Función de tienda, a menudo utilizada en el procesamiento de señales.
Función triangular ejemplar Una función triangular (también conocida como función de triángulo , función de sombrero o función de tienda ) es una función cuyo gráfico adopta la forma de un triángulo. A menudo, se trata de un triángulo isósceles de altura 1 y base 2, en cuyo caso se denomina función triangular. Las funciones triangulares son útiles en el procesamiento de señales y la ingeniería de sistemas de comunicación como representaciones de señales idealizadas, y la función triangular específicamente como una función de núcleo de transformación integral a partir de la cual se pueden derivar señales más realistas, por ejemplo, en la estimación de la densidad del núcleo . También tiene aplicaciones en la modulación de código de pulso como una forma de pulso para transmitir señales digitales y como un filtro adaptado para recibir las señales. También se utiliza para definir la ventana triangular a veces llamada ventana de Bartlett .
Definiciones La definición más común es como una función por partes:
tres ( incógnita ) = O ( incógnita ) = definición máximo ( 1 − | incógnita | , 0 ) = { 1 − | incógnita | , | incógnita | < 1 ; 0 de lo contrario . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (x)=\Lambda (x)\ &{\overset {\underset {\text{def}}{}}{=}}\ \max {\big (}1-|x|,0{\big )}\\&={\begin{cases}1-|x|,&|x|<1;\\0&{\text{de lo contrario}}.\\\end{cases}}\end{aligned}}} De manera equivalente, puede definirse como la convolución de dos funciones rectangulares unitarias idénticas :
tres ( incógnita ) = recto ( incógnita ) ∗ recto ( incógnita ) = ∫ − ∞ ∞ recto ( incógnita − τ ) ⋅ recto ( τ ) d τ . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (x)&=\operatorname {rect} (x)*\operatorname {rect} (x)\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (x-\tau )\cdot \operatorname {rect} (\tau )\,d\tau .\\\end{aligned}}} La función triangular también se puede representar como el producto de las funciones rectangular y de valor absoluto :
tres ( incógnita ) = recto ( incógnita / 2 ) ( 1 − | incógnita | ) . {\displaystyle \operatorname {tri} (x)=\operatorname {rect} (x/2){\big (}1-|x|{\big )}.} Función triangular alternativa Tenga en cuenta que algunos autores definen la función triangular como si tuviera una base de ancho 1 en lugar de ancho 2:
tres ( 2 incógnita ) = O ( 2 incógnita ) = definición máximo ( 1 − 2 | incógnita | , 0 ) = { 1 − 2 | incógnita | , | incógnita | < 1 2 ; 0 de lo contrario . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (2x)=\Lambda (2x)\ &{\overset {\underset {\text{def}}{}}{=}}\ \max {\big (}1-2|x|,0{\big )}\\&={\begin{cases}1-2|x|,&|x|<{\tfrac {1}{2}};\\0&{\text{de lo contrario}}.\\\end{cases}}\end{aligned}}} En su forma más general, una función triangular es cualquier B-spline lineal : [1]
tres yo ( incógnita ) = { ( incógnita − incógnita yo − 1 ) / ( incógnita yo − incógnita yo − 1 ) , incógnita yo − 1 ≤ incógnita < incógnita yo ; ( incógnita yo + 1 − incógnita ) / ( incógnita yo + 1 − incógnita yo ) , incógnita yo ≤ incógnita < incógnita yo + 1 ; 0 de lo contrario . {\displaystyle \operatorname {tri} _{j}(x)={\begin{cases}(x-x_{j-1})/(x_{j}-x_{j-1}),&x_{j-1}\leq x<x_{j};\\(x_{j+1}-x)/(x_{j+1}-x_{j}),&x_{j}\leq x<x_{j+1};\\0&{\text{de lo contrario}}.\end{cases}}} Mientras que la definición en la parte superior es un caso especial
O ( incógnita ) = tres yo ( incógnita ) , {\displaystyle \Lambda (x)=\operatorname {tri} _{j}(x),} donde , , y . incógnita yo − 1 = − 1 Estilo de visualización x_{j-1}=-1 incógnita yo = 0 {\displaystyle x_{j}=0} incógnita yo + 1 = 1 Estilo de visualización x_{j+1}=1
Una B-spline lineal es lo mismo que una función lineal continua por partes , y esta función triangular general es útil para definir formalmente como F ( incógnita ) {\estilo de visualización f(x)} F ( incógnita ) {\estilo de visualización f(x)}
F ( incógnita ) = ∑ yo y yo ⋅ tres yo ( incógnita ) , {\displaystyle f(x)=\sum _{j}y_{j}\cdot \operatorname {tri} _{j}(x),} donde para todo entero . La función lineal por partes pasa por cada punto expresado como coordenadas con par ordenado , es decir, incógnita yo < incógnita yo + 1 {\displaystyle x_{j}<x_{j+1}} yo {\estilo de visualización j} ( incógnita yo , y yo ) {\displaystyle (x_{j},y_{j})}
F ( incógnita yo ) = y yo {\displaystyle f(x_{j})=y_{j}}
Escalada Para cualquier parámetro : a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0}
tres ( a a ) = ∫ − ∞ ∞ 1 | a | recto ( τ a ) ⋅ recto ( a − τ a ) d τ = { 1 − | a / a | , | a | < | a | ; 0 de lo contrario . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} \left({\tfrac {t}{a}}\right)&=\int _{-\infty }^{\infty }{\tfrac {1}{|a|}}\operatorname {rect} \left({\tfrac {\tau }{a}}\right)\cdot \operatorname {rect} \left({\tfrac {t-\tau }{a}}\right)\,d\tau \\&={\begin{cases}1-|t/a|,&|t|<|a|;\\0&{\text{de lo contrario}}.\end{cases}}\end{aligned}}}
Transformada de Fourier La transformación se determina fácilmente utilizando la propiedad de convolución de las transformadas de Fourier y la transformada de Fourier de la función rectangular :
F { tres ( a ) } = F { recto ( a ) ∗ recto ( a ) } = F { recto ( a ) } ⋅ F { recto ( a ) } = F { recto ( a ) } 2 = s i norte do 2 ( F ) , {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{\operatorname {tri} (t)\}&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)*\operatorname {rect} (t)\}\\&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}\cdot {\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}\\&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}^{2}\\&=\mathrm {sinc} ^{2}(f),\end{aligned}}} donde es la función sinc normalizada . Sincronización ( incógnita ) = pecado ( π incógnita ) / ( π incógnita ) {\displaystyle \operatorname {sinc} (x)=\sin(\pi x)/(\pi x)}
Véase también
Referencias ^ "Propiedades básicas de splines y B-splines" (PDF) . INF-MAT5340 Apuntes de clase. pág. 38. 
