Función rectangular

Función cuyo gráfico es 0, luego 1, luego nuevamente 0, de manera continua casi en todas partes

Función rectangular con a = 1

La función rectangular (también conocida como función rectángulo , función rect , función Pi , función Pi de Heaviside , ^[1] función de compuerta , pulso unitario o función boxcar normalizada ) se define como ^[2]

$${\displaystyle \operatorname {rect} \left({\frac {t}{a}}\right)=\Pi \left({\frac {t}{a}}\right)=\left\{{\begin{array}{rl}0,&{\text{if }}|t|>{\frac {a}{2}}\\{\frac {1}{2}},&{\text{if }}|t|={\frac {a}{2}}\\1,&{\text{if }}|t|<{\frac {a}{2}}.\end{array}}\right.}$$

Las definiciones alternativas de la función se definen como 0, ^[3] 1, ^{[4] [5]} o indefinida. ${\textstyle \operatorname {rect} \left(\pm {\frac {1}{2}}\right)}$

Su versión periódica se llama onda rectangular .

Historia

La función rect fue introducida por Woodward ^[6] en ^{[7] como un} operador de recorte ideal , junto con la función sinc ^{[8] [9]} como un operador de interpolación ideal , y sus operaciones de contador que son muestreo ( operador comb ) y replicación ( operador rep ), respectivamente.

Relación con la función de vagón de carga

La función rectangular es un caso especial de la función boxcar más general :

$${\displaystyle \operatorname {rect} \left({\frac {t-X}{Y}}\right)=H(t-(X-Y/2))-H(t-(X+Y/2))=H(t-X+Y/2)-H(t-X-Y/2)}$$

¿Dónde está la función escalonada de Heaviside ? La función está centrada en y tiene una duración de hasta ${\displaystyle H(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X-Y/2}$ ${\displaystyle X+Y/2.}$

Transformada de Fourier de la función rectangular

Gráfico de la función normalizada (ie ) con sus componentes de frecuencia espectral. ${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)}$ ${\displaystyle \operatorname {sinc} (\pi x)}$

Las transformadas de Fourier unitarias de la función rectangular son ^[2] usando la frecuencia ordinaria f , donde es la forma normalizada ^[10] de la función sinc y usando la frecuencia angular , donde es la forma no normalizada de la función sinc . $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt={\frac {\sin(\pi f)}{\pi f}}=\operatorname {sinc} _{\pi }(f),}$$ ${\displaystyle \operatorname {sinc} _{\pi }}$ $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\frac {\sin \left(\omega /2\right)}{\omega /2}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\operatorname {sinc} \left(\omega /2\right),}$$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \operatorname {sinc} }$

Para , su transformada de Fourier es Nótese que mientras la definición de la función de pulso esté motivada únicamente por su comportamiento en la experiencia del dominio del tiempo, no hay razón para creer que la interpretación oscilatoria (es decir, la función de transformada de Fourier) debería ser intuitiva o directamente entendida por los humanos. Sin embargo, algunos aspectos del resultado teórico pueden entenderse intuitivamente, ya que la finitud en el dominio del tiempo corresponde a una respuesta de frecuencia infinita. (Vigenciamente, una transformada de Fourier finita corresponderá a una respuesta infinita en el dominio del tiempo). ${\displaystyle \operatorname {rect} (x/a)}$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} \left({\frac {t}{a}}\right)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=a{\frac {\sin(\pi af)}{\pi af}}=a\ \operatorname {sinc} _{\pi }{(af)}.}$$

Relación con la función triangular

Podemos definir la función triangular como la convolución de dos funciones rectangulares:

$${\displaystyle \operatorname {tri} =\operatorname {rect} *\operatorname {rect} .\,}$$

Uso en probabilidad

Considerando la función rectangular como una función de densidad de probabilidad , es un caso especial de la distribución uniforme continua con La función característica es ${\displaystyle a=-1/2,b=1/2.}$

$${\displaystyle \varphi (k)={\frac {\sin(k/2)}{k/2}},}$$

y su función generadora de momentos es

$${\displaystyle M(k)={\frac {\sinh(k/2)}{k/2}},}$$

¿Dónde está la función seno hiperbólico ? ${\displaystyle \sinh(t)}$

Aproximación racional

La función de pulso también puede expresarse como límite de una función racional :

$${\displaystyle \Pi (t)=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}.}$$

Demostración de validez

En primer lugar, consideramos el caso donde Nótese que el término siempre es positivo para números enteros . Sin embargo, y por lo tanto se acerca a cero para números grandes. ${\textstyle |t|<{\frac {1}{2}}.}$ ${\textstyle (2t)^{2n}}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle 2t<1}$ ${\textstyle (2t)^{2n}}$ ${\displaystyle n.}$

Resulta que: $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\frac {1}{0+1}}=1,|t|<{\tfrac {1}{2}}.}$$

En segundo lugar, consideramos el caso donde Nótese que el término siempre es positivo para números enteros. Sin embargo, y por lo tanto crece mucho para números grandes. ${\textstyle |t|>{\frac {1}{2}}.}$ ${\textstyle (2t)^{2n}}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle 2t>1}$ ${\textstyle (2t)^{2n}}$ ${\displaystyle n.}$

Resulta que: $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\frac {1}{+\infty +1}}=0,|t|>{\tfrac {1}{2}}.}$$

En tercer lugar, consideramos el caso en el que podemos simplemente sustituir en nuestra ecuación: ${\textstyle |t|={\frac {1}{2}}.}$

$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{1^{2n}+1}}={\frac {1}{1+1}}={\tfrac {1}{2}}.}$$

Vemos que se cumple la definición de la función pulso. Por lo tanto,

$${\displaystyle \operatorname {rect} (t)=\Pi (t)=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}|t|>{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\mbox{if }}|t|={\frac {1}{2}}\\1&{\mbox{if }}|t|<{\frac {1}{2}}.\\\end{cases}}}$$

Función delta de Dirac

La función rectángulo se puede utilizar para representar la función delta de Dirac . ^[11] Específicamente, para una función , su promedio sobre el ancho alrededor de 0 en el dominio de la función se calcula como, ${\displaystyle \delta (x)}$ $${\displaystyle \delta (x)=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\operatorname {rect} \left({\frac {x}{a}}\right).}$$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle g_{avg}(0)={\frac {1}{a}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\operatorname {rect} \left({\frac {x}{a}}\right).}$$Para obtener , se aplica el siguiente límite, ${\displaystyle g(0)}$

$${\displaystyle g(0)=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\operatorname {rect} \left({\frac {x}{a}}\right)}$$y esto se puede escribir en términos de la función delta de Dirac como, La transformada de Fourier de la función delta de Dirac es $${\displaystyle g(0)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\delta (x).}$$ ${\displaystyle \delta (t)}$

$${\displaystyle \delta (f)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} \left({\frac {t}{a}}\right)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=\lim _{a\to 0}\operatorname {sinc} {(af)}.}$$donde la función sinc aquí es la función sinc normalizada. Debido a que el primer cero de la función sinc está en y tiende a infinito, la transformada de Fourier de es ${\displaystyle f=1/a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \delta (t)}$

$${\displaystyle \delta (f)=1,}$$significa que el espectro de frecuencia de la función delta de Dirac es infinitamente amplio. A medida que un pulso se acorta en el tiempo, su espectro se hace más grande.

Véase también

• Transformada de Fourier
• Onda cuadrada
• Función escalonada
• Filtro de sombrero de copa
• Función de vagón de carga

Referencias

1. Wolfram Research (2008). «HeavisidePi, función de Wolfram Language» . Consultado el 11 de octubre de 2022 .
2. Weisstein, Eric W. "Función rectángulo". MathWorld .
3. Wang, Ruye (2012). Introducción a las transformadas ortogonales: con aplicaciones en el procesamiento y análisis de datos. Cambridge University Press. pp. 135–136. ISBN 9780521516884.
4. Tang, KT (2007). Métodos matemáticos para ingenieros y científicos: análisis de Fourier, ecuaciones diferenciales parciales y modelos variacionales. Springer. pág. 85. ISBN 9783540446958.
5. Kumar, A. Anand (2011). Señales y sistemas. PHI Learning Pvt. Ltd., págs. 258-260. ISBN 9788120343108.
6. Klauder, John R (1960). "La teoría y el diseño de los radares Chirp". Bell System Technical Journal . 39 (4): 745–808. doi :10.1002/j.1538-7305.1960.tb03942.x.
7. Woodward, Philipp M (1953). Probabilidad y teoría de la información, con aplicaciones al radar . Pergamon Press. pág. 29.
8. Higgins, John Rowland (1996). Teoría de muestreo en Fourier y análisis de señales: fundamentos . Oxford University Press Inc. pág. 4. ISBN 0198596995.
9. Zayed, Ahmed I (1996). Manual de transformaciones de funciones y funciones generalizadas . CRC Press. pág. 507. ISBN 9780849380761.
10. Wolfram MathWorld, https://mathworld.wolfram.com/SincFunction.html
11. Khare, Kedar; Butola, Mansi; Rajora, Sunaina (2023). "Capítulo 2.4 Muestreo por promedio, distribuciones y función delta". Óptica de Fourier e imágenes computacionales (2.ª ed.). Springer. págs. 15-16. doi :10.1007/978-3-031-18353-9. ISBN 978-3-031-18353-9.