Fórmula de género y grado

Teorema de la geometría algebraica clásica

En geometría algebraica clásica , la fórmula género-grado relaciona el grado d de una curva plana irreducible con su género aritmético g mediante la fórmula: ${\displaystyle C}$

${\displaystyle g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2).}$

Aquí "curva plana" significa que es una curva cerrada en el plano proyectivo . Si la curva no es singular, el género geométrico y el género aritmético son iguales, pero si la curva es singular, con solo singularidades ordinarias, el género geométrico es menor. Más precisamente, una singularidad ordinaria de multiplicidad r disminuye el género en . ^[1] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}r(r-1)}$

Prueba

La fórmula género-grado se puede demostrar a partir de la fórmula de adjunción ; para más detalles, véase Fórmula de adjunción § Aplicaciones a curvas . ^[2]

Generalización

Para una hipersuperficie no singular de grado d en el espacio proyectivo de género aritmético g la fórmula se convierte en: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle g={\binom {d-1}{n}},\,}$

donde es el coeficiente binomial . ${\displaystyle {\tbinom {d-1}{n}}}$

Notas

1. Semple, John Greenlees ; Roth, Leonard . Introducción a la geometría algebraica (edición de 1985). Oxford University Press . págs. 53–54. ISBN 0-19-853363-2.Sr. 0814690  .
2. Geometría algebraica , Robin Hartshorne , Springer GTM 52, ISBN 0-387-90244-9 , capítulo V, ejemplo 1.5.1 

Véase también

• Conjetura de Thom

Referencias

• Este artículo incorpora material del artículo de Citizendium "Fórmula del grado de género", que se encuentra bajo la licencia Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported pero no bajo la GFDL .
• Enrico Arbarello , Maurizio Cornalba, Phillip Griffiths , Joe Harris . Geometría de curvas algebraicas. vol 1 Springer, ISBN 0-387-90997-4 , apéndice A. 
• Phillip Griffiths y Joe Harris , Principios de geometría algebraica, Wiley, ISBN 0-471-05059-8 , capítulo 2, sección 1. 
• Robin Hartshorne (1977): Geometría algebraica , Springer, ISBN 0-387-90244-9 . 
• Kulikov, Viktor S. (2001) [1994], "Género de una curva", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press