Función cuya gráfica es 0, luego 1, luego 0 nuevamente, de forma continua casi en todas partes
Función rectangular con a = 1 La función rectangular (también conocida como función rectángulo , función rect , función Pi , función Pi de Heaviside , [1] función de compuerta , pulso unitario o función de furgón normalizado ) se define como [2]
recto ( t a ) = Π ( t a ) = { 0 , si | t | > a 2 1 2 , si | t | = a 2 1 , si | t | < a 2 . {\displaystyle \operatorname {rect} \left({\frac {t}{a}}\right)=\Pi \left({\frac {t}{a}}\right)=\left\{{\ comenzar{array}{rl}0,&{\text{if }}|t|>{\frac {a}{2}}\\{\frac {1}{2}},&{\text{si }}|t|={\frac {a}{2}}\\1,&{\text{if }}|t|<{\frac {a}{2}}.\end{array}}\ bien.} Las definiciones alternativas de la función definen como 0, [3] 1, [4] [5] o indefinida. recto ( ± 1 2 ) {\textstyle \operatorname {rect} \left(\pm {\frac {1}{2}}\right)}
Su versión periódica se llama onda rectangular .
Historia La función rect ha sido introducida por Woodward [6] en [7] como un operador de corte ideal , junto con la función sinc [8] [9] como un operador de interpolación ideal , y sus contraoperaciones que son muestreo ( operador peine ) y replicando ( operador rep ), respectivamente.
Relación con la función del furgón La función rectangular es un caso especial de la función furgón más general :
recto ( t − X Y ) = h ( t − ( X − Y / 2 ) ) − h ( t − ( X + Y / 2 ) ) = h ( t − X + Y / 2 ) − h ( t − X − Y / 2 ) {\displaystyle \operatorname {rect} \left({\frac {tX}{Y}}\right)=H(t-(XY/2))-H(t-(X+Y/2))=H (t-X+Y/2)-H(tXY/2)} ¿Dónde está la función de paso de Heaviside ? la función está centrada en y tiene duración , desde hasta h ( X ) {\displaystyle H(x)} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} X − Y / 2 {\displaystyle XY/2} X + Y / 2. {\displaystyle X+Y/2.}
Transformada de Fourier de la función rectangular Gráfico de función normalizada (es decir ) con sus componentes de frecuencia espectral. sinc ( X ) {\displaystyle \operatorname {sinc} (x)} sinc ( π X ) {\displaystyle \operatorname {sinc} (\pi x)} Las transformadas unitarias de Fourier de la función rectangular son [2]
∫ − ∞ ∞ recto ( t ) ⋅ mi − i 2 π F t d t = pecado ( π F ) π F = sinc π ( F ) , {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt={\frac {\sin(\pi f) }{\pi f}}=\operatorname {sinc} _ {\pi }(f),} f [10] función sinc sinc π {\displaystyle \operatorname {sinc} _ {\pi }} 1 2 π ∫ − ∞ ∞ recto ( t ) ⋅ mi − i ω t d t = 1 2 π ⋅ pecado ( ω / 2 ) ω / 2 = 1 2 π sinc ( ω / 2 ) , {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (t)\cdot e^{-i\omega t }\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\frac {\sin \left(\omega /2\right)}{\omega /2}}={\ frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\operatorname {sinc} \left(\omega /2\right),} función sinc ω {\displaystyle\omega} sinc {\displaystyle \operatorname {sinc} } Para , su transformada de Fourier es recto ( X / a ) {\displaystyle \operatorname {rect} (x/a)}
∫ − ∞ ∞ recto ( t a ) ⋅ mi − i 2 π F t d t = a pecado ( π a F ) π a F = a sinc π ( a F ) . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} \left({\frac {t}{a}}\right)\cdot e^{-i2\pi ft}\, dt=a{\frac {\sin(\pi af)}{\pi af}}=a\ \operatorname {sinc} _{\pi }{(af)}.} Relación con la función triangular Podemos definir la función triangular como la convolución de dos funciones rectangulares:
trio = recto ∗ recto . {\displaystyle \operatorname {tri} =\operatorname {rect} *\operatorname {rect}.\,} Usar en probabilidad Viendo la función rectangular como una función de densidad de probabilidad , es un caso especial de distribución uniforme continua con La función característica es a = − 1 / 2 , b = 1 / 2. {\displaystyle a=-1/2,b=1/2.}
φ ( k ) = pecado ( k / 2 ) k / 2 , {\displaystyle \varphi (k)={\frac {\sin(k/2)}{k/2}},} y su función generadora de momentos es
METRO ( k ) = sinh ( k / 2 ) k / 2 , {\displaystyle M(k)={\frac {\sinh(k/2)}{k/2}},} ¿Dónde está la función seno hiperbólica ? sinh ( t ) {\displaystyle \sinh(t)}
Aproximación racional La función de pulso también se puede expresar como un límite de una función racional :
Π ( t ) = Lim norte → ∞ , norte ∈ ( z ) 1 ( 2 t ) 2 norte + 1 . {\displaystyle \Pi (t)=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}.} Demostración de validez Primero, consideramos el caso en el que Note que el término siempre es positivo para números enteros y , por lo tanto, se aproxima a cero para números grandes. | t | < 1 2 . {\textstyle |t|<{\frac {1}{2}}.} ( 2 t ) 2 norte {\textstyle (2t)^{2n}} norte . {\displaystyle n.} 2 t < 1 {\displaystyle 2t<1} ( 2 t ) 2 norte {\textstyle (2t)^{2n}} norte . {\displaystyle n.}
Resulta que:
Lim norte → ∞ , norte ∈ ( z ) 1 ( 2 t ) 2 norte + 1 = 1 0 + 1 = 1 , | t | < 1 2 . {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\frac {1}{0+1}}=1,|t|<{\tfrac {1}{2}}.} En segundo lugar, consideramos el caso en el que Note que el término siempre es positivo para números enteros y , por lo tanto, crece mucho para números grandes. | t | > 1 2 . {\textstyle |t|>{\frac {1}{2}}.} ( 2 t ) 2 n {\textstyle (2t)^{2n}} n . {\displaystyle n.} 2 t > 1 {\displaystyle 2t>1} ( 2 t ) 2 n {\textstyle (2t)^{2n}} n . {\displaystyle n.}
Resulta que:
lim n → ∞ , n ∈ ( Z ) 1 ( 2 t ) 2 n + 1 = 1 + ∞ + 1 = 0 , | t | > 1 2 . {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\frac {1}{+\infty +1}}=0,|t|>{\tfrac {1}{2}}.} En tercer lugar, consideramos el caso en el que podemos simplemente sustituir en nuestra ecuación: | t | = 1 2 . {\textstyle |t|={\frac {1}{2}}.}
lim n → ∞ , n ∈ ( Z ) 1 ( 2 t ) 2 n + 1 = lim n → ∞ , n ∈ ( Z ) 1 1 2 n + 1 = 1 1 + 1 = 1 2 . {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{1^{2n}+1}}={\frac {1}{1+1}}={\tfrac {1}{2}}.} Vemos que satisface la definición de función de pulso. Por lo tanto,
rect ( t ) = Π ( t ) = lim n → ∞ , n ∈ ( Z ) 1 ( 2 t ) 2 n + 1 = { 0 if | t | > 1 2 1 2 if | t | = 1 2 1 if | t | < 1 2 . {\displaystyle \operatorname {rect} (t)=\Pi (t)=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}|t|>{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\mbox{if }}|t|={\frac {1}{2}}\\1&{\mbox{if }}|t|<{\frac {1}{2}}.\\\end{cases}}} Función delta de Dirac La función rectángulo se puede utilizar para representar la función delta de Dirac . [11] Específicamente, δ ( x ) {\displaystyle \delta (x)}
δ ( x ) = lim a → 0 1 a rect ( x a ) . {\displaystyle \delta (x)=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\operatorname {rect} \left({\frac {x}{a}}\right).} g ( x ) {\displaystyle g(x)} a {\displaystyle a}
g a v g ( 0 ) = 1 a ∫ − ∞ ∞ d x g ( x ) rect ( x a ) . {\displaystyle g_{avg}(0)={\frac {1}{a}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\operatorname {rect} \left({\frac {x}{a}}\right).} g ( 0 ) {\displaystyle g(0)}
g ( 0 ) = lim a → 0 1 a ∫ − ∞ ∞ d x g ( x ) rect ( x a ) {\displaystyle g(0)=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\operatorname {rect} \left({\frac {x}{a}}\right)} g ( 0 ) = ∫ − ∞ ∞ d x g ( x ) δ ( x ) . {\displaystyle g(0)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\delta (x).} δ ( t ) {\displaystyle \delta (t)}
δ ( f ) = ∫ − ∞ ∞ δ ( t ) ⋅ e − i 2 π f t d t = lim a → 0 1 a ∫ − ∞ ∞ rect ( t a ) ⋅ e − i 2 π f t d t = lim a → 0 sinc ( a f ) . {\displaystyle \delta (f)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} \left({\frac {t}{a}}\right)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=\lim _{a\to 0}\operatorname {sinc} {(af)}.} función sinc f = 1 / a {\displaystyle f=1/a} a {\displaystyle a} δ ( t ) {\displaystyle \delta (t)}
δ ( f ) = 1 , {\displaystyle \delta (f)=1,} Ver también Referencias ^ Investigación Wolfram (2008). "HeavisidePi, función de Wolfram Language" . Consultado el 11 de octubre de 2022 . ^ ab Weisstein, Eric W. "Función de rectángulo". MundoMatemático . ^ Wang, Ruye (2012). Introducción a las transformaciones ortogonales: con aplicaciones en procesamiento y análisis de datos. Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 135-136. ISBN 9780521516884 . ^ Espiga, KT (2007). Métodos Matemáticos para Ingenieros y Científicos: Análisis de Fourier, ecuaciones diferenciales parciales y modelos variacionales. Saltador. pag. 85.ISBN 9783540446958 . ^ Kumar, A.Anand (2011). Señales y Sistemas. PHI Aprendizaje Pvt. Limitado. Ltd. págs. 258–260. ISBN 9788120343108 . ^ Klauder, John R (1960). "La teoría y el diseño de radares Chirp". Revista técnica del sistema Bell . 39 (4): 745–808. doi :10.1002/j.1538-7305.1960.tb03942.x. ^ Woodward, Philipp M (1953). Probabilidad y Teoría de la Información, con Aplicaciones al Radar . Prensa de Pérgamo. pag. 29. ^ Higgins, John Rowland (1996). Teoría del muestreo en Fourier y análisis de señales: fundamentos . Oxford University Press Inc. pag. 4.ISBN 0198596995 .^ Zayed, Ahmed I (1996). Manual de transformaciones de funciones y funciones generalizadas . Prensa CRC. pag. 507.ISBN 9780849380761 .^ Wolfram MathWorld, https://mathworld.wolfram.com/SincFunction.html ^ Khare, Kedar; Butola, Mansi; Rajora, Sunaina (2023). "Capítulo 2.4 Muestreo mediante promedios, distribuciones y función delta". Óptica de Fourier e imágenes computacionales (2ª ed.). Saltador. págs. 15-16. doi :10.1007/978-3-031-18353-9. ISBN 978-3-031-18353-9 .