Género aritmético

En matemáticas , el género aritmético de una variedad algebraica es una de las pocas generalizaciones posibles del género de una curva algebraica o superficie de Riemann .

Variedades proyectivas

Sea X un esquema proyectivo de dimensión r sobre un cuerpo k , el género aritmético de X se define como Aquí está la característica de Euler de la estructura haz . ^[1] ${\displaystyle p_{a}}$ $${\displaystyle p_{a}(X)=(-1)^{r}(\chi ({\mathcal {O}}_{X})-1).}$$ ${\displaystyle \chi ({\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Variedades proyectivas complejas

El género aritmético de una variedad proyectiva compleja de dimensión n se puede definir como una combinación de números de Hodge , a saber

${\displaystyle p_{a}=\sum _{j=0}^{n-1}(-1)^{j}h^{n-j,0}.}$

Cuando n=1 , la fórmula se convierte en . Según el teorema de Hodge , . En consecuencia , , donde g es el significado (topológico) habitual de género de una superficie, por lo que las definiciones son compatibles. ${\displaystyle p_{a}=h^{1,0}}$ ${\displaystyle h^{0,1}=h^{1,0}}$ ${\displaystyle h^{0,1}=h^{1}(X)/2=g}$

Cuando X es una variedad compacta de Kähler, al aplicar h ^{p , q} = h ^{q , p} se recupera la definición anterior para variedades proyectivas.

Colectores Kähler

Usando h ^{p , q} = h ^{q , p} para variedades de Kähler compactas esto puede reformularse como la característica de Euler en cohomología coherente para la estructura faz : ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}}$

${\displaystyle p_{a}=(-1)^{n}(\chi ({\mathcal {O}}_{M})-1).\,}$

Por tanto, esta definición puede aplicarse a algunos otros espacios anillados localmente .

Véase también

• Género (matemáticas)
• Género geométrico

Referencias

• P. Griffiths y J. Harris (1994). Principios de geometría algebraica . Wiley Classics Library (2.ª ed.). Wiley Interscience. pág. 494. ISBN 0-471-05059-8.Zbl 0836.14001  .
• Rubei, Elena (2014), Geometría algebraica, un diccionario conciso , Berlín/Boston: Walter De Gruyter, ISBN 978-3-11-031622-3

1. Hartshorne, Robin (1977). Geometría algebraica. Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 52. Nueva York, NY: Springer New York. p. 230. doi :10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-1-4419-2807-8.S2CID197660097  .​

Lectura adicional

• Hirzebruch, Friedrich (1995) [1978]. Métodos topológicos en geometría algebraica . Clásicos de las matemáticas. Traducción del alemán y apéndice uno de RLE Schwarzenberger. Apéndice dos de A. Borel (reimpresión de la 2.ª edición, corrección de la 3.ª edición). Berlín: Springer-Verlag . ISBN. 3-540-58663-6.Zbl 0843.14009  .