peine de dirac

Distribución periódica ("función") del muestreo delta de Dirac de "masa puntual"

La gráfica de la función peine de Dirac es una serie infinita de funciones delta de Dirac espaciadas en intervalos de T

En matemáticas , un peine de Dirac (también conocido como función sha , tren de impulsos o función de muestreo ) es una función periódica con la fórmula

$${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)\ :=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)}$$

^[1]tlos números enteros k.función delta de Diracdistribuciones templadas^{[2] [3]}peinedientescirílica sha ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$

El símbolo , donde se omite el período, representa un peine de Dirac de período unitario. Esto implica ^[1] ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} \,\,(t)}$

$${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)\ ={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} \ \!\!\!\left({\frac {t}{T}}\right).}$$

Debido a que la función de peine de Dirac es periódica, se puede representar como una serie de Fourier basada en el núcleo de Dirichlet : ^[1]

$${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi n{\frac {t}{T}}}.}$$

La función de peine de Dirac permite representar fenómenos continuos y discretos , como muestreo y aliasing , en un marco único de análisis continuo de Fourier en distribuciones templadas, sin ninguna referencia a series de Fourier. La transformada de Fourier de un peine de Dirac es otro peine de Dirac. Debido al teorema de convolución sobre distribuciones templadas que resulta ser la fórmula de suma de Poisson , en el procesamiento de señales , el peine de Dirac permite modelar el muestreo por multiplicación con él, pero también permite modelar la periodización por convolución con él. ^[4]

Identidad de Dirac-comb

El peine de Dirac se puede construir de dos maneras, ya sea usando el operador peine (realizando muestreo ) aplicado a la función que es constante o, alternativamente, usando el operador rep (realizando periodización ) aplicado al delta de Dirac . Formalmente, esto produce (Woodward 1953; Brandwood 2003) ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \delta }$

$${\displaystyle \operatorname {comb} _{T}\{1\}=\operatorname {\text{Ш}} _{T}=\operatorname {rep} _{T}\{\delta \},}$$

$${\displaystyle \operatorname {comb} _{T}\{f(t)\}\triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }\,f(kT)\,\delta (t-kT)}$$

$${\displaystyle \operatorname {rep} _{T}\{g(t)\}\triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }\,g(t-kT).}$$

En el procesamiento de señales , esta propiedad, por un lado, permite muestrear una función mediante multiplicación por y, por otro lado, también permite la periodización por convolución ( Bracewell 1986 ). La identidad del peine de Dirac es un caso particular del teorema de convolución para distribuciones templadas. ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}}$

Escalada

La propiedad de escala del peine de Dirac se deriva de las propiedades de la función delta de Dirac . Dado que ^[5] para números reales positivos , se deduce que: ${\displaystyle \delta (t)={\frac {1}{a}}\ \delta \!\left({\frac {t}{a}}\right)}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}\left(t\right)={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} \,\!\left({\frac {t}{T}}\right),}$$

$${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ aT}\left(t\right)={\frac {1}{aT}}\operatorname {\text{Ш}} \,\!\left({\frac {t}{aT}}\right)={\frac {1}{a}}\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}\!\!\left({\frac {t}{a}}\right).}$$

${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}}$

series de Fourier

Está claro que es periódico con punto . Eso es, ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)}$ ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t+T)=\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)}$$

t

$${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{i2\pi n{\frac {t}{T}}},}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}&={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)e^{-i2\pi n{\frac {t}{T}}}\,dt\quad (-\infty <t_{0}<+\infty )\\&={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)e^{-i2\pi n{\frac {t}{T}}}\,dt\\&={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\delta (t)e^{-i2\pi n{\frac {t}{T}}}\,dt\\&={\frac {1}{T}}e^{-i2\pi n{\frac {0}{T}}}\\&={\frac {1}{T}}.\end{aligned}}}$$

Todos los coeficientes de Fourier son 1/ T, lo que da como resultado

$${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\!\!e^{i2\pi n{\frac {t}{T}}}.}$$

Cuando el período es una unidad, esto se simplifica a

$${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} \ \!(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\!\!e^{i2\pi nx}.}$$

Observación : Más rigurosamente, la integración de Riemann o Lebesgue sobre cualquier producto que incluya una función delta de Dirac produce cero. Por esta razón, la integración anterior (determinación de los coeficientes de la serie de Fourier) debe entenderse "en el sentido de funciones generalizadas". Esto significa que, en lugar de usar la función característica de un intervalo aplicada al peine de Dirac, se usa la llamada función unitaria de Lighthill como función de corte; ver Lighthill 1958, p.62, Teorema 22 para más detalles.

Transformada de Fourier

La transformada de Fourier de un peine de Dirac es también un peine de Dirac. Para la transformada de Fourier expresada en el dominio de la frecuencia (Hz), el peine de período de Dirac se transforma en un peine de período de Dirac reescalado, es decir, para ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 1/T,}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[f\right](\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }dtf(t)e^{-2\pi i\xi t},}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[\operatorname {\text{Ш}} _{T}\right](\xi )={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\xi -k{\frac {1}{T}})={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\ {\frac {1}{T}}}(\xi )~}$

es proporcional a otro peine de Dirac, pero con período en el dominio de la frecuencia (radianes/s). El peine de Dirac del período unitario es, por tanto, una función propia del valor propio ${\displaystyle 1/T}$ ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} }$ ${\displaystyle T=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle 1.}$

Este resultado puede establecerse (Bracewell 1986) considerando las respectivas transformadas de Fourier de la familia de funciones definidas por ${\displaystyle S_{\tau }(\xi )={\mathcal {F}}[s_{\tau }](\xi )}$ ${\displaystyle s_{\tau }(x)}$

${\displaystyle s_{\tau }(x)=\tau ^{-1}e^{-\pi \tau ^{2}x^{2}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-\pi \tau ^{-2}(x-n)^{2}}.}$

Dado que es una serie convergente de funciones gaussianas , y las gaussianas se transforman en gaussianas , cada una de sus respectivas transformadas de Fourier también resulta en una serie de gaussianas, y el cálculo explícito establece que ${\displaystyle s_{\tau }(x)}$ ${\displaystyle S_{\tau }(\xi )}$

${\displaystyle S_{\tau }(\xi )=\tau ^{-1}\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{-\pi \tau ^{2}m^{2}}e^{-\pi \tau ^{-2}(\xi -m)^{2}}.}$

Por lo tanto, cada una de las funciones y se asemeja a una función periódica que consta de una serie de picos gaussianos equidistantes y cuyas respectivas "alturas" (prefactores) están determinadas por funciones de envolvente gaussianas que disminuyen lentamente y que caen a cero en el infinito. Tenga en cuenta que en el límite cada pico gaussiano se convierte en un impulso de Dirac infinitamente agudo centrado respectivamente en y para cada respectivo y y , por lo tanto, también todos los prefactores eventualmente se vuelven indistinguibles de . Por lo tanto, las funciones y sus respectivas transformadas de Fourier convergen en la misma función y esta función límite es una serie de infinitos picos gaussianos equidistantes, cada pico se multiplica por el mismo prefactor de uno, es decir, el peine de Dirac para el período unitario: ${\displaystyle s_{\tau }(x)}$ ${\displaystyle S_{\tau }(\xi )}$ ${\displaystyle \tau ^{-1}e^{-\pi \tau ^{-2}(x-n)^{2}}}$ ${\displaystyle \tau ^{-1}e^{-\pi \tau ^{-2}(\xi -m)^{2}}}$ ${\displaystyle \tau \rightarrow 0}$ ${\displaystyle x=n}$ ${\displaystyle \xi =m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle e^{-\pi \tau ^{2}m^{2}}}$ ${\displaystyle S_{\tau }(\xi )}$ ${\displaystyle e^{-\pi \tau ^{2}\xi ^{2}}}$ ${\displaystyle s_{\tau }(x)}$ ${\displaystyle S_{\tau }(\xi )}$

${\displaystyle \lim _{\tau \rightarrow 0}s_{\tau }(x)=\operatorname {\text{Ш}} ({x}),}$ y ${\displaystyle \lim _{\tau \rightarrow 0}S_{\tau }(\xi )=\operatorname {\text{Ш}} ({\xi }).}$

Puesto que , obtenemos en este límite el resultado a demostrar: ${\displaystyle S_{\tau }={\mathcal {F}}[s_{\tau }]}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}[\operatorname {\text{Ш}} ]=\operatorname {\text{Ш}} .}$

El resultado correspondiente al período se puede encontrar explotando la propiedad de escala de la transformada de Fourier , ${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}[\operatorname {\text{Ш}} _{T}]={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\frac {1}{T}}.}$

Otra forma de establecer que el peine de Dirac se transforma en otro peine de Dirac comienza examinando las transformadas continuas de Fourier de funciones periódicas en general, y luego se especializa en el caso del peine de Dirac. Para mostrar también que la regla específica depende de la convención de la transformada de Fourier, esto se mostrará usando la frecuencia angular y para cualquier función periódica su transformada de Fourier. ${\displaystyle \omega =2\pi \xi :}$ ${\displaystyle f(t)=f(t+T)}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[f\right](\omega )=F(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }dtf(t)e^{-i\omega t}}$ obedece:

${\displaystyle F(\omega )(1-e^{i\omega T})=0}$

porque la transformada de Fourier y conduce a y Esta ecuación implica que casi en todas partes, con las únicas excepciones posibles que se encuentran en con y Al evaluar la transformada de Fourier en la expresión de la serie de Fourier correspondiente, se obtiene una función delta correspondiente. Para el caso especial de la transformada de Fourier del peine de Dirac, la integral en serie de Fourier durante un solo período cubre solo la función de Dirac en el origen y, por lo tanto, da para cada uno de ellos. Esto se puede resumir interpretando el peine de Dirac como un límite del núcleo de Dirichlet. de modo que, en las posiciones, todos los exponenciales de la suma apunten en la misma dirección y se sumen constructivamente. En otras palabras, la transformada continua de Fourier de funciones periódicas conduce a ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle f(t+T)}$ ${\displaystyle F(\omega )}$ ${\displaystyle F(\omega )e^{i\omega T}.}$ ${\displaystyle F(\omega )=0}$ ${\displaystyle \omega =k\omega _{0},}$ ${\displaystyle \omega _{0}=2\pi /T}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle F(k\omega _{0})}$ ${\displaystyle 1/T}$ ${\displaystyle k.}$ ${\displaystyle \omega =k\omega _{0},}$ ${\displaystyle \sum \nolimits _{m=-\infty }^{\infty }e^{\pm i\omega mT}}$

${\displaystyle F(\omega )=2\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}\delta (\omega -k\omega _{0})}$con ${\displaystyle \omega _{0}=2\pi /T,}$

y

${\displaystyle c_{k}={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{+T/2}dtf(t)e^{-i2\pi kt/T}.}$

Los coeficientes de la serie de Fourier para todos cuando , es decir ${\displaystyle c_{k}=1/T}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f\rightarrow \operatorname {\text{Ш}} _{T}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[\operatorname {\text{Ш}} _{T}\right](\omega )={\frac {2\pi }{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -k{\frac {2\pi }{T}})}$

es otro peine de Dirac, pero con período en el dominio de la frecuencia angular (radianes/s). ${\displaystyle 2\pi /T}$

Como se mencionó, la regla específica depende de la convención de la transformada de Fourier utilizada. De hecho, cuando se utiliza la propiedad de escala de la función delta de Dirac, lo anterior se puede reexpresar en el dominio de frecuencia ordinario (Hz) y se obtiene nuevamente:

$${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t){\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}{\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\ {\frac {1}{T}}}(\xi )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\!\!e^{-i2\pi \xi nT},}$$

tal que el período unitario peine de Dirac se transforma en sí mismo:

$${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} \ \!(t){\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\operatorname {\text{Ш}} \ \!(\xi ).}$$

Finalmente, el peine de Dirac también es una función propia de la transformada unitaria continua de Fourier en el espacio de frecuencia angular para el valor propio 1 cuando porque para la transformada unitaria de Fourier ${\displaystyle T={\sqrt {2\pi }}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[f\right](\omega )=F(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }dtf(t)e^{-i\omega t},}$

lo anterior puede reexpresarse como

$${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t){\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}{\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\ {\frac {2\pi }{T}}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\!\!e^{-i\omega nT}.}$$

Muestreo y alias

Multiplicar cualquier función por un peine de Dirac la transforma en un tren de impulsos con integrales iguales al valor de la función en los nodos del peine. Esta operación se utiliza frecuentemente para representar el muestreo.

$${\displaystyle (\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}x)(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\!\!x(t)\delta (t-kT)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\!\!x(kT)\delta (t-kT).}$$

Debido a la propiedad de autotransformación del peine de Dirac y al teorema de convolución , esto corresponde a una convolución con el peine de Dirac en el dominio de la frecuencia.

$${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}x\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ {\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\frac {1}{T}}*X}$$

Dado que la convolución con una función delta equivale a desplazar la función en , la convolución con el peine de Dirac corresponde a la replicación o suma periódica : ${\displaystyle \delta (t-kT)}$ ${\displaystyle kT}$

${\displaystyle (\operatorname {\text{Ш}} _{\ {\frac {1}{T}}}\!*X)(f)=\!\sum _{k=-\infty }^{\infty }\!\!X\!\left(f-{\frac {k}{T}}\right)}$

Esto conduce a una formulación natural del teorema de muestreo de Nyquist-Shannon . Si el espectro de la función no contiene frecuencias superiores a B (es decir, su espectro es distinto de cero sólo en el intervalo ), entonces las muestras de la función original a intervalos son suficientes para reconstruir la señal original. Basta con multiplicar el espectro de la función muestreada por una función rectangular adecuada, lo que equivale a aplicar un filtro de paso bajo de pared de ladrillos . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (-B,B)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2B}}}$

${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ \!{\frac {1}{2B}}}x\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ \ 2B\,\operatorname {\text{Ш}} _{\ 2B}*X}$

${\displaystyle {\frac {1}{2B}}\Pi \left({\frac {f}{2B}}\right)(2B\,\operatorname {\text{Ш}} _{\ 2B}*X)=X}$

En el dominio del tiempo, esta "multiplicación con la función rect" es equivalente a "convolución con la función sinc" (Woodward 1953, p.33-34). Por lo tanto, restaura la función original a partir de sus muestras. Esto se conoce como fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon .

Observación : Más rigurosamente, la multiplicación de la función rect con una función generalizada, como el peine de Dirac, falla. Esto se debe a resultados indeterminados del producto de multiplicación en los límites del intervalo. Como solución alternativa, se utiliza una función unitaria de Lighthill en lugar de la función rect. Es suave en los límites de los intervalos, por lo que produce determinados productos de multiplicación en todas partes; consulte Lighthill 1958, p.62, Teorema 22 para más detalles.

Uso en estadísticas direccionales

En estadística direccional , el peine de período de Dirac es equivalente a una función delta de Dirac envuelta y es el análogo de la función delta de Dirac en estadística lineal. ${\displaystyle 2\pi }$

En estadística lineal, la variable aleatoria generalmente se distribuye sobre la recta de números reales, o algún subconjunto de la misma, y ​​la densidad de probabilidad de es una función cuyo dominio es el conjunto de números reales y cuya integral desde hasta es la unidad. En estadística direccional, la variable aleatoria se distribuye sobre el círculo unitario, y la densidad de probabilidad es una función cuyo dominio es algún intervalo de los números reales de longitud y cuya integral sobre ese intervalo es la unidad. Así como la integral del producto de una función delta de Dirac con una función arbitraria sobre la recta de números reales produce el valor de esa función en cero, así la integral del producto de una combinación de período de Dirac con una función arbitraria de período sobre el círculo unitario produce el valor de esa función en cero. ${\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle (\theta )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$

Ver también

• Filtro de peine
• Peine de frecuencia
• Fórmula de suma de Poisson

Referencias

1. "El peine de Dirac y su transformada de Fourier - DSPIllustrations.com". dspilustraciones.com . Consultado el 28 de junio de 2022 .
2. Schwartz, L. (1951), Théorie des Distributions , vol. Tomo I, Tomo II, Hermann, París
3. Strichartz, R. (1994), Una guía para la teoría de la distribución y las transformadas de Fourier , CRC Press, ISBN 0-8493-8273-4
4. Bracewell, RN (1986), La transformada de Fourier y sus aplicaciones (edición revisada), McGraw-Hill; 1ª edición. 1965, 2ª ed. 1978.
5. Rahman, M. (2011), Aplicaciones de las transformadas de Fourier a funciones generalizadas , WIT Press Southampton, Boston, ISBN 978-1-84564-564-9.

Otras lecturas

• Brandwood, D. (2003), Transformadas de Fourier en radar y procesamiento de señales , Artech House, Boston, Londres.
• Córdoba, A (1989), "Peines de Dirac", Letras en Física Matemática , 17 (3): 191–196, Bibcode :1989LMaPh..17..191C, doi :10.1007/BF00401584, S2CID  189883287
• Woodward, PM (1953), Probabilidad y teoría de la información, con aplicaciones al radar , Pergamon Press, Oxford, Londres, Edimburgo, Nueva York, París, Frankfurt.
• Lighthill, MJ (1958), Introducción al análisis de Fourier y funciones generalizadas , Cambridge University Press, Cambridge, Reino Unido.