función rectangular

Función cuya gráfica es 0, luego 1, luego 0 nuevamente, de forma continua casi en todas partes

Función rectangular con a = 1

La función rectangular (también conocida como función rectángulo , función rect , función Pi , función Pi de Heaviside , ^[1] función de compuerta , pulso unitario o función de furgón normalizado ) se define como ^[2]

$${\displaystyle \operatorname {rect} \left({\frac {t}{a}}\right)=\Pi \left({\frac {t}{a}}\right)=\left\{{\begin{array}{rl}0,&{\text{if }}|t|>{\frac {a}{2}}\\{\frac {1}{2}},&{\text{if }}|t|={\frac {a}{2}}\\1,&{\text{if }}|t|<{\frac {a}{2}}.\end{array}}\right.}$$

Las definiciones alternativas de la función definen como 0, ^[3] 1, ^{[4] [5]} o indefinida. ${\textstyle \operatorname {rect} \left(\pm {\frac {1}{2}}\right)}$

Su versión periódica se llama onda rectangular .

Historia

La función rect ha sido introducida por Woodward ^[6] en ^{[7] como un} operador de corte ideal , junto con la función sinc ^{[8] [9] como un} operador de interpolación ideal , y sus contraoperaciones que son muestreo ( operador peine ) y replicando ( operador rep ), respectivamente.

Relación con la función del furgón

La función rectangular es un caso especial de la función furgón más general :

$${\displaystyle \operatorname {rect} \left({\frac {t-X}{Y}}\right)=H(t-(X-Y/2))-H(t-(X+Y/2))=H(t-X+Y/2)-H(t-X-Y/2)}$$

¿Dónde está la función de paso de Heaviside ? la función está centrada en y tiene duración , desde hasta ${\displaystyle H(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X-Y/2}$ ${\displaystyle X+Y/2.}$

Transformada de Fourier de la función rectangular

Gráfico de función normalizada (es decir ) con sus componentes de frecuencia espectral. ${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)}$ ${\displaystyle \operatorname {sinc} (\pi x)}$

Las transformadas unitarias de Fourier de la función rectangular son ^[2]

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt={\frac {\sin(\pi f)}{\pi f}}=\operatorname {sinc} _{\pi }(f),}$$

f^[10]función sinc ${\displaystyle \operatorname {sinc} _{\pi }}$

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\frac {\sin \left(\omega /2\right)}{\omega /2}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\operatorname {sinc} \left(\omega /2\right),}$$

función sinc ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \operatorname {sinc} }$

Para , su transformada de Fourier es ${\displaystyle \operatorname {rect} (x/a)}$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} \left({\frac {t}{a}}\right)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=a{\frac {\sin(\pi af)}{\pi af}}=a\ \operatorname {sinc} _{\pi }{(af)}.}$$

Relación con la función triangular

Podemos definir la función triangular como la convolución de dos funciones rectangulares:

$${\displaystyle \operatorname {tri} =\operatorname {rect} *\operatorname {rect} .\,}$$

Usar en probabilidad

Viendo la función rectangular como una función de densidad de probabilidad , es un caso especial de distribución uniforme continua con La función característica es ${\displaystyle a=-1/2,b=1/2.}$

$${\displaystyle \varphi (k)={\frac {\sin(k/2)}{k/2}},}$$

y su función generadora de momentos es

$${\displaystyle M(k)={\frac {\sinh(k/2)}{k/2}},}$$

¿Dónde está la función seno hiperbólica ? ${\displaystyle \sinh(t)}$

Aproximación racional

La función de pulso también se puede expresar como un límite de una función racional :

$${\displaystyle \Pi (t)=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}.}$$

Demostración de validez

Primero, consideramos el caso en el que Note que el término siempre es positivo para números enteros y , por lo tanto, se aproxima a cero para números grandes. ${\textstyle |t|<{\frac {1}{2}}.}$ ${\textstyle (2t)^{2n}}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle 2t<1}$ ${\textstyle (2t)^{2n}}$ ${\displaystyle n.}$

Resulta que:

$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\frac {1}{0+1}}=1,|t|<{\tfrac {1}{2}}.}$$

En segundo lugar, consideramos el caso en el que Note que el término siempre es positivo para números enteros y , por lo tanto, crece mucho para números grandes. ${\textstyle |t|>{\frac {1}{2}}.}$ ${\textstyle (2t)^{2n}}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle 2t>1}$ ${\textstyle (2t)^{2n}}$ ${\displaystyle n.}$

Resulta que:

$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\frac {1}{+\infty +1}}=0,|t|>{\tfrac {1}{2}}.}$$

En tercer lugar, consideramos el caso en el que podemos simplemente sustituir en nuestra ecuación: ${\textstyle |t|={\frac {1}{2}}.}$

$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{1^{2n}+1}}={\frac {1}{1+1}}={\tfrac {1}{2}}.}$$

Vemos que satisface la definición de función de pulso. Por lo tanto,

$${\displaystyle \operatorname {rect} (t)=\Pi (t)=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}|t|>{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\mbox{if }}|t|={\frac {1}{2}}\\1&{\mbox{if }}|t|<{\frac {1}{2}}.\\\end{cases}}}$$

Función delta de Dirac

La función rectángulo se puede utilizar para representar la función delta de Dirac . ^[11] Específicamente, ${\displaystyle \delta (x)}$

$${\displaystyle \delta (x)=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\operatorname {rect} \left({\frac {x}{a}}\right).}$$

${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle g_{avg}(0)={\frac {1}{a}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\operatorname {rect} \left({\frac {x}{a}}\right).}$$

${\displaystyle g(0)}$

$${\displaystyle g(0)=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\operatorname {rect} \left({\frac {x}{a}}\right)}$$

$${\displaystyle g(0)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\delta (x).}$$

${\displaystyle \delta (t)}$

$${\displaystyle \delta (f)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} \left({\frac {t}{a}}\right)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=\lim _{a\to 0}\operatorname {sinc} {(af)}.}$$

función sinc ${\displaystyle f=1/a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \delta (t)}$

$${\displaystyle \delta (f)=1,}$$

Ver también

• Transformada de Fourier
• Ola cuadrada
• Función de paso
• Filtro de sombrero de copa
• Función de furgón

Referencias

1. Investigación Wolfram (2008). "HeavisidePi, función de Wolfram Language" . Consultado el 11 de octubre de 2022 .
2. Weisstein, Eric W. "Función de rectángulo". MundoMatemático .
3. Wang, Ruye (2012). Introducción a las transformaciones ortogonales: con aplicaciones en procesamiento y análisis de datos. Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 135-136. ISBN 9780521516884.
4. Espiga, KT (2007). Métodos Matemáticos para Ingenieros y Científicos: Análisis de Fourier, ecuaciones diferenciales parciales y modelos variacionales. Saltador. pag. 85.ISBN​ 9783540446958.
5. Kumar, A.Anand (2011). Señales y Sistemas. PHI Aprendizaje Pvt. Limitado. Ltd. págs. 258–260. ISBN 9788120343108.
6. Klauder, John R (1960). "La teoría y el diseño de radares Chirp". Revista técnica del sistema Bell . 39 (4): 745–808. doi :10.1002/j.1538-7305.1960.tb03942.x.
7. Woodward, Philipp M (1953). Probabilidad y Teoría de la Información, con Aplicaciones al Radar . Prensa de Pérgamo. pag. 29.
8. Higgins, John Rowland (1996). Teoría del muestreo en Fourier y análisis de señales: fundamentos . Oxford University Press Inc. pag. 4.ISBN​ 0198596995.
9. Zayed, Ahmed I (1996). Manual de transformaciones de funciones y funciones generalizadas . Prensa CRC. pag. 507.ISBN​ 9780849380761.
10. Wolfram MathWorld, https://mathworld.wolfram.com/SincFunction.html
11. Khare, Kedar; Butola, Mansi; Rajora, Sunaina (2023). "Capítulo 2.4 Muestreo mediante promedios, distribuciones y función delta". Óptica de Fourier e imágenes computacionales (2ª ed.). Saltador. págs. 15-16. doi :10.1007/978-3-031-18353-9. ISBN 978-3-031-18353-9.