Suma periódica

Suma de los valores de una función cada _P_ desplazamientos

Una transformada de Fourier y tres variaciones causadas por el muestreo periódico (en el intervalo T ) y/o la suma periódica (en el intervalo P ) de la función del dominio del tiempo subyacente.

En matemáticas , cualquier función integrable puede convertirse en una función periódica con período P sumando las traslaciones de la función por múltiplos enteros de P. Esto se llama suma periódica: ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle s_{P}(t)}$ ${\displaystyle s(t)}$

${\displaystyle s_{P}(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(t+nP)}$

Cuando se representa alternativamente como una serie de Fourier , los coeficientes de Fourier son iguales a los valores de la transformada de Fourier continua , en intervalos de . ^{[1] [2]} Esa identidad es una forma de la fórmula de suma de Poisson . De manera similar, una serie de Fourier cuyos coeficientes son muestras de en intervalos constantes ( T ) es equivalente a una suma periódica de lo que se conoce como transformada de Fourier de tiempo discreto . ${\displaystyle s_{P}(t)}$ ${\displaystyle S(f)\triangleq {\mathcal {F}}\{s(t)\},}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{P}}}$ ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle S(f),}$

La suma periódica de una función delta de Dirac es el peine de Dirac . Asimismo, la suma periódica de una función integrable es su convolución con el peine de Dirac.

El espacio cociente como dominio

Si en cambio una función periódica se representa utilizando el dominio del espacio cociente , entonces se puede escribir: ${\displaystyle \mathbb {R} /(P\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle \varphi _{P}:\mathbb {R} /(P\mathbb {Z} )\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \varphi _{P}(x)=\sum _{\tau \in x}s(\tau )~.}$

Los argumentos de son clases de equivalencia de números reales que comparten la misma parte fraccionaria cuando se dividen por . ${\displaystyle \varphi _{P}}$ ${\displaystyle P}$

Citas

1. Pinsky, Mark (2001). Introducción al análisis de Fourier y wavelets . Brooks/Cole. ISBN 978-0534376604.
2. Zygmund, Antoni (1988). Series trigonométricas (2.ª ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0521358859.

Véase también

• Peine de Dirac
• Convolución circular
• Transformada de Fourier de tiempo discreto