Conjetura de Witten

En geometría algebraica , la conjetura de Witten es una conjetura sobre los números de intersección de clases estables en el espacio de módulos de curvas , introducida por Edward Witten en el artículo Witten  (1991) y generalizada en Witten (1993). La conjetura original de Witten fue demostrada por Maxim Kontsevich en el artículo Kontsevich (1992).

La motivación de Witten para la conjetura fue que dos modelos diferentes de gravedad cuántica bidimensional deberían tener la misma función de partición. La función de partición para uno de estos modelos se puede describir en términos de números de intersección en la pila de módulos de curvas algebraicas , y la función de partición para el otro es el logaritmo de la función τ de la jerarquía KdV . La identificación de estas funciones de partición da como resultado la conjetura de Witten de que una determinada función generadora formada a partir de números de intersección debería satisfacer las ecuaciones diferenciales de la jerarquía KdV.

Declaración

Supóngase que M _{g , n} es la pila de módulos de superficies de Riemann compactas de género g con n puntos marcados distintos x ₁ ,..., x _n , y M _{g , n} es su compactificación de Deligne–Mumford. Hay n fibrados lineales L _i en M _{g , n} , cuya fibra en un punto de la pila de módulos está dada por el espacio cotangente de una superficie de Riemann en el punto marcado x _i . El índice de intersección 〈τ _{d 1} , ..., τ _{d n}〉 ​​es el índice de intersección de Π c ₁ ( L _i ) ^{d _i} en M _{g , n} donde Σ d _i = dim M _{g , n} = 3 g – 3 + n , y 0 si no existe tal g , donde c ₁ es la primera clase de Chern de un fibrado lineal. Función generadora de Witten

${\displaystyle F(t_{0},t_{1},\ldots )=\sum \langle \tau _{0}^{k_{0}}\tau _{1}^{k_{1}}\cdots \rangle \prod _{i\geq 0}{\frac {t_{i}^{k_{i}}}{k_{i}!}}={\frac {t_{0}^{3}}{6}}+{\frac {t_{1}}{24}}+{\frac {t_{0}t_{2}}{24}}+{\frac {t_{1}^{2}}{24}}+{\frac {t_{0}^{2}t_{3}}{48}}+\cdots }$

codifica todos los índices de intersección como sus coeficientes.

La conjetura de Witten establece que la función de partición Z = exp F es una función τ para la jerarquía KdV , en otras palabras, satisface una cierta serie de ecuaciones diferenciales parciales correspondientes a la base del álgebra de Virasoro . ${\displaystyle \{L_{-1},L_{0},L_{1},\ldots \}}$

Prueba

Kontsevich utilizó una descripción combinatoria de los espacios de módulos en términos de gráficos de cinta para demostrar que

${\displaystyle \sum _{d_{1}+\cdots +d_{n}=3g-3+n}\langle \tau _{d_{1}},\ldots ,\tau _{d_{n}}\rangle \prod _{1\leq i\leq n}{\frac {(2d_{i}-1)!!}{\lambda _{i}^{2d_{i}+1}}}=\sum _{\Gamma \in G_{g,n}}{\frac {2^{-|X_{0}|}}{|{\text{Aut}}\Gamma |}}\prod _{e\in X_{1}}{\frac {2}{\lambda (e)}}}$

Aquí la suma de la derecha es sobre el conjunto G _{g , n} de grafos de cinta X de superficies de Riemann compactas de género g con n puntos marcados. El conjunto de aristas e y puntos de X se denotan por X ₀ y X ₁ . La función λ se considera como una función de los puntos marcados a los números reales, y se extiende a las aristas del grafo de cinta al establecer λ de una arista igual a la suma de λ en los dos puntos marcados correspondientes a cada lado de la arista.

Mediante técnicas de diagrama de Feynman, esto implica que F ( t ₀ ,...) es una expansión asintótica de

${\displaystyle \log \int \exp(i{\text{tr}}X^{3}/6)d\mu }$

como Λ tiende a infinito, donde Λ y Χ son matrices hermíticas definidas positivas N por N , y t _i está dado por

${\displaystyle t_{i}={\frac {-{\text{tr }}\Lambda ^{-1-2i}}{1\times 3\times 5\times \cdots \times (2i-1)}}}$

y la medida de probabilidad μ en las matrices hermíticas definidas positivas está dada por

${\displaystyle d\mu =c_{\Lambda }\exp(-{\text{tr}}X^{2}\Lambda /2)dX}$

donde c _Λ es una constante normalizadora. Esta medida tiene la propiedad de que

${\displaystyle \int X_{ij}X_{kl}d\mu =\delta _{il}\delta _{jk}{\frac {2}{\Lambda _{i}+\Lambda _{j}}}}$

lo que implica que su expansión en términos de diagramas de Feynman es la expresión de F en términos de gráficos de cinta.

De esto dedujo que exp F es una función τ para la jerarquía KdV, demostrando así la conjetura de Witten.

Generalizaciones

La conjetura de Witten es un caso especial de una relación más general entre sistemas integrables de ecuaciones diferenciales parciales hamiltonianas y la geometría de ciertas familias de teorías de campos topológicos 2D (axiomatizadas en la forma de las llamadas teorías de campos cohomológicos por Kontsevich y Manin), que fue explorada y estudiada sistemáticamente por B. Dubrovin e Y. Zhang, A. Givental, C. Teleman y otros.

La conjetura de Virasoro es una generalización de la conjetura de Witten.

Referencias

• Cornalba, Mauricio; Arbarello, Enrico; Griffiths, Phillip A. (2011), Geometría de curvas algebraicas. Volumen II , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], vol. 268, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-540-69392-5, ISBN 978-3-540-42688-2, Sr.  2807457
• Kazarian, ME; Lando, Sergei K. (2007), "Una prueba algebro-geométrica de la conjetura de Witten", Journal of the American Mathematical Society , 20 (4): 1079–1089, arXiv : math/0601760 , Bibcode :2007JAMS...20.1079K, doi :10.1090/S0894-0347-07-00566-8, ISSN  0894-0347, MR  2328716
• Kontsevich, Maxim (1992), "Teoría de la intersección en el espacio de módulos de curvas y la función matricial de Airy", Communications in Mathematical Physics , 147 (1): 1–23, Bibcode :1992CMaPh.147....1K, doi :10.1007/BF02099526, ISSN  0010-3616, MR  1171758
• Lando, Sergei K.; Zvonkin, Alexander K. (2004), Gráficos sobre superficies y sus aplicaciones (PDF) , Enciclopedia de Ciencias Matemáticas, vol. 141, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-00203-1, Sr.  2036721
• Witten, Edward (1991), "Gravedad bidimensional y teoría de intersecciones en el espacio de módulos", Surveys in Differential Geometry (Cambridge, MA, 1990) , vol. 1, Bethlehem, PA: Lehigh Univ., págs. 243–310, ISBN 978-0-8218-0168-0, Sr.  1144529
• Witten, Edward (1993), "Geometría algebraica asociada con modelos matriciales de gravedad bidimensional", en Goldberg, Lisa R.; Phillips, Anthony V. (eds.), Métodos topológicos en las matemáticas modernas (Stony Brook, NY, 1991) , Actas del simposio en honor del sexagésimo cumpleaños de John Milnor celebrado en la Universidad Estatal de Nueva York, Stony Brook, Nueva York, 14-21 de junio de 1991., Houston, TX: Publish or Perish, págs. 235-269, ISBN 978-0-914098-26-3, Sr.  1215968