Compresión de pulso

Técnica de procesamiento de señales

La compresión de pulsos es una técnica de procesamiento de señales que se utiliza habitualmente en radares , sonares y ecografías para aumentar la resolución de alcance cuando la longitud del pulso está restringida o para aumentar la relación señal/ruido cuando la potencia máxima y el ancho de banda (o equivalentemente la resolución de alcance) de la señal transmitida están restringidas. Esto se logra modulando el pulso transmitido y luego correlacionando la señal recibida con el pulso transmitido. ^[1]

Pulso simple

Descripción de la señal

El modelo ideal para el tipo de señal más simple, e históricamente el primero, que puede transmitir un radar o sonar de pulsos es un pulso sinusoidal truncado (también llamado pulso de onda portadora CW), de amplitud y frecuencia portadora , truncada por una función rectangular de ancho, . El pulso se transmite periódicamente, pero ese no es el tema principal de este artículo; consideraremos solo un pulso único, . Si asumimos que el pulso comienza en el momento , la señal se puede escribir de la siguiente manera, utilizando la notación compleja : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle s(t)={\begin{cases}e^{2i\pi f_{0}t}&{\text{if}}\;0\leq t<T\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Resolución de rango

Determinemos la resolución de rango que se puede obtener con dicha señal. La señal de retorno, escrita , es una copia atenuada y desplazada en el tiempo de la señal transmitida original (en realidad, el efecto Doppler también puede desempeñar un papel, pero esto no es importante aquí). También hay ruido en la señal entrante, tanto en el canal imaginario como en el real. Se supone que el ruido está limitado en banda, es decir, que tiene frecuencias solo en (esto generalmente se cumple en la realidad, donde generalmente se usa un filtro de paso de banda como una de las primeras etapas en la cadena de recepción); escribimos para denotar ese ruido. Para detectar la señal entrante, se usa comúnmente un filtro adaptado . Este método es óptimo cuando se debe detectar una señal conocida entre ruido aditivo que tiene una distribución normal . ${\displaystyle r(t)}$ ${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$ ${\displaystyle N(t)}$

En otras palabras, se calcula la correlación cruzada de la señal recibida con la señal transmitida. Esto se logra convolucionando la señal entrante con una versión conjugada e invertida en el tiempo de la señal transmitida. Esta operación se puede realizar tanto en software como en hardware. Escribimos para esta correlación cruzada. Tenemos: ${\displaystyle \langle s,r\rangle (t)}$

${\displaystyle \langle s,r\rangle (t)=\int _{t'\,=\,0}^{+\infty }s^{\star }(t')r(t+t')dt'}$

Si la señal reflejada regresa al receptor en el momento y se atenúa por el factor , esto produce: ${\displaystyle t_{r}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle r(t)=\left\{{\begin{array}{ll}Ae^{2i\pi f_{0}(t\,-\,t_{r})}+N(t)&{\mbox{if}}\;t_{r}\leq t<t_{r}+T\\N(t)&{\mbox{otherwise}}\end{array}}\right.}$

Como conocemos la señal transmitida, obtenemos:

${\displaystyle \langle s,r\rangle (t)=A\Lambda \left({\frac {t-t_{r}}{T}}\right)e^{2i\pi f_{0}(t\,-\,t_{r})}+N'(t)}$

donde , es el resultado de la intercorrelación entre el ruido y la señal transmitida. La función es la función triangular, su valor es 0 en , aumenta linealmente en donde alcanza su máximo 1, y disminuye linealmente en hasta que llega de nuevo a 0. Las figuras al final de este párrafo muestran la forma de la intercorrelación para una señal de muestra (en rojo), en este caso un seno truncado real, de duración segundos, de amplitud unidad y frecuencia hertz. Dos ecos (en azul) regresan con retrasos de 3 y 5 segundos y amplitudes iguales a 0,5 y 0,3 veces la amplitud del pulso transmitido, respectivamente; estos son solo valores aleatorios para el bien del ejemplo. Dado que la señal es real, la intercorrelación se pondera con un factor adicional de 1 ⁄ 2 . ${\displaystyle N'(t)}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\textstyle [-\infty ,-{\frac {1}{2}}]\cup [{\frac {1}{2}},+\infty ]}$ ${\textstyle [-{\frac {1}{2}},0]}$ ${\textstyle [0,{\frac {1}{2}}]}$ ${\displaystyle T=1}$ ${\textstyle f_{0}=10}$

Si dos pulsos vuelven (casi) al mismo tiempo, la intercorrelación es igual a la suma de las intercorrelaciones de las dos señales elementales. Para distinguir una envolvente "triangular" de la del otro pulso, es claramente visible que los tiempos de llegada de los dos pulsos deben estar separados por al menos un intervalo de tiempo tal que los máximos de ambos pulsos puedan separarse. Si esta condición no se cumple, ambos triángulos se mezclarán y será imposible separarlos. ${\displaystyle T}$

Como la distancia recorrida por una onda durante es (donde c es la velocidad de la onda en el medio), y como esta distancia corresponde a un tiempo de ida y vuelta, obtenemos: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle cT}$

 

Energía y relación señal-ruido de la señal recibida

La potencia instantánea del pulso recibido es . La energía que se introduce en esa señal es: ${\displaystyle P(t)=|r|^{2}(t)}$

${\displaystyle E=\int _{0}^{T}P(t)dt=A^{2}T}$

Si es la desviación estándar del ruido que se supone que tiene el mismo ancho de banda que la señal, la relación señal-ruido (SNR) en el receptor es: ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle SNR={\frac {E_{r}}{\sigma ^{2}}}={\frac {A^{2}T}{\sigma ^{2}}}}$

La relación señal-ruido es proporcional a la duración del pulso , si los demás parámetros se mantienen constantes. Esto supone una disyuntiva: al aumentarla, mejora la relación señal-ruido, pero reduce la resolución, y viceversa. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Compresión de pulsos mediante modulación de frecuencia lineal (ochirriando)

Principios básicos

¿Cómo se puede tener un pulso lo suficientemente grande (para tener una buena relación señal/ruido en el receptor) sin una resolución deficiente? Aquí es donde entra en escena la compresión de pulsos. El principio básico es el siguiente:

• Se transmite una señal con una longitud suficiente para que el balance energético sea correcto.
• Esta señal está diseñada para que después del filtrado adaptado, el ancho de las señales intercorrelacionadas sea menor que el ancho obtenido por el pulso sinusoidal estándar, como se explicó anteriormente (de ahí el nombre de la técnica: compresión de pulso).

En aplicaciones de radar o sonar , los chirridos lineales son las señales más utilizadas para lograr la compresión de pulsos. Al ser el pulso de longitud finita, la amplitud es una función rectangular . Si la señal transmitida tiene una duración , comienza en y barre linealmente la banda de frecuencia centrada en la portadora , se puede escribir: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \Delta f}$ ${\displaystyle f_{0}}$

${\displaystyle s_{c}(t)=\left\{{\begin{array}{ll}e^{i2\pi \left(\left(f_{0}\,-\,{\frac {\Delta f}{2}}\right)t\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}t^{2}\,\right)}&{\mbox{if}}\;0\leq t<T\\0&{\mbox{otherwise}}\end{array}}\right.}$

La definición de chirrido anterior significa que la fase de la señal chirriada (es decir, el argumento del exponencial complejo) es cuadrática:

${\displaystyle \phi (t)=2\pi \left(\left(f_{0}\,-\,{\frac {\Delta f}{2}}\right)t\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}t^{2}\,\right)}$

Por lo tanto la frecuencia instantánea es (por definición):

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\left[{\frac {d\phi }{dt}}\right]_{t}=f_{0}-{\frac {\Delta f}{2}}+{\frac {\Delta f}{T}}t}$

cual es la rampa lineal prevista que va desde en hasta en . ${\displaystyle f_{0}-{\frac {\Delta f}{2}}}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\textstyle f_{0}+{\frac {\Delta f}{2}}}$ ${\displaystyle t=T}$

La relación de fase a frecuencia se utiliza a menudo en la dirección opuesta, comenzando con la fase deseada y escribiendo la fase de chirrido a través de la integración de la frecuencia: ${\displaystyle f(t)}$

${\displaystyle \phi (t)=2\pi \int _{0}^{t}f(u)\,du}$

Esta señal transmitida normalmente se refleja en el objetivo y sufre atenuación debido a varias causas, por lo que la señal recibida es una versión atenuada y retardada en el tiempo de la señal transmitida más un ruido aditivo de densidad espectral de potencia constante en , y cero en el resto del lugar: ${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$

${\displaystyle r(t)=\left\{{\begin{array}{ll}Ae^{i2\pi \left(\left(f_{0}\,-\,{\frac {\Delta f}{2}}\right)(t-t_{r})\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}(t-t_{r})^{2}\,\right)}+N(t)&{\mbox{if}}\;t_{r}\leq t<t_{r}+T\\N(t)&{\mbox{otherwise}}\end{array}}\right.}$

Correlación cruzada entre la señal transmitida y la recibida

Ahora nos proponemos calcular la correlación de la señal recibida con las señales transmitidas. Para ello, vamos a realizar dos acciones:

- La primera acción es una simplificación. En lugar de calcular la correlación cruzada, vamos a calcular una autocorrelación, lo que equivale a suponer que el pico de autocorrelación está centrado en cero. Esto no cambiará la resolución ni las amplitudes, pero simplificará los cálculos:

${\displaystyle r'(t)={\begin{cases}Ae^{2i\pi \left(f_{0}\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}t\right)t}+N(t)&{\mbox{if}}\;-{\frac {T}{2}}\leq t<{\frac {T}{2}}\\N(t)&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

- La segunda acción, como se muestra a continuación, consiste en establecer una amplitud para la señal de referencia que no sea una, sino . Se debe determinar una constante para que la energía se conserve mediante la correlación. ${\displaystyle \rho \neq 1}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle s_{c}'(t)={\begin{cases}\rho e^{2i\pi \left(f_{0}\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}t\right)t}&{\mbox{if}}\;-{\frac {T}{2}}\leq t<{\frac {T}{2}}\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

Ahora, se puede demostrar ^[2] que la función de correlación de con es: ${\displaystyle s_{c}'}$ ${\displaystyle r'}$

${\displaystyle \langle s_{c}',r'\rangle (t)=\rho A{\sqrt {T}}\Lambda \left({\frac {t}{T}}\right)\mathrm {sinc} \left[\Delta ft\Lambda \left({\frac {t}{T}}\right)\right]e^{2i\pi f_{0}t}+N'(t)}$

donde es la correlación de la señal de referencia con el ruido recibido. ${\displaystyle N'(t)}$

Ancho de la señal después de la correlación

Suponiendo que el ruido es cero, el máximo de la función de autocorrelación de se alcanza en 0. Alrededor de 0, esta función se comporta como el término sinc (o seno cardinal), definido aquí como . El ancho temporal de −3 dB de ese seno cardinal es más o menos igual a . Todo sucede como si, después del filtrado adaptado, tuviéramos la resolución que se habría alcanzado con un pulso simple de duración . Para los valores comunes de , es menor que , de ahí el nombre de compresión de pulsos . ${\displaystyle s_{c'}}$ ${\displaystyle sinc(x)=sin(\pi x)/(\pi x)}$ ${\textstyle T'={\frac {1}{\Delta f}}}$ ${\displaystyle T'}$ ${\displaystyle \Delta f}$ ${\displaystyle T'}$ ${\displaystyle T}$

Dado que el seno cardinal puede tener lóbulos laterales molestos , una práctica habitual es filtrar el resultado mediante una ventana ( Hamming , Hann , etc.). En la práctica, esto se puede hacer al mismo tiempo que el filtrado adaptado multiplicando el chirp de referencia por el filtro. El resultado será una señal con una amplitud máxima ligeramente inferior, pero se filtrarán los lóbulos laterales, lo que es más importante.

 

 

Energía y potencia pico después de la correlación

Cuando la señal de referencia se escala correctamente utilizando el término , entonces es posible conservar la energía antes y después de la correlación. La potencia pico (y promedio) antes de la correlación es: ${\displaystyle s_{c}'}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle P_{r'}=|r'(t)|^{2}=P_{r'}^{peak}=A^{2}}$

Dado que, antes de la compresión, el pulso tiene forma de caja, la energía antes de la correlación es:

${\displaystyle E_{r'}=\int _{-T/2}^{T/2}|r'(t)|^{2}dt=A^{2}T}$

La potencia máxima después de la correlación se alcanza en : ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle P_{<s_{c}',r'>}^{peak}=|<s_{c}',r'>(0)|^{2}=\rho ^{2}A^{2}T}$

Obsérvese que si esta potencia pico es la energía de la señal recibida antes de la correlación, lo cual es lo esperado. Después de la compresión, el pulso se aproxima mediante un recuadro que tiene un ancho igual al ancho típico de la función, es decir, un ancho , por lo que la energía después de la correlación es: ${\displaystyle \rho =1}$ ${\displaystyle sinc}$ ${\displaystyle T'=1/\Delta f}$

${\displaystyle E_{<s_{c}',r'>}=\int _{-\infty }^{+\infty }|<s_{c}',r'>(t)|^{2}dt\approx P_{<s_{c}',r'>}^{peak}\times T'=\rho ^{2}{\frac {A^{2}T}{\Delta f}}}$

Si la energía se conserva:

${\displaystyle E_{r'}=E_{<s_{c}',r'>}}$

... se obtiene que: de modo que la potencia pico después de la correlación es: ${\displaystyle \rho ={\sqrt {\Delta f}}}$

${\displaystyle P_{<s_{c}',r'>}^{peak}=\rho ^{2}A^{2}T=P_{r'}\times \Delta f\times T}$

Como conclusión, la potencia máxima de la señal comprimida por pulso es la de la señal recibida sin procesar (suponiendo que la plantilla esté correctamente escalada para conservar energía a través de la correlación). ${\displaystyle \Delta f\times T}$ ${\displaystyle s_{c}'}$

Ganancia de señal a ruido después de la correlación

Equivalencia entre un pulso con chirrido y un pulso CW más corto después de la compresión del pulso. La energía es el área bajo las curvas azules (en el dominio del tiempo); la potencia es el área bajo las curvas rojas (en el dominio espectral).

Como hemos visto anteriormente, las cosas están escritas de forma que la energía de la señal no varíe durante la compresión del pulso. Sin embargo, ahora se encuentra en el lóbulo principal del seno cardinal, cuyo ancho es aproximadamente . Si es la potencia de la señal antes de la compresión, y la potencia de la señal después de la compresión, la energía se conserva y tenemos: ${\textstyle T'\approx {\frac {1}{\Delta f}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle E=P\times T=P'\times T'}$

lo que produce un aumento de potencia después de la compresión del pulso:

${\displaystyle P'=P\times {\frac {T}{T'}}}$

En el dominio espectral, el espectro de potencia del chirrido tiene una densidad espectral casi constante en el intervalo y cero en el resto del intervalo, de modo que la energía se expresa de manera equivalente como . Esta densidad espectral permanece igual después del filtrado adaptado. ${\displaystyle D=P/\Delta f}$ ${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$ ${\displaystyle E=P\times T=D.\Delta f.T}$

Imaginando ahora un pulso sinusoidal (CW) equivalente de duración y potencia de entrada idéntica, este pulso sinusoidal equivalente tiene una energía: ${\displaystyle T'=1/\Delta f}$

${\displaystyle E'=P\times T'=E{\frac {T'}{T}}}$

Después del filtrado adaptado, el pulso sinusoidal equivalente se convierte en una señal de forma triangular con el doble de su ancho original pero con la misma potencia de pico. La energía se conserva. El dominio espectral se aproxima mediante una densidad espectral casi constante en el intervalo donde . Mediante la conservación de la energía, tenemos: ${\displaystyle D'}$ ${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$ ${\displaystyle \Delta f\approx 1/T'}$

${\displaystyle E'=E{\frac {T'}{T}}=D\Delta fT{\frac {T'}{T}}=D\Delta fT'}$

Como por definición también tenemos: resulta que: lo que significa que las densidades espectrales del pulso chirped y del pulso CW equivalente son casi idénticas y son equivalentes a las de un filtro de paso de banda en . El efecto de filtrado de la correlación también actúa sobre el ruido, lo que significa que la banda de referencia para el ruido es y como , se obtiene el mismo efecto de filtrado sobre el ruido en ambos casos después de la correlación. Esto significa que el efecto neto de la compresión de pulso es que, en comparación con el pulso CW equivalente, la relación señal-ruido (SNR) ha mejorado en un factor porque la señal se amplifica pero no el ruido. ${\displaystyle E'=D'\Delta fT'}$ ${\displaystyle D'=D}$ ${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$ ${\displaystyle \Delta f}$ ${\displaystyle D=D'}$ ${\displaystyle T/T'}$

Como consecuencia:  

 

Por razones técnicas, la correlación no se realiza necesariamente para los pulsos de CW recibidos reales como para los pulsos chirped. Sin embargo, durante el desplazamiento de banda base , la señal se somete a un filtrado de paso de banda que tiene el mismo efecto neto sobre el ruido que la correlación, por lo que el razonamiento general sigue siendo el mismo (es decir, la relación señal-ruido solo tiene sentido para el ruido definido en un ancho de banda determinado, que en este caso es el de la señal). ${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$

Esta ganancia en la relación señal-ruido parece mágica, pero recuerde que la densidad espectral de potencia no representa la fase de la señal. En realidad, las fases son diferentes para el pulso CW equivalente, el pulso CW después de la correlación, el pulso chirped original y el pulso chirped correlacionado, lo que explica las diferentes formas de las señales (especialmente las longitudes variables) a pesar de tener (casi) el mismo espectro de potencia en todos los casos. Si la potencia de transmisión pico y el ancho de banda están restringidos, la compresión de pulso logra una mejor potencia pico (pero la misma resolución) al transmitir un pulso más largo (es decir, más energía), en comparación con un pulso CW equivalente de la misma potencia pico y ancho de banda , y comprimiendo el pulso por correlación. Esto funciona mejor solo para un número limitado de tipos de señales que, después de la correlación, tienen un pico más estrecho que la señal original y lóbulos laterales bajos. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Delta f}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Delta f}$

Procesamiento de estiramiento

Si bien la compresión de pulsos puede garantizar una buena relación señal-ruido (SNR) y una resolución de rango fino al mismo tiempo, el procesamiento de señales digitales en un sistema de este tipo puede ser difícil de implementar debido al alto ancho de banda instantáneo de la forma de onda ( puede ser de cientos de megahercios o incluso superar 1 GHz). El procesamiento por estiramiento es una técnica para el filtrado adaptado de la forma de onda de chirrido de banda ancha y es adecuado para aplicaciones que buscan una resolución de rango muy fino en intervalos de rango relativamente cortos. ^[3] ${\displaystyle \Delta f}$

Procesamiento de estiramiento

La imagen de arriba muestra el escenario para analizar el procesamiento de estiramiento. El punto de referencia central (CRP) está en el medio de la ventana de rango de interés en el rango de , correspondiente a un retraso de tiempo de . ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle t_{0}}$

Si la forma de onda transmitida es la forma de onda chirriante:

${\displaystyle x(t)=\exp \left(j\pi {\frac {\Delta f}{T}}(t)^{2}\right)\exp(j2\pi f_{0}(t)),0\leq t\leq T}$

Entonces el eco del objetivo a distancia se puede expresar como: ${\displaystyle R_{b}}$

${\displaystyle {\bar {x}}(t)=\rho \exp \left(j\pi {\frac {\Delta f}{T}}(t-t_{b})^{2}\right)\exp(j2\pi f_{0}(t-t_{b})),0\leq t-t_{b}\leq T}$

donde es proporcional a la reflectividad del dispersor. Luego multiplicamos el eco por y el eco se convierte en: ${\displaystyle \rho }$ ${\textstyle \exp(-j2\pi f_{0}t)\exp \left(-j\pi {\frac {\Delta f}{T}}(t-t_{0})^{2}\right)}$

${\displaystyle y(t)=\rho \exp \left(-j{\frac {4\pi R_{b}}{\lambda }}\right)\exp \left(-j2\pi {\frac {\Delta f}{T}}\delta t_{b}(t-t_{0})\right)\exp \left(j\pi {\frac {\Delta f}{T}}(\delta t_{b})^{2}\right),t_{0}\leq t-\delta t_{b}\leq t_{0}+T}$

¿Dónde está la longitud de onda de la onda electromagnética en el aire? ${\displaystyle \lambda }$

Después de realizar el muestreo y la transformada de Fourier discreta en y(t), la frecuencia sinusoidal se puede resolver: ${\displaystyle F_{b}}$

${\displaystyle F_{b}=-\delta t_{b}{\frac {\Delta f}{T}}(Hz)}$

y el rango diferencial se puede obtener: ${\displaystyle \delta R_{b}}$

${\displaystyle \delta R_{b}=-{\frac {cTF_{b}}{2\Delta f}}}$

Para demostrar que el ancho de banda de y(t) es menor que el ancho de banda de la señal original , suponemos que la ventana de alcance es larga. Si el objetivo está en el límite inferior de la ventana de alcance, el eco llegará segundos después de la transmisión; de manera similar, si el objetivo está en el límite superior de la ventana de alcance, el eco llegará segundos después de la transmisión. El tiempo de llegada diferencial para cada caso es y , respectivamente. ${\displaystyle \Delta f}$ ${\displaystyle R_{w}={\frac {cT_{w}}{2}}}$ ${\displaystyle t_{0}-T_{w}/2}$ ${\displaystyle t_{0}+T_{w}/2}$ ${\displaystyle \delta t_{b}}$ ${\displaystyle -T_{w}/2}$ ${\displaystyle T_{w}/2}$

Luego podemos obtener el ancho de banda considerando la diferencia en la frecuencia sinusoide para los objetivos en el límite inferior y superior de la ventana de rango: Como consecuencia:   $${\displaystyle \Delta f_{s}=F_{b,{\text{near}}}-F_{b,{\text{far}}}=-{\frac {\Delta f}{T}}(-T_{w}/2-T_{w}/2)={\frac {T_{w}}{T}}\Delta f}$$

  Para demostrar que el procesamiento de estiramiento preserva la resolución de rango, necesitamos entender que y(t) es en realidad un tren de impulsos con duración de pulso T y período , que es igual al período del tren de impulsos transmitido. Como resultado, la transformada de Fourier de y(t) es en realidad una función sinc con resolución de Rayleigh . Es decir, el procesador podrá resolver dispersores que estén al menos separados. ${\displaystyle T_{trans}}$ ${\textstyle {\frac {1}{T}}}$ ${\displaystyle F_{b}}$ ${\displaystyle \Delta F_{b}=1/T}$

Como consecuencia,

${\displaystyle {\frac {1}{T}}=\left\vert {\frac {\Delta f}{T}}\Delta (\delta t_{b})\right\vert \Rightarrow \left\vert \Delta (\delta t_{b})\right\vert ={\frac {1}{\Delta f}}}$

y,

${\displaystyle \Delta (\delta R_{b})={\frac {c\Delta (\delta t_{b})}{2}}={\frac {c}{2\Delta f}}}$

que es la misma que la resolución de la forma de onda de modulación de frecuencia lineal original.

Forma de onda de frecuencia escalonada

Aunque el procesamiento de estiramiento puede reducir el ancho de banda de la señal de banda base recibida, todos los componentes analógicos en los circuitos de entrada de RF aún deben poder soportar un ancho de banda instantáneo de . Además, la longitud de onda efectiva de la onda electromagnética cambia durante el barrido de frecuencia de una señal de chirrido y, por lo tanto, la dirección de la antena cambiará inevitablemente en un sistema de matriz en fase . ${\displaystyle \Delta f}$

Las formas de onda de frecuencia escalonada son una técnica alternativa que puede preservar la resolución de rango fino y la relación señal-ruido de la señal recibida sin un gran ancho de banda instantáneo. A diferencia de la forma de onda de chirrido, que recorre linealmente un ancho de banda total de en un solo pulso, la forma de onda de frecuencia escalonada emplea un tren de impulsos donde la frecuencia de cada pulso aumenta en relación con el pulso anterior. La señal de banda base se puede expresar como: ${\displaystyle \Delta f}$ ${\displaystyle \Delta F}$

${\displaystyle x(t)=\sum _{m=0}^{M-1}x_{p}(t-mT)e^{j2\pi m\Delta F(t-mT)}}$

donde es un impulso rectangular de longitud y M es el número de pulsos en un tren de pulsos único. El ancho de banda total de la forma de onda sigue siendo igual a , pero los componentes analógicos se pueden restablecer para admitir la frecuencia del siguiente pulso durante el tiempo entre pulsos. Como resultado, se puede evitar el problema mencionado anteriormente. ${\displaystyle x_{p}(t)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \Delta f=M\Delta F}$

Para calcular la distancia del objetivo correspondiente a un retraso , los pulsos individuales se procesan a través del filtro de pulsos coincidentes simple: ${\displaystyle t_{l}+\delta t}$

${\displaystyle h_{p}(t)=x_{p}^{*}(-t)}$

y la salida del filtro adaptado es:

${\displaystyle y_{m}(t)=s_{p}^{*}(t-(t_{l}+\delta t)-mT)e^{j2\pi m\Delta F(t-(t_{l}+\delta t)-mT)}}$

dónde

${\displaystyle s_{p}^{*}(t-(t_{l}+\delta t)-mT)=x_{p}(t-(t_{l}+\delta t)-mT)*h_{p}(t)}$

Si tomamos una muestra en , podemos obtener: ${\displaystyle y_{m}(t)}$ ${\displaystyle t=t_{l}+mT}$

${\displaystyle y[l,m]=s_{p}^{*}(\delta t)e^{j2\pi m\Delta F\delta t}}$

donde l significa el intervalo de rango l. Realice la DTFT (m se utiliza como tiempo aquí) y podemos obtener:

${\displaystyle Y[l,\omega ]=\sum _{m=0}^{M-1}y[l,m]e^{-j\omega m}=s_{p}^{*}(\delta t)\sum _{m=0}^{M-1}e^{j(\omega -2\pi \Delta F\delta t)m}}$

,y el pico de la suma ocurre cuando . ${\displaystyle \omega =2\pi \Delta F\delta t}$

En consecuencia, la DTFT de proporciona una medida del retraso del objetivo en relación con el intervalo de retraso : y el rango diferencial se puede obtener: ${\displaystyle y[l,m]}$ ${\displaystyle t_{l}}$ $${\displaystyle \delta t={\frac {\omega _{p}}{2\pi \Delta F}}={\frac {f_{p}}{\Delta F}}}$$

${\displaystyle \delta R={\frac {cf_{p}}{2\Delta F}}}$

donde c es la velocidad de la luz.

Para demostrar que la forma de onda de frecuencia escalonada conserva la resolución del rango, debe notarse que es una función similar a sinc y, por lo tanto, tiene una resolución de Rayleigh de . Como resultado: ${\displaystyle Y[l,\omega ]}$ ${\displaystyle \Delta f_{p}=1/M}$

${\displaystyle \Delta (\delta t)={\frac {1}{M\Delta F}}={\frac {1}{\Delta f}}}$

y por lo tanto la resolución del rango diferencial es:

${\displaystyle \Delta (\delta R)={\frac {c}{2\Delta f}}}$

que es la misma que la resolución de la forma de onda de modulación de frecuencia lineal original.

Compresión de pulsos por codificación de fase

Existen otros medios para modular la señal. La modulación de fase es una técnica de uso común; en este caso, el pulso se divide en intervalos de tiempo de duración para los cuales se elige la fase en el origen según una convención preestablecida. Por ejemplo, es posible no cambiar la fase durante algunos intervalos de tiempo (lo que se reduce a dejar la señal como está, en esos intervalos) y desfasar la señal en los otros intervalos (lo que equivale a cambiar el signo de la señal); esto se conoce como modulación por desplazamiento de fase binaria . La forma precisa de elegir la secuencia de fases se puede realizar según una técnica conocida como códigos de Barker . ${\displaystyle N}$ ${\textstyle {\frac {T}{N}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \{0,\pi \}}$

Las ventajas ^[4] de los códigos Barker son su simplicidad (como se indicó anteriormente, un desfase es un simple cambio de signo), pero la relación de compresión del pulso es menor que en el caso del chirrido y la compresión es muy sensible a los cambios de frecuencia debido al efecto Doppler si ese cambio es mayor que . ${\displaystyle \pi }$ ${\textstyle {\frac {1}{T}}}$

Otras secuencias binarias pseudoaleatorias tienen propiedades de compresión de pulsos casi óptimas, como los códigos Gold , los códigos JPL o los códigos Kasami , porque su pico de autocorrelación es muy estrecho. Estas secuencias tienen otras propiedades interesantes que las hacen adecuadas para el posicionamiento GNSS , por ejemplo.

Es posible codificar la secuencia en más de dos fases (codificación polifásica). Al igual que en el caso de un chirp lineal, la compresión de pulsos se logra mediante intercorrelación.

Véase también

• Radar de onda continua
• Espectro expandido
• Compresión de chirrido

Notas

1. JR Klauder, A. C, Price, S. Darlington y WJ Albersheim, 'La teoría y el diseño de los radares Chirp', Bell System Technical Journal 39, 745 (1960).
2. Achim Hein, Processing of SAR Data: Fundamentals, Signal Processing, Interferometry , Springer, 2004, ISBN  3-540-05043-4 , páginas 38 a 44. Demostración muy rigurosa de la función de autocorrelación de un chirrido. El autor trabaja con chirridos reales, de ahí el factor de 1 ⁄ 2 en su libro, que no se utiliza aquí.
3. Richards, Mark A. 2014. Fundamentos del procesamiento de señales de radar. Nueva York [etc.]: McGraw-Hill Education.
4. J.-P. Hardange, P. Lacomme, J.-C. Marchais, Radars aéroportés et spatiaux , Masson, París, 1995, ISBN 2-225-84802-5 , página 104. Disponible en inglés: Air and Spaceborne Radar Systems: una introducción , Instituto de Ingenieros Eléctricos, 2001, ISBN 0-85296- 981-3  

Lectura adicional

• Nadav Levanon y Eli Mozeson. Señales de radar. Wiley.com, 2004.
• Hao He, Jian Li y Petre Stoica . Diseño de formas de onda para sistemas de detección activa: un enfoque computacional. Cambridge University Press, 2012.
• M. Soltanalian. Diseño de señales para detección activa y comunicaciones. Tesis doctorales de Uppsala de la Facultad de Ciencia y Tecnología (impresas por Elanders Sverige AB), 2014.
• Solomon W. Golomb y Guang Gong . Diseño de señales para una buena correlación: para comunicaciones inalámbricas, criptografía y radar. Cambridge University Press, 2005.
• Fulvio Gini, Antonio De Maio y Lee Patton, eds. Diseño de formas de onda y diversidad para sistemas de radar avanzados. Institución de ingeniería y tecnología, 2012.
• John J. Benedetto, Ioannis Konstantinidis y Muralidhar Rangaswamy. "Formas de onda con codificación de fase y su diseño". Revista IEEE Signal Processing, 26.1 (2009): 22-31.
• Ducoff, Michael R. y Byron W. Tietjen. "Radar de compresión de pulsos". Manual de radar (2008): 8-3.