Jerarquía KdV

Secuencia infinita de ecuaciones diferenciales.

En matemáticas, la jerarquía KdV es una secuencia infinita de ecuaciones diferenciales parciales que contiene la ecuación de Korteweg-de Vries .

Detalles

Sea el operador de traducción definido en funciones con valores reales como . Sea un conjunto de todas las funciones analíticas que satisfacen , es decir, funciones periódicas del período 1. Para cada una , defina un operador en el espacio de funciones suaves en . Definimos el espectro de Bloch como el conjunto de tales que existe una función distinta de cero con y . La jerarquía KdV es una secuencia de operadores diferenciales no lineales tal que para cualquiera tenemos una función analítica y definimos como y , luego, es independiente de . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T(g)(x)=g(x+1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle T(g)(x)=g(x)}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle L_{g}(\psi )(x)=\psi ''(x)+g(x)\psi (x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{g}}$ ${\displaystyle (\lambda ,\alpha )\in \mathbb {C} \times \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle L_{g}(\psi )=\lambda \psi }$ ${\displaystyle T(\psi )=\alpha \psi }$ ${\displaystyle D_{i}:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle g(x,t)}$ ${\displaystyle g_{t}(x)}$ ${\displaystyle g(x,t)}$ ${\displaystyle D_{i}(g_{t})={\frac {d}{dt}}g_{t}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{g}}$ ${\displaystyle t}$

La jerarquía KdV surge naturalmente como una declaración del principio de Huygens para el d'alembertiano . ^{[1] [2]}

Ecuaciones explícitas para los primeros tres términos de la jerarquía

Las primeras tres ecuaciones diferenciales parciales de la jerarquía KdV son donde cada ecuación se considera como una PDE para la respectiva . ^[3] $${\displaystyle {\begin{aligned}u_{t_{0}}&=u_{x}\\u_{t_{1}}&=6uu_{x}-u_{xxx}\\u_{t_{2}}&=10uu_{xxx}-20u_{x}u_{xx}-30u^{2}u_{x}-u_{xxxxx}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle u=u(x,t_{n})}$ ${\displaystyle n}$

La primera ecuación identifica y como en la ecuación KdV original. Estas ecuaciones surgen como ecuaciones de movimiento del conjunto infinito (contablemente) de constantes de movimiento independientes eligiéndolas a su vez como hamiltonianas para el sistema. Porque las ecuaciones se denominan ecuaciones de KdV superiores y las variables tiempos superiores . ${\displaystyle t_{0}=x}$ ${\displaystyle t_{1}=t}$ ${\displaystyle I_{n}[u]}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle t_{n}}$

Aplicación a soluciones periódicas de KdV.

Solución de onda cnoidal a la ecuación de Korteweg-De Vries, en términos del cuadrado de la función elíptica de Jacobi cn (y con valor del parámetro m = 0,9 ).

Se pueden considerar los KdV superiores como un sistema de PDE sobredeterminadas para Entonces, las soluciones que son independientes de tiempos superiores por encima de algunas condiciones de contorno fijas y periódicas se denominan soluciones de espacio finito. Estas soluciones resultan corresponder a superficies compactas de Riemann , que se clasifican por su género . Por ejemplo, da la solución constante, mientras que corresponde a soluciones de onda cnoidal . $${\displaystyle u=u(t_{0}=x,t_{1}=t,t_{2},t_{3},\cdots ).}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g=0}$ ${\displaystyle g=1}$

Porque , la superficie de Riemann es una curva hiperelíptica y la solución se da en términos de la función theta . ^[4] De hecho, todas las soluciones a la ecuación KdV con datos iniciales periódicos surgen de esta construcción (Manakov, Novikov & Pitaevskii et al. 1984). ${\displaystyle g>1}$

Ver también

• La conjetura de Witten.
• principio de huygens

Referencias

1. Chalub, Fabio ACC; Zubelli, Jorge P. (2006). "Principio de Huygens para operadores hiperbólicos y jerarquías integrables". Physica D: Fenómenos no lineales . 213 (2): 231–245. Código bibliográfico : 2006PhyD..213..231C. doi :10.1016/j.physd.2005.11.008.
2. Berest, Yuri Yu.; Loutsenko, Igor M. (1997). "Principio de Huygens en espacios de Minkowski y soluciones de Solitón de la ecuación de Korteweg-de Vries". Comunicaciones en Física Matemática . 190 (1): 113-132. arXiv : solv-int/9704012 . Código Bib : 1997CMaPh.190..113B. doi :10.1007/s002200050235. S2CID  14271642.
3. Dunajski, Maciej (2010). Solitones, instantones y tornadores . Oxford: prensa de la Universidad de Oxford. págs. 56–57. ISBN 9780198570639.
4. Manakov, S.; Novikov, S.; Pitaevskii, L.; Zakharov, VE (1984). Teoría de los solitones: el método de dispersión inversa . Nueva York. ISBN 978-0-306-10977-5.{{cite book}}: Mantenimiento CS1: falta el editor de la ubicación ( enlace )

Fuentes

• Gesztesy, Fritz; Holden, Helge (2003), Ecuaciones de Solitón y sus soluciones álgebro-geométricas. vol. I , Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas, vol. 79, Prensa de la Universidad de Cambridge , ISBN 978-0-521-75307-4, SEÑOR  1992536

enlaces externos

• Jerarquía KdV en Dispersive PDE Wiki.