Estimación de densidad espectral

Técnica de procesamiento de señales.

En el procesamiento estadístico de señales , el objetivo de la estimación de la densidad espectral ( SDE ) o simplemente la estimación espectral es estimar la densidad espectral (también conocida como densidad espectral de potencia ) de una señal a partir de una secuencia de muestras de tiempo de la señal. ^[1] Intuitivamente hablando, la densidad espectral caracteriza el contenido de frecuencia de la señal. Uno de los propósitos de estimar la densidad espectral es detectar cualquier periodicidad en los datos, observando picos en las frecuencias correspondientes a estas periodicidades.

Algunas técnicas SDE suponen que una señal se compone de un número limitado (normalmente pequeño) de frecuencias generadoras más ruido y buscan encontrar la ubicación y la intensidad de las frecuencias generadas. Otros no hacen ninguna suposición sobre el número de componentes y tratan de estimar todo el espectro de generación.

Descripción general

Ejemplo de forma de onda de voz y su espectro de frecuencia.

Una forma de onda periódica ( onda triangular ) y su espectro de frecuencia, que muestra una frecuencia "fundamental" a 220 Hz seguida de múltiplos (armónicos) de 220 Hz.

La densidad espectral de potencia de un segmento de música se estima mediante dos métodos diferentes, a modo de comparación.

El análisis del espectro , también conocido como análisis del dominio de la frecuencia o estimación de la densidad espectral, es el proceso técnico de descomponer una señal compleja en partes más simples. Como se describió anteriormente, muchos procesos físicos se describen mejor como una suma de muchos componentes de frecuencia individuales. Cualquier proceso que cuantifique las distintas cantidades (por ejemplo, amplitudes, potencias, intensidades) versus la frecuencia (o fase ) puede denominarse análisis de espectro .

El análisis del espectro se puede realizar en toda la señal. Alternativamente, una señal se puede dividir en segmentos cortos (a veces llamados fotogramas ) y se puede aplicar un análisis de espectro a estos segmentos individuales. Las funciones periódicas (como ) son especialmente adecuadas para esta subdivisión. Las técnicas matemáticas generales para analizar funciones no periódicas entran en la categoría de análisis de Fourier . ${\displaystyle \sin(t)}$

La transformada de Fourier de una función produce un espectro de frecuencia que contiene toda la información sobre la señal original, pero en una forma diferente. Esto significa que la función original puede reconstruirse ( sintetizarse ) completamente mediante una transformada inversa de Fourier . Para una reconstrucción perfecta, el analizador de espectro debe preservar tanto la amplitud como la fase de cada componente de frecuencia. Estas dos piezas de información se pueden representar como un vector bidimensional, como un número complejo o como magnitud (amplitud) y fase en coordenadas polares (es decir, como un fasor ). Una técnica común en el procesamiento de señales es considerar la amplitud o potencia al cuadrado ; en este caso, el gráfico resultante se denomina espectro de potencia .

Debido a la reversibilidad, la transformada de Fourier se denomina representación de la función, en términos de frecuencia en lugar de tiempo; por tanto, es una representación en el dominio de la frecuencia . Las operaciones lineales que podrían realizarse en el dominio del tiempo tienen contrapartes que a menudo pueden realizarse más fácilmente en el dominio de la frecuencia. El análisis de frecuencia también simplifica la comprensión y la interpretación de los efectos de diversas operaciones en el dominio del tiempo, tanto lineales como no lineales. Por ejemplo, sólo las operaciones no lineales o variables en el tiempo pueden crear nuevas frecuencias en el espectro de frecuencias.

En la práctica, casi todo el software y los dispositivos electrónicos que generan espectros de frecuencia utilizan una transformada de Fourier discreta (DFT), que opera con muestras de la señal y que proporciona una aproximación matemática a la solución integral completa. La DFT se implementa casi invariablemente mediante un algoritmo eficiente llamado transformada rápida de Fourier (FFT). La matriz de componentes de magnitud cuadrada de una DFT es un tipo de espectro de potencia llamado periodograma , que se usa ampliamente para examinar las características de frecuencia de funciones libres de ruido, como respuestas de impulso de filtro y funciones de ventana . Pero el periodograma no proporciona ganancia de procesamiento cuando se aplica a señales similares a ruido o incluso a sinusoides con relaciones señal-ruido bajas. En otras palabras, la varianza de su estimación espectral a una frecuencia determinada no disminuye a medida que aumenta el número de muestras utilizadas en el cálculo. Esto se puede mitigar promediando en el tiempo ( método de Welch ^[2] ) o sobre frecuencia ( suavizado ). El método de Welch se utiliza ampliamente para la estimación de la densidad espectral (SDE). Sin embargo, las técnicas basadas en periodogramas introducen pequeños sesgos que son inaceptables en algunas aplicaciones. Por eso, en la siguiente sección se presentan otras alternativas.

Técnicas

Se han desarrollado muchas otras técnicas de estimación espectral para mitigar las desventajas del periodograma básico. Estas técnicas generalmente se pueden dividir en métodos no paramétricos , paramétricos y , más recientemente, semiparamétricos (también llamados dispersos). ^[3] Los enfoques no paramétricos estiman explícitamente la covarianza o el espectro del proceso sin asumir que el proceso tiene ninguna estructura particular. Algunos de los estimadores más comunes que se utilizan para aplicaciones básicas (por ejemplo, el método de Welch ) son estimadores no paramétricos estrechamente relacionados con el periodograma. Por el contrario, los enfoques paramétricos suponen que el proceso estocástico estacionario subyacente tiene una determinada estructura que puede describirse utilizando una pequeña cantidad de parámetros (por ejemplo, utilizando un modelo autorregresivo o de media móvil ). En estos enfoques, la tarea es estimar los parámetros del modelo que describe el proceso estocástico. Cuando se utilizan métodos semiparamétricos, el proceso subyacente se modela utilizando un marco no paramétrico, con el supuesto adicional de que el número de componentes distintos de cero del modelo es pequeño (es decir, el modelo es disperso). También se pueden utilizar enfoques similares para la recuperación de datos faltantes ^[4], así como para la reconstrucción de señales .

A continuación se muestra una lista parcial de técnicas de estimación de densidad espectral:

• Métodos no paramétricos para los cuales las muestras de señales pueden estar espaciadas de manera desigual en el tiempo ( los registros pueden estar incompletos )
  • Análisis espectral de mínimos cuadrados , basado en el ajuste de mínimos cuadrados a frecuencias conocidas
  • Periodograma de Lomb-Scargle , una aproximación del análisis espectral de mínimos cuadrados
  • Transformada de Fourier discreta no uniforme

• Métodos no paramétricos en los que las muestras de señales deben estar espaciadas uniformemente en el tiempo ( los registros deben estar completos ):
  • Periodograma , el módulo al cuadrado de la transformada discreta de Fourier
  • El método de Bartlett es el promedio de los periodogramas tomados de múltiples segmentos de la señal para reducir la varianza de la estimación de la densidad espectral.
  • El método de Welch, una versión en ventana del método de Bartlett que utiliza segmentos superpuestos
  • Multitaper es un método basado en periodograma que utiliza múltiples conos o ventanas para formar estimaciones independientes de la densidad espectral para reducir la varianza de la estimación de la densidad espectral.
  • El análisis de espectro singular es un método no paramétrico que utiliza una descomposición en valores singulares de la matriz de covarianza para estimar la densidad espectral.
  • Transformada de Fourier de corto tiempo
  • El filtro crítico es un método no paramétrico basado en la teoría de campos de información que puede lidiar con ruido, datos incompletos y funciones de respuesta instrumental.
• Técnicas paramétricas (una lista incompleta):
  • Estimación del modelo autorregresivo (AR), que supone que la enésima muestra está correlacionada con las p muestras anteriores.
  • Estimación del modelo de media móvil (MA), que supone que la enésima muestra está correlacionada con los términos de ruido en las p muestras anteriores.
  • Estimación de media móvil autorregresiva (ARMA), que generaliza los modelos AR y MA.
  • La clasificación de señales múltiples (MÚSICA) es un método de superresolución popular .
  • La estimación de parámetros de señal mediante técnicas de invariancia rotacional (ESPRIT) es otro método de superresolución.
  • La estimación espectral de máxima entropía es un método multipolar útil para SDE cuando se esperan características espectrales singulares, como picos pronunciados.
• Técnicas semiparamétricas (una lista incompleta):
  • Estimación SParse basada en covarianza iterativa (SPICE), ^[3] y la más generalizada -SPICE. ^[5] ${\displaystyle (r,q)}$
  • Estimación del enfoque adaptativo iterativo (IAA). ^[6]
  • Lasso , similar al análisis espectral de mínimos cuadrados pero con una penalización por escasez. ^[7]

Estimación paramétrica

En la estimación espectral paramétrica, se supone que la señal se modela mediante un proceso estacionario que tiene una función de densidad espectral (SDF) que es función de la frecuencia y los parámetros . ^[8] El problema de estimación pasa entonces a ser el de estimar estos parámetros. ${\displaystyle S(f;a_{1},\ldots ,a_{p})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{p}}$

La forma más común de estimación SDF paramétrica utiliza como modelo un modelo de orden autorregresivo . ^{[8] : 392} Una secuencia de señales que obedece a un proceso de media cero satisface la ecuación ${\displaystyle {\text{AR}}(p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \{Y_{t}\}}$ ${\displaystyle {\text{AR}}(p)}$

${\displaystyle Y_{t}=\phi _{1}Y_{t-1}+\phi _{2}Y_{t-2}+\cdots +\phi _{p}Y_{t-p}+\epsilon _{t},}$

donde son coeficientes fijos y es un proceso de ruido blanco con media cero y varianza de innovación . El SDF para este proceso es ${\displaystyle \phi _{1},\ldots ,\phi _{p}}$ ${\displaystyle \epsilon _{t}}$ ${\displaystyle \sigma _{p}^{2}}$

${\displaystyle S(f;\phi _{1},\ldots ,\phi _{p},\sigma _{p}^{2})={\frac {\sigma _{p}^{2}\Delta t}{\left|1-\sum _{k=1}^{p}\phi _{k}e^{-2i\pi fk\Delta t}\right|^{2}}}\qquad |f|<f_{N},}$

con el intervalo de tiempo de muestreo y la frecuencia de Nyquist . ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle f_{N}}$

Existen varios enfoques para estimar los parámetros del proceso y, por tanto, la densidad espectral: ^{[8] : 452-453} ${\displaystyle \phi _{1},\ldots ,\phi _{p},\sigma _{p}^{2}}$ ${\displaystyle {\text{AR}}(p)}$

• Los estimadores de Yule-Walker se encuentran resolviendo recursivamente las ecuaciones de Yule-Walker para un proceso. ${\displaystyle {\text{AR}}(p)}$
• Los estimadores de Burg se encuentran tratando las ecuaciones de Yule-Walker como una forma de problema de mínimos cuadrados ordinarios. Los estimadores de Burg generalmente se consideran superiores a los estimadores de Yule-Walker. ^{[8] : 452} Burg los asoció con la estimación espectral de máxima entropía . ^[9]
• Los estimadores de mínimos cuadrados hacia adelante y hacia atrás tratan el proceso como un problema de regresión y lo resuelven utilizando el método hacia adelante y hacia atrás. Son competitivos con los estimadores de Burg. ${\displaystyle {\text{AR}}(p)}$
• Los estimadores de máxima verosimilitud estiman los parámetros utilizando un enfoque de máxima verosimilitud . Esto implica una optimización no lineal y es más complejo que los tres primeros.

Los métodos paramétricos alternativos incluyen el ajuste a un modelo de media móvil (MA) y a un modelo de media móvil autorregresivo completo (ARMA).

Estimación de frecuencia

La estimación de frecuencia es el proceso de estimar la frecuencia , amplitud y cambio de fase de una señal en presencia de ruido, dadas suposiciones sobre el número de componentes. ^[10] Esto contrasta con los métodos generales anteriores, que no hacen suposiciones previas sobre los componentes.

tono único

Si sólo se quiere estimar la frecuencia de la señal de tono puro más fuerte , se puede utilizar un algoritmo de detección de tono .

Si la frecuencia dominante cambia con el tiempo, entonces el problema pasa a ser la estimación de la frecuencia instantánea tal como se define en la representación tiempo-frecuencia . Los métodos para la estimación de frecuencia instantánea incluyen aquellos basados ​​en la distribución de Wigner-Ville y funciones de ambigüedad de orden superior . ^[11]

Si se quiere conocer todos los componentes de frecuencia (posiblemente complejos) de una señal recibida (incluidos la señal transmitida y el ruido), se utiliza un enfoque de tonos múltiples.

Múltiples tonos

Un modelo típico de una señal consta de una suma de exponenciales complejas en presencia de ruido blanco , ${\displaystyle x(n)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle w(n)}$

${\displaystyle x(n)=\sum _{i=1}^{p}A_{i}e^{jn\omega _{i}}+w(n)}$.

La densidad espectral de potencia se compone de funciones de impulso además de la función de densidad espectral debida al ruido. ${\displaystyle x(n)}$ ${\displaystyle p}$

Los métodos más comunes para la estimación de frecuencia implican identificar el subespacio de ruido para extraer estos componentes. Estos métodos se basan en la descomposición propia de la matriz de autocorrelación en un subespacio de señal y un subespacio de ruido. Una vez identificados estos subespacios, se utiliza una función de estimación de frecuencia para encontrar las frecuencias componentes del subespacio de ruido. Los métodos más populares de estimación de frecuencia basada en el subespacio de ruido son el método de Pisarenko , el método de clasificación de señales múltiples (MÚSICA), el método de vector propio y el método de norma mínima.

El método de Pisarenko.

${\displaystyle {\hat {P}}_{\text{PHD}}\left(e^{j\omega }\right)={\frac {1}{\left|\mathbf {e} ^{H}\mathbf {v} _{\text{min}}\right|^{2}}}}$

MÚSICA

${\displaystyle {\hat {P}}_{\text{MU}}\left(e^{j\omega }\right)={\frac {1}{\sum _{i=p+1}^{M}\left|\mathbf {e} ^{H}\mathbf {v} _{i}\right|^{2}}}}$,

Método de vector propio

${\displaystyle {\hat {P}}_{\text{EV}}\left(e^{j\omega }\right)={\frac {1}{\sum _{i=p+1}^{M}{\frac {1}{\lambda _{i}}}\left|\mathbf {e} ^{H}\mathbf {v} _{i}\right|^{2}}}}$

Método de norma mínima

${\displaystyle {\hat {P}}_{\text{MN}}\left(e^{j\omega }\right)={\frac {1}{\left|\mathbf {e} ^{H}\mathbf {a} \right|^{2}}};\ \mathbf {a} =\lambda \mathbf {P} _{n}\mathbf {u} _{1}}$

Cálculo de ejemplo

Supongamos que desde hasta es una serie de tiempo (tiempo discreto) con media cero. Supongamos que es la suma de un número finito de componentes periódicos (todas las frecuencias son positivas): ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle N-1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n}&=\sum _{k}A_{k}\sin(2\pi \nu _{k}n+\phi _{k})\\&=\sum _{k}A_{k}\left(\sin(\phi _{k})\cos(2\pi \nu _{k}n)+\cos(\phi _{k})\sin(2\pi \nu _{k}n)\right)\\&=\sum _{k}\left(\overbrace {a_{k}} ^{A_{k}\sin(\phi _{k})}\cos(2\pi \nu _{k}n)+\overbrace {b_{k}} ^{A_{k}\cos(\phi _{k})}\sin(2\pi \nu _{k}n)\right)\end{aligned}}}$

La varianza de es, para una función de media cero como la anterior, dada por ${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}^{2}.}$

Si estos datos fueran muestras tomadas de una señal eléctrica, esta sería su potencia promedio (la potencia es energía por unidad de tiempo, por lo que es análoga a la varianza si la energía es análoga a la amplitud al cuadrado).

Ahora, para simplificar, supongamos que la señal se extiende infinitamente en el tiempo, por lo que pasamos al límite como si la potencia promedio está acotada, que casi siempre es el caso en la realidad, entonces existe el siguiente límite y es la varianza de los datos. ${\displaystyle N\to \infty .}$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}^{2}.}$

Nuevamente, por simplicidad, pasaremos al tiempo continuo y supondremos que la señal se extiende infinitamente en el tiempo en ambas direcciones. Entonces estas dos fórmulas se convierten

${\displaystyle x(t)=\sum _{k}A_{k}\sin(2\pi \nu _{k}t+\phi _{k})}$

y

${\displaystyle \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}x(t)^{2}dt.}$

La raíz cuadrática media de es , por lo que la varianza de es Por lo tanto, la contribución a la potencia promedio de proveniente del componente con frecuencia es Todas estas contribuciones se suman a la potencia promedio de ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle A_{k}\sin(2\pi \nu _{k}t+\phi _{k})}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}A_{k}^{2}.}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle \nu _{k}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}A_{k}^{2}.}$ ${\displaystyle x(t).}$

Entonces la potencia en función de la frecuencia es y su función de distribución estadística acumulativa será ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}A_{k}^{2},}$ ${\displaystyle S(\nu )}$

${\displaystyle S(\nu )=\sum _{k:\nu _{k}<\nu }{\frac {1}{2}}A_{k}^{2}.}$

${\displaystyle S}$es una función escalonada , monótonamente no decreciente. Sus saltos ocurren en las frecuencias de los componentes periódicos de , y el valor de cada salto es la potencia o varianza de ese componente. ${\displaystyle x}$

La varianza es la covarianza de los datos consigo mismos. Si ahora consideramos los mismos datos pero con un retraso de , podemos tomar la covarianza de con y definirla como la función de autocorrelación de la señal (o datos) : ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x(t+\tau )}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle c(\tau )=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}x(t)x(t+\tau )dt.}$

Si existe, es una función par de Si la potencia promedio está acotada, entonces existe en todas partes, es finita y está acotada por cuál es la potencia promedio o la varianza de los datos. ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c(0),}$

Se puede demostrar que se puede descomponer en componentes periódicos con los mismos períodos que : ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle c(\tau )=\sum _{k}{\frac {1}{2}}A_{k}^{2}\cos(2\pi \nu _{k}\tau ).}$

De hecho, esta es la descomposición espectral de las diferentes frecuencias y está relacionada con la distribución de potencia de las frecuencias: la amplitud de un componente de frecuencia es su contribución a la potencia promedio de la señal. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$

El espectro de potencia de este ejemplo no es continuo y, por lo tanto, no tiene derivada y, por lo tanto, esta señal no tiene una función de densidad espectral de potencia. En general, el espectro de potencia suele ser la suma de dos partes: un espectro lineal como el de este ejemplo, que no es continuo y no tiene función de densidad, y un residuo, que es absolutamente continuo y sí tiene función de densidad. .

Ver también

• Estimación espectral multidimensional
• Periodograma
• SigSpec
• espectrograma
• Análisis tiempo-frecuencia
• Representación tiempo-frecuencia
• Probabilidad menor
• Distribución de energía espectral

Referencias

1. P Stoica y R Moses, Análisis espectral de señales, Prentice Hall, 2005.
2. Welch, PD (1967), "El uso de la transformada rápida de Fourier para la estimación de espectros de potencia: un método basado en el promedio de tiempo en periodogramas cortos modificados", IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics , AU-15 (2): 70 –73, código Bib :1967ITAE...15...70W, doi :10.1109/TAU.1967.1161901, S2CID  13900622
3. Stoica, Petre; Babu, Prabhu; Li, Jian (enero de 2011). "Nuevo método de estimación de parámetros dispersos en modelos separables y su uso para el análisis espectral de datos muestreados irregularmente". Transacciones IEEE sobre procesamiento de señales . 59 (1): 35–47. Código Bib : 2011ITSP...59...35S. doi :10.1109/TSP.2010.2086452. ISSN  1053-587X. S2CID  15936187.
4. Estoica, Petre; Li, Jian; Ling, junio; Cheng, Yubo (abril de 2009). "Recuperación de datos faltantes mediante un enfoque adaptativo iterativo no paramétrico". Conferencia internacional IEEE 2009 sobre acústica, habla y procesamiento de señales . IEEE. págs. 3369–3372. doi :10.1109/icassp.2009.4960347. ISBN 978-1-4244-2353-8.
5. Custodia, Johan; Adalbjornsson, Stefan Ingi; Jakobsson, Andreas (marzo de 2017). "Una generalización del estimador iterativo escaso basado en covarianza". Conferencia internacional IEEE 2017 sobre acústica, habla y procesamiento de señales (ICASSP) . IEEE. págs. 3954–3958. doi :10.1109/icassp.2017.7952898. ISBN 978-1-5090-4117-6. S2CID  5640068.
6. Yardibi, Tarik; Li, Jian; Estoica, Petre; Xue, Ming; Baggeroer, Arthur B. (enero de 2010). "Localización y detección de fuentes: un enfoque adaptativo iterativo no paramétrico basado en mínimos cuadrados ponderados". Transacciones IEEE sobre sistemas aeroespaciales y electrónicos . 46 (1): 425–443. Código Bib :2010ITAES..46..425Y. doi :10.1109/TAES.2010.5417172. hdl : 1721.1/59588 . ISSN  0018-9251. S2CID  18834345.
7. Panahi, Ashkan; Viberg, Mats (febrero de 2011). "Sobre la resolución del método de estimación de DOA basado en LASSO". 2011 Taller Internacional ITG sobre Antenas Inteligentes. IEEE. págs. 1 a 5. doi :10.1109/wsa.2011.5741938. ISBN 978-1-61284-075-8. S2CID  7013162.
8. Percival, Donald B.; Walden, Andrew T. (1992). Análisis espectral para aplicaciones físicas . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521435413.
9. Burg, JP (1967) "Análisis espectral de entropía máxima", Actas de la 37ª reunión de la Sociedad de Geofísicos de Exploración , Oklahoma City, Oklahoma.
10. Hayes, Monson H., Modelado y procesamiento estadístico de señales digitales , John Wiley & Sons, Inc., 1996. ISBN 0-471-59431-8 . 
11. Lerga, Jonatan. "Descripción general de los métodos de estimación de frecuencia instantánea de señales" (PDF) . Universidad de Rijeka . Consultado el 22 de marzo de 2014 .

Otras lecturas

• Porat, B. (1994). Procesamiento digital de señales aleatorias: teoría y métodos . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-063751-2.
• Priestley, MB (1991). Análisis espectral y series temporales . Prensa académica. ISBN 978-0-12-564922-3.

• Estoica, P.; Moisés, R. (2005). Análisis Espectral de Señales . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-113956-5.

• Thomson, DJ (1982). "Estimación de espectro y análisis armónicos". Actas del IEEE . 70 (9): 1055-1096. Código Bib : 1982IEEEP..70.1055T. CiteSeerX  10.1.1.471.1278 . doi :10.1109/PROC.1982.12433. S2CID  290772.