En geometría algebraica , una variedad sobre un campo k se rige si es biracional al producto de la línea proyectiva con alguna variedad sobre k . Una variedad no tiene reglas si está cubierta por una familia de curvas racionales . (Más precisamente, una variedad X no está reglada si hay una variedad Y y una aplicación racional dominante Y × P 1 – → X que no factoriza la proyección a Y ). El concepto surgió de las superficies regladas de la geometría del siglo XIX. , es decir, superficies en un espacio afín o espacio proyectivo que están cubiertas por líneas. Las variedades sin reglas pueden considerarse relativamente simples entre todas las variedades, aunque hay muchas.
Cada variedad sin reglas sobre un campo de característica cero tiene dimensión de Kodaira −∞. Lo contrario es una conjetura que se conoce en la dimensión 3 como máximo: una variedad de dimensión de Kodaira −∞ sobre un campo de característica cero no debe estar reglamentada. Una afirmación relacionada es conocida en todas las dimensiones: Boucksom, Demailly , Păun y Peternell demostraron que una variedad proyectiva suave X sobre un campo de característica cero no está reglamentada si y sólo si el paquete canónico de X no es pseudoeficaz (es decir, no en el cono convexo cerrado atravesado por divisores efectivos en el grupo de Néron-Severi tensorizado con los números reales). [1] Como caso muy especial, una hipersuperficie suave de grado d en P n sobre un campo de característica cero no está reglamentada si y sólo si d ≤ n , según la fórmula adjunta . (De hecho, una hipersuperficie suave de grado d ≤ n en P n es una variedad de Fano y, por lo tanto, está racionalmente conectada , lo cual es más fuerte que no tener reglas).
Una variedad X sobre un campo algebraicamente cerrado k incontable no tiene reglas si y solo si hay una curva racional que pasa por cada k -punto de X. Por el contrario, existen variedades sobre la clausura algebraica k de un cuerpo finito que no son ilimitadas sino que tienen una curva racional que pasa por cada k -punto. (La variedad Kummer de cualquier superficie abeliana no supersingular sobre F p con p impar tiene estas propiedades. [2] ) No se sabe si existen variedades con estas propiedades sobre la clausura algebraica de los números racionales .
La ausencia de reglas es una propiedad geométrica (no cambia bajo extensiones de campo), mientras que la reglamentación no lo es. Por ejemplo, la cónica x 2 + y 2 + z 2 = 0 en P 2 sobre los números reales R no tiene reglas pero no está reglada. (La curva asociada sobre los números complejos C es isomorfa a P 1 y, por tanto, está reglada). En la dirección positiva, cada variedad no reglada de dimensión como máximo 2 sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero está reglada. Los 3 pliegues cúbicos lisos y los 3 pliegues cuárticos lisos en P 4 sobre C no tienen reglas pero no están reglados.
La ingobernabilidad se comporta de manera muy diferente en cuanto a características positivas. En particular, hay superficies sin reglas (e incluso uniracionales ) de tipo general : un ejemplo es la superficie x p +1 + y p +1 + z p +1 + w p +1 = 0 en P 3 sobre F p , por cualquier número primo p ≥ 5. [3] Entonces, la falta de reglas no implica que la dimensión de Kodaira sea −∞ en característica positiva.
Una variedad X es separablemente sin reglas si hay una variedad Y con un mapa racional separable dominante Y × P 1 – → X que no factoriza la proyección a Y. ("Separable" significa que la derivada es sobreyectiva en algún punto; esto sería automático para un mapa racional dominante en característica cero). Una variedad separablemente sin reglas tiene dimensión de Kodaira −∞. Lo contrario es cierto en la dimensión 2, pero no en dimensiones superiores. Por ejemplo, hay un proyectivo suave triple sobre F 2 que tiene dimensión de Kodaira −∞ pero no es separablemente sin reglas. [4] No se sabe si todas las variedades de Fano lisas con características positivas son separablemente sin reglas.