Función absolutamente integrable

En matemáticas , una función absolutamente integrable es una función cuyo valor absoluto es integrable , lo que significa que la integral del valor absoluto en todo el dominio es finita.

Para una función con valor real , ya que

$${\displaystyle \int |f(x)|\,dx=\int f^{+}(x)\,dx+\int f^{-}(x)\,dx}$$

$${\displaystyle f^{+}(x)=\max(f(x),0),\ \ \ f^{-}(x)=\max(-f(x),0),}$$

ambos y debe ser finito. En la integración de Lebesgue , este es exactamente el requisito para que cualquier función medible f sea considerada integrable, siendo entonces la integral igual a , de modo que, de hecho, "absolutamente integrable" significa lo mismo que "integrable de Lebesgue" para funciones medibles. ${\textstyle \int f^{+}(x)\,dx}$ ${\textstyle \int f^{-}(x)\,dx}$ ${\textstyle \int f^{+}(x)\,dx-\int f^{-}(x)\,dx}$

Lo mismo ocurre con una función de valores complejos . Definamos

$${\displaystyle f^{+}(x)=\max(\Re f(x),0)}$$

$${\displaystyle f^{-}(x)=\max(-\Re f(x),0)}$$

$${\displaystyle f^{+i}(x)=\max(\Im f(x),0)}$$

$${\displaystyle f^{-i}(x)=\max(-\Im f(x),0)}$$

partes real e imaginaria ${\displaystyle \Re f(x)}$ ${\displaystyle \Im f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$

$${\displaystyle |f(x)|\leq f^{+}(x)+f^{-}(x)+f^{+i}(x)+f^{-i}(x)\leq {\sqrt {2}}\,|f(x)|}$$

$${\displaystyle \int |f(x)|\,dx\leq \int f^{+}(x)\,dx+\int f^{-}(x)\,dx+\int f^{+i}(x)\,dx+\int f^{-i}(x)\,dx\leq {\sqrt {2}}\int |f(x)|\,dx}$$

enlaces externos

• «Función absolutamente integrable – Enciclopedia de Matemáticas» . Consultado el 9 de octubre de 2015 .

Referencias

• Tao, Terence , Análisis 2 , 3ª ed., Textos y lecturas en matemáticas, Hindustan Book Agency, Nueva Delhi.