, la frecuencia de la señal reflejada y nos ayudará a determinar la velocidad radial del objeto, es decir, la velocidad relativa directamente hacia o lejos del observador. Este método es, de hecho, una versión simple de la transformada discreta de Fourier (DFT) . La DFT toma una entrada compleja de valor y la correlaciona con filtros coincidentes, correspondientes a exponenciales complejos en diferentes frecuencias, para producir números de valores complejos correspondientes a las amplitudes y fases relativas de los componentes sinusoidales (consulte Indicación de objetivo en movimiento ). ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

Comunicaciones digitales

El filtro adaptado también se utiliza en las comunicaciones. En el contexto de un sistema de comunicación que envía mensajes binarios desde el transmisor al receptor a través de un canal ruidoso, se puede utilizar un filtro adaptado para detectar los pulsos transmitidos en la señal recibida ruidosa.

Imaginemos que queremos enviar la secuencia "0101100100" codificada en no retorno a cero (NRZ) no polar a través de un determinado canal.

Matemáticamente, una secuencia en código NRZ se puede describir como una secuencia de pulsos unitarios o funciones rectas desplazadas , cada pulso se pondera con +1 si el bit es "1" y con -1 si el bit es "0". Formalmente, el factor de escala para la broca es, ${\displaystyle k^{\mathrm {th} }}$

${\displaystyle \ a_{k}={\begin{cases}+1,&{\text{if bit }}k{\text{ is }}1,\\-1,&{\text{if bit }}k{\text{ is }}0.\end{cases}}}$

Podemos representar nuestro mensaje, , como la suma de pulsos unitarios desplazados: ${\displaystyle M(t)}$

${\displaystyle \ M(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}\times \Pi \left({\frac {t-kT}{T}}\right).}$

donde es la duración de tiempo de un bit y es la función rectangular . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \Pi (x)}$

Por tanto, la señal que enviará el transmisor es

Si modelamos nuestro canal ruidoso como un canal AWGN , se agrega ruido blanco gaussiano a la señal. En el extremo del receptor, para una relación señal-ruido de 3 dB, esto podría verse así:

Un primer vistazo no revelará la secuencia transmitida original. Hay una alta potencia de ruido en relación con la potencia de la señal deseada (es decir, hay una relación señal-ruido baja ). Si el receptor muestreara esta señal en los momentos correctos, el mensaje binario resultante podría ser incorrecto.

Para aumentar nuestra relación señal-ruido, pasamos la señal recibida a través de un filtro adaptado. En este caso, el filtro debe coincidir con un pulso NRZ (equivalente a un "1" codificado en código NRZ). Precisamente, la respuesta al impulso del filtro adaptado ideal, asumiendo ruido blanco (no correlacionado), debería ser una versión escalada conjugada complejamente invertida en el tiempo de la señal que estamos buscando. Nosotros elegimos

${\displaystyle \ h(t)=\Pi \left({\frac {t}{T}}\right).}$

En este caso, debido a la simetría, el conjugado complejo invertido en el tiempo de es de hecho , lo que nos permite llamar a la respuesta de impulso de nuestro sistema de convolución de filtro adaptado. ${\displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle h(t)}$

Después de convolucionar con el filtro coincidente correcto, la señal resultante es, ${\displaystyle M_{\mathrm {filtered} }(t)}$

${\displaystyle \ M_{\mathrm {filtered} }(t)=(M*h)(t)}$

donde denota convolución. ${\displaystyle *}$

El cual ahora puede ser muestreado de forma segura por el receptor en los instantes de muestreo correctos y comparado con un umbral apropiado, lo que da como resultado una interpretación correcta del mensaje binario.

Astronomía de ondas gravitacionales

Los filtros adaptados desempeñan un papel central en la astronomía de ondas gravitacionales . ^[9] La primera observación de ondas gravitacionales se basó en el filtrado a gran escala de la salida de cada detector en busca de señales que se asemejaran a la forma esperada, seguido de una detección posterior en busca de activadores coincidentes y coherentes entre ambos instrumentos. ^[10] Las tasas de falsas alarmas y, con ello, la significación estadística de la detección se evaluaron utilizando métodos de remuestreo . ^{[11] [12]} La inferencia sobre los parámetros de la fuente astrofísica se completó utilizando métodos bayesianos basados ​​en modelos teóricos parametrizados para la forma de onda de la señal y (nuevamente) en la probabilidad de Whittle . ^{[13] [14]}

Biología

Los animales que viven en entornos relativamente estáticos tendrían características del entorno relativamente fijas para percibir. Esto permite la evolución de filtros que coinciden con la señal esperada con la relación señal-ruido más alta, el filtro coincidente. ^[15] Los sensores que perciben el mundo "a través de un 'filtro adaptado' limitan severamente la cantidad de información que el cerebro puede captar del mundo exterior, pero lo libera de la necesidad de realizar cálculos más complejos para extraer finalmente la información. necesario para cumplir una tarea particular." ^[dieciséis]

Ver también

• Periodograma
• Retroproyección filtrada (transformación de radón)
• filtro digital
• Procesamiento estadístico de señales.
• Probabilidad menor
• Probabilidad del perfil
• Teoría de detección
• Problema de comparaciones múltiples
• Capacidad del canal
• Teorema de codificación de canales ruidosos
• Estimación de densidad espectral
• Filtro de mínimos cuadrados medios (LMS)
• Filtro de salchicha
• Clasificación de señales múltiples (MÚSICA), un método de superresolución paramétrico popular
• SAMV

Notas

1. De hecho, la referencia común a la SNR ha sido criticada como algo engañosa: " La característica interesante de este enfoque es que la perfección teórica se logra sin apuntar conscientemente a una relación señal/ruido máxima. Como cuestión de interés bastante incidental, sucede que la operación [...] maximiza la relación pico señal/ruido, pero este hecho no juega ningún papel en la presente teoría. La relación señal/ruido no es una medida de información [...]. " ( Woodward , 1953; ^[1] Sec.5.1).

Referencias

1. Woodward, PM (1953). Probabilidad y teoría de la información con aplicaciones al radar . Londres: Pergamon Press .
2. Turín, GL (1960). "Una introducción a los filtros coincidentes". Transacciones IRE sobre teoría de la información . 6 (3): 311–329. doi :10.1109/TIT.1960.1057571. S2CID  5128742.
3. "Demodulación". OpenStax CNX . Consultado el 18 de abril de 2017 .
4. Después de DO North, quien estuvo entre los primeros en introducir el concepto: North, DO (1943). "Un análisis de los factores que determinan la discriminación señal/ruido en sistemas de portadora pulsada". Informe PPR-6C, RCA Laboratories, Princeton, Nueva Jersey .
   Reimpresión: Norte, DO (1963). "Un análisis de los factores que determinan la discriminación señal/ruido en sistemas de portadora pulsada". Actas del IEEE . 51 (7): 1016-1027. doi :10.1109/PROC.1963.2383.
   Véase también: Jaynes, ET (2003). "14.6.1 El filtro combinado clásico ". Teoría de la probabilidad: la lógica de la ciencia . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge .
5. Choudhuri, N.; Ghosal, S.; Roy, A. (2004). "Contigüidad de la medida de Whittle para una serie temporal gaussiana". Biometrika . 91 (4): 211–218. doi : 10.1093/biomet/91.1.211 .
6. Estado de ánimo, mañana; Graybill, FA; Boes, CC (1974). "IX. Pruebas de hipótesis ". Introducción a la teoría de la estadística (3ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill.
7. Röver, C. (2011). "Filtro basado en Student-t para una detección sólida de señales". Revisión física D. 84 (12): 122004. arXiv : 1109.0442 . Código Bib : 2011PhRvD..84l2004R. doi : 10.1103/PhysRevD.84.122004.
8. Neyman, J.; Pearson, ES (1933). "Sobre el problema de las pruebas de hipótesis estadísticas más eficientes". Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres A. 231 (694–706): 289–337. Código Bib : 1933RSPTA.231..289N. doi : 10.1098/rsta.1933.0009 .
9. Schutz, BF (1999). "Astronomía de ondas gravitacionales". Gravedad clásica y cuántica . 16 (12A): A131-A156. arXiv : gr-qc/9911034 . Código Bib : 1999CQGra..16A.131S. doi :10.1088/0264-9381/16/12A/307. S2CID  19021009.
10. "LIGO: Cómo buscamos fusionar agujeros negros y encontramos GW150914". Se utiliza una técnica conocida como filtrado coincidente para ver si hay señales contenidas en nuestros datos. El objetivo del filtrado coincidente es ver si los datos contienen señales similares a las de un miembro del banco de plantilla. Dado que nuestras plantillas deben describir las formas de onda gravitacionales para el rango de diferentes sistemas de fusión que esperamos poder ver, este método debe encontrar cualquier señal suficientemente fuerte.
11. Usman, Samantha A. (2016). "La búsqueda PyCBC de ondas gravitacionales a partir de coalescencia binaria compacta". Clase. Gravedad cuántica . 33 (21): 215004. arXiv : 1508.02357 . Código Bib : 2016CQGra..33u5004U. doi :10.1088/0264-9381/33/21/215004. S2CID  53979477.
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14. Meyer, R.; Christensen, N. (2016). "Ondas gravitacionales: una autopsia estadística de la fusión de un agujero negro". Significado . 13 (2): 20–25. doi : 10.1111/j.1740-9713.2016.00896.x .
15. Orden judicial, Eric J. (octubre de 2016). "Filtros sensoriales coincidentes". Biología actual . 26 (20): R976–R980. doi : 10.1016/j.cub.2016.05.042 . ISSN  0960-9822. PMID  27780072.
16. Wehner, Rüdiger (1987). "'Filtros coincidentes': modelos neuronales del mundo exterior". Revista de fisiología comparada A. 161 (4): 511–531. doi :10.1007/bf00603659. ISSN  0340-7594. S2CID  32779686.

Otras lecturas

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• Wainstein, Luisiana; Zubakov, VD (1962). Extracción de señales del ruido . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall .
• Melvin, WL (2004). "Una descripción general de STAP". Revista IEEE Aeroespacial y Sistemas Electrónicos . 19 (1): 19–35. doi :10.1109/MAES.2004.1263229. S2CID  31133715.
• Rover, C. (2011). "Filtro basado en Student-t para una detección sólida de señales". Revisión física D. 84 (12): 122004. arXiv : 1109.0442 . Código Bib : 2011PhRvD..84l2004R. doi : 10.1103/PhysRevD.84.122004.
• Pescado, A.; Gurevich, S.; Hadani, R.; Sayeed, A.; Schwartz, O. (diciembre de 2011). "Cálculo del filtro coincidente en tiempo lineal". arXiv : 1112.4883 [cs.IT].