Funciones elípticas de Jacobi

función matemática

En matemáticas , las funciones elípticas de Jacobi son un conjunto de funciones elípticas básicas . Se encuentran en la descripción del movimiento de un péndulo (ver también péndulo (matemáticas) ), así como en el diseño de filtros elípticos electrónicos . Mientras que las funciones trigonométricas se definen con referencia a un círculo, las funciones elípticas de Jacobi son una generalización que se refiere a otras secciones cónicas , en particular a la elipse. La relación con las funciones trigonométricas está contenida en la notación, por ejemplo, mediante la notación coincidente para . Las funciones elípticas de Jacobi se utilizan con más frecuencia en problemas prácticos que las funciones elípticas de Weierstrass, ya que no requieren nociones de análisis complejo para definirlas y/o comprenderlas. Fueron introducidos por Carl Gustav Jakob Jacobi  (1829). Carl Friedrich Gauss ya había estudiado funciones elípticas especiales de Jacobi en 1797, en particular las funciones elípticas lemniscatas , ^[1] pero su trabajo se publicó mucho más tarde. ${\displaystyle \operatorname {sn} }$ ${\displaystyle \sin }$

Descripción general

El rectángulo fundamental en el plano complejo de ${\displaystyle u}$

Hay doce funciones elípticas de Jacobi denotadas por , donde y son cualquiera de las letras , , y . (Las funciones de la forma se establecen trivialmente en la unidad para completar la notación). es el argumento y es el parámetro, los cuales pueden ser complejos. De hecho, las funciones elípticas de Jacobi son meromórficas tanto en como . ^[2] La distribución de los ceros y los polos en el plano es bien conocida. Sin embargo, aún quedan por investigar cuestiones relativas a la distribución de los ceros y los polos en el plano. ^[2] ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)}$ ${\displaystyle \mathrm {p} }$ ${\displaystyle \mathrm {q} }$ ${\displaystyle \mathrm {c} }$ ${\displaystyle \mathrm {s} }$ ${\displaystyle \mathrm {n} }$ ${\displaystyle \mathrm {d} }$ ${\displaystyle \operatorname {pp} (u,m)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$

En el plano complejo del argumento , las doce funciones forman un entramado repetido de polos y ceros simples . ^[3] Dependiendo de la función, un paralelogramo repetido, o celda unitaria, tendrá lados de longitud o en el eje real o en el eje imaginario, donde y se conocen como cuartos de período siendo la integral elíptica del primero. amable. La naturaleza de la celda unitaria se puede determinar inspeccionando el "rectángulo auxiliar" (generalmente un paralelogramo), que es un rectángulo formado por el origen en una esquina y en la esquina diagonalmente opuesta. Como en el diagrama, las cuatro esquinas del rectángulo auxiliar se denominan , , y , en el sentido contrario a las agujas del reloj desde el origen. La función tendrá un cero en la esquina y un polo en la esquina. Las doce funciones corresponden a las doce formas de disponer estos polos y ceros en las esquinas del rectángulo. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle 2K}$ ${\displaystyle 4K}$ ${\displaystyle 2K'}$ ${\displaystyle 4K'}$ ${\displaystyle K=K(m)}$ ${\displaystyle K'=K(1-m)}$ ${\displaystyle K(\cdot )}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (K,K')}$ ${\displaystyle \mathrm {s} }$ ${\displaystyle \mathrm {c} }$ ${\displaystyle \mathrm {d} }$ ${\displaystyle \mathrm {n} }$ ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)}$ ${\displaystyle \mathrm {p} }$ ${\displaystyle \mathrm {q} }$

Cuando el argumento y el parámetro son reales, con y serán reales y el paralelogramo auxiliar será de hecho un rectángulo, y todas las funciones elípticas de Jacobi tendrán valores reales en la recta real. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 0<m<1}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K'}$

Dado que las funciones elípticas jacobianas son doblemente periódicas en , se factorizan a través de un toroide ; de ​​hecho, su dominio puede considerarse como un toro, tal como el coseno y el seno se definen en un círculo. En lugar de tener un solo círculo, ahora tenemos el producto de dos círculos, uno real y otro imaginario. El plano complejo puede ser sustituido por un toro complejo . La circunferencia del primer círculo es y del segundo , donde y son los cuartos . Cada función tiene dos ceros y dos polos en posiciones opuestas del toroide. Entre los puntos , , , hay un cero y un polo. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle 4K}$ ${\displaystyle 4K'}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K'}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K+iK'}$ ${\displaystyle iK'}$

Las funciones elípticas jacobianas son entonces funciones meromórficas doblemente periódicas que satisfacen las siguientes propiedades:

• Hay un cero simple en la esquina y un polo simple en la esquina  . ${\displaystyle \mathrm {p} }$ ${\displaystyle \mathrm {q} }$
• El número complejo es igual a la mitad del periodo de la función ; es decir, la función es periódica en la dirección , siendo el período . La función también es periódica en las otras dos direcciones y , con períodos tales que y son cuartos de período. ${\displaystyle \mathrm {p} -\mathrm {q} }$ ${\displaystyle \operatorname {pq} u}$ ${\displaystyle \operatorname {pq} u}$ ${\displaystyle \operatorname {pq} }$ ${\displaystyle 2(\mathrm {p} -\mathrm {q} )}$ ${\displaystyle \operatorname {pq} u}$ ${\displaystyle \mathrm {pp} '}$ ${\displaystyle \mathrm {pq} '}$ ${\displaystyle \mathrm {p} -\mathrm {p} '}$ ${\displaystyle \mathrm {p} -\mathrm {q} '}$

Gráficos de cuatro funciones elípticas de Jacobi en el plano complejo de , que ilustran su comportamiento periódico doble. Imágenes generadas utilizando una versión del método de coloración de dominios . ^[4] Todos tienen valores iguales a . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle k={\sqrt {m}}}$ ${\displaystyle 0.8}$

Notación

Las funciones elípticas se pueden dar en una variedad de notaciones, lo que puede hacer que el tema sea innecesariamente confuso. Las funciones elípticas son funciones de dos variables. La primera variable podría darse en términos de amplitud o, más comúnmente, en términos de lo que se indica a continuación. La segunda variable podría darse en términos del parámetro , o como módulo elíptico , donde , o en términos del ángulo modular , donde . Los complementos de y se definen como y . Estos cuatro términos se utilizan a continuación sin comentarios para simplificar varias expresiones. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k^{2}=m}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle m=\sin ^{2}\alpha }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m'=1-m}$ ${\textstyle k'={\sqrt {m'}}}$

Las doce funciones elípticas de Jacobi generalmente se escriben como donde y son cualquiera de las letras ,, y . Las funciones de la forma se establecen trivialmente en la unidad para completar la notación. Las funciones "principales" generalmente se consideran , y de las cuales se pueden derivar todas las demás funciones y las expresiones a menudo se escriben únicamente en términos de estas tres funciones; sin embargo, varias simetrías y generalizaciones a menudo se expresan más convenientemente utilizando el conjunto completo. (Esta notación se debe a Gudermann y Glaisher y no es la notación original de Jacobi). ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)}$ ${\displaystyle \mathrm {p} }$ ${\displaystyle \mathrm {q} }$ ${\displaystyle \mathrm {c} }$ ${\displaystyle \mathrm {s} }$ ${\displaystyle \mathrm {n} }$ ${\displaystyle \mathrm {d} }$ ${\displaystyle \operatorname {pp} (u,m)}$ ${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)}$ ${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)}$ ${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)}$

A lo largo de este artículo, . ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,t^{2})=\operatorname {pq} (u;t)}$

Las funciones están relacionadas notacionalmente entre sí mediante la regla de multiplicación: (argumentos suprimidos)

${\displaystyle \operatorname {pq} \cdot \operatorname {p'q'} =\operatorname {pq'} \cdot \operatorname {p'q} }$

de donde se pueden derivar otras relaciones comúnmente utilizadas:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {pr} }{\operatorname {qr} }}=\operatorname {pq} }$

${\displaystyle \operatorname {pr} \cdot \operatorname {rq} =\operatorname {pq} }$

${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {qp} }}=\operatorname {pq} }$

La regla de multiplicación se deriva inmediatamente de la identificación de las funciones elípticas con las funciones theta de Neville ^[5]

${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)={\frac {\theta _{\operatorname {p} }(u,m)}{\theta _{\operatorname {q} }(u,m)}}}$

También tenga en cuenta que:

${\displaystyle K(m)=K(k^{2})=\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-mt^{2})}}}=\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}.}$

Definición en términos de inversas de integrales elípticas

Modelo de la amplitud de Jacobi (medida a lo largo del eje vertical) en función de las variables independientes u y el módulo k

Existe una definición que relaciona las funciones elípticas con la inversa de la integral elíptica incompleta de primera clase . Estas funciones toman los parámetros y como entradas. el que satisface ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle u=F(\varphi ,m)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}$

se llama amplitud de Jacobi :

${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)=\varphi .}$

En este marco, el seno elíptico sn  u (latín: sinus amplitudinis ) viene dado por

${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)=\sin \operatorname {am} (u,m)}$

y el coseno elíptico cn  u (latín: cosinus amplitudinis ) viene dado por

${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)=\cos \operatorname {am} (u,m)}$

y la amplitud delta dn  u (latín: delta amplitudinis ) ^{[nota 1]}

${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}\operatorname {am} (u,m).}$

En lo anterior, el valor es un parámetro libre, generalmente considerado real (pero puede ser complejo en general), por lo que se puede considerar que las funciones elípticas están dadas por dos variables y el parámetro  . Las nueve funciones elípticas restantes se construyen fácilmente a partir de las tres anteriores ( , , ) y se detallan en la sección siguiente. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 0\leq m\leq 1}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \operatorname {sn} }$ ${\displaystyle \operatorname {cn} }$ ${\displaystyle \operatorname {dn} }$

En el entorno más general, es una función multivaluada (en ) con infinitos puntos de ramificación logarítmica (las ramas difieren en múltiplos enteros de ), es decir, los puntos y donde . ^[6] Esta función multivaluada se puede hacer de un solo valor cortando el plano complejo a lo largo de los segmentos de línea que unen estos puntos de ramificación (el corte se puede hacer de maneras no equivalentes, dando funciones de un solo valor no equivalentes), haciendo así analítica en todas partes excepto en los cortes de ramas . Por el contrario, otras funciones elípticas no tienen puntos de ramificación, dan valores consistentes para cada rama de y son meromórficas en todo el plano complejo. Dado que toda función elíptica es meromórfica en todo el plano complejo (por definición), (cuando se considera una función de un solo valor) no es una función elíptica. ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2sK(m)+(4t+1)K(1-m)i}$ ${\displaystyle 2sK(m)+(4t+3)K(1-m)i}$ ${\displaystyle s,t\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle \sin \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle \operatorname {am} }$ ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$

Sin embargo, se puede realizar un corte particular en el plano mediante segmentos de línea de a con ; entonces sólo queda definir en los cortes de rama por continuidad desde alguna dirección. Luego se vuelve univaluado y uniperiódico con el período mínimo y tiene singularidades en los puntos de ramificación logarítmica mencionados anteriormente. Si y , es continua en la recta real. Cuando , los cortes de rama en el plano cruzan la línea real en for ; por lo tanto, para , no es continua en la recta real y salta sobre las discontinuidades. ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle 2sK(m)+(4t+1)K(1-m)i}$ ${\displaystyle 2sK(m)+(4t+3)K(1-m)i}$ ${\displaystyle s,t\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle 4iK(1-m)}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle m\leq 1}$ ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m>1}$ ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle 2(2s+1)K(1/m)/{\sqrt {m}}}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle m>1}$ ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle 2\pi }$

Dejar

${\displaystyle E(\varphi ,m)=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta }$

Sea la integral elíptica incompleta de segundo tipo con parámetro . ${\displaystyle m}$

Entonces la función Jacobi épsilon se puede definir como

${\displaystyle {\mathcal {E}}(u,m)=E(\operatorname {am} (u,m),m)}$

para y y por continuación analítica en cada una de las variables en caso contrario: la función épsilon de Jacobi es meromorfa en todo el plano complejo (tanto en como ) . Alternativamente, tanto en el plano como en el plano, ^[7] ${\displaystyle u\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0<m<1}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(u,m)=\int _{0}^{u}\operatorname {dn} ^{2}(t,m)\,\mathrm {d} t.}$

Entonces, el épsilon de Jacobi relaciona la integral elíptica incompleta de primer tipo con la integral elíptica incompleta de segundo tipo:

${\displaystyle E(\varphi ,m)={\mathcal {E}}(F(\varphi ,m),m).}$

La función épsilon de Jacobi no es una función elíptica, pero aparece al diferenciar las funciones elípticas de Jacobi con respecto al parámetro.

La función Jacobi zn está definida por

${\displaystyle \operatorname {zn} (u,m)={\mathcal {E}}(u,m)-{\frac {E(m)}{K(m)}}u.}$

Es una función periódica única que es meromorfa en , pero no en (debido a los cortes de ramas de y ). Su periodo mínimo en es . Está relacionado con la función zeta de Jacobi por ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle 2K(m)}$ ${\displaystyle Z(\varphi ,m)=\operatorname {zn} (F(\varphi ,m),m).}$

Tenga en cuenta que cuando , eso es igual al período del trimestre . ${\displaystyle \varphi =\pi /2}$ ${\displaystyle u}$  ${\displaystyle K}$

Definición como trigonometría: la elipse de Jacobi

Gráfico de la elipse de Jacobi ( x ²  +  y ² / b ²  = 1, b  real) y las doce funciones elípticas de Jacobi pq ( u , m ) para valores particulares de ángulo φ y parámetro  b . La curva sólida es la elipse, con m  = 1 − 1/ b ² y u  =  F ( φ , m ) donde F (⋅,⋅) es la integral elíptica de primer tipo (con parámetro ). La curva punteada es el círculo unitario. Las líneas tangentes del círculo y la elipse en x  = cd que cruzan el eje x en dc se muestran en gris claro. ${\displaystyle m=k^{2}}$

${\displaystyle \cos \varphi ,\sin \varphi }$se definen en el círculo unitario, con radio r  = 1 y longitud del arco angular del círculo unitario medido desde el eje x positivo . De manera similar, las funciones elípticas de Jacobi se definen en la elipse unitaria, ^{[ cita necesaria ]} con a  = 1. Sea ${\displaystyle \varphi =}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\quad b>1,\\&m=1-{\frac {1}{b^{2}}},\quad 0<m<1,\\&x=r\cos \varphi ,\quad y=r\sin \varphi \end{aligned}}}$

entonces:

${\displaystyle r(\varphi ,m)={\frac {1}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}}\,.}$

Para cada ángulo el parámetro ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle u=u(\varphi ,m)=\int _{0}^{\varphi }r(\theta ,m)\,d\theta }$

(la integral elíptica incompleta del primer tipo) se calcula. En el círculo unitario ( ), sería una longitud de arco. La cantidad está relacionada con la integral elíptica incompleta de segundo tipo (con módulo ) por ^[8] ${\displaystyle a=b=1}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u[\varphi ,k]=u(\varphi ,k^{2})}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle u[\varphi ,k]={\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}}}}\left({\frac {1+{\sqrt {1-k^{2}}}}{2}}\operatorname {E} \left(\varphi +\arctan \left({\sqrt {1-k^{2}}}\tan \varphi \right),{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)-\operatorname {E} (\varphi ,k)+{\frac {k^{2}\sin \varphi \cos \varphi }{2{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}\right),}$

y por tanto está relacionado con la longitud del arco de una elipse . Sea un punto en la elipse y sea el punto donde el círculo unitario cruza la línea entre y el origen . Luego las relaciones familiares del círculo unitario: ${\displaystyle P=(x,y)=(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )}$ ${\displaystyle P'=(x',y')=(\cos \varphi ,\sin \varphi )}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle O}$

${\displaystyle x'=\cos \varphi ,\quad y'=\sin \varphi }$

leer para la elipse:

${\displaystyle x'=\operatorname {cn} (u,m),\quad y'=\operatorname {sn} (u,m).}$

Entonces, las proyecciones del punto de intersección de la línea con el círculo unitario en los ejes x e y son simplemente y . Estas proyecciones pueden interpretarse como una "definición de trigonometría". En breve: ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle OP}$ ${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)}$ ${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)}$

${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)={\frac {x}{r(\varphi ,m)}},\quad \operatorname {sn} (u,m)={\frac {y}{r(\varphi ,m)}},\quad \operatorname {dn} (u,m)={\frac {1}{r(\varphi ,m)}}.}$

Para el valor y del punto con el parámetro y obtenemos, después de insertar la relación: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle r(\varphi ,m)={\frac {1}{\operatorname {dn} (u,m)}}}$

en eso: ${\displaystyle x=r(\varphi ,m)\cos(\varphi ),y=r(\varphi ,m)\sin(\varphi )}$

${\displaystyle x={\frac {\operatorname {cn} (u,m)}{\operatorname {dn} (u,m)}},\quad y={\frac {\operatorname {sn} (u,m)}{\operatorname {dn} (u,m)}}.}$

Las últimas relaciones para las coordenadas xey de puntos en la elipse unitaria pueden considerarse como una generalización de las relaciones para las coordenadas de puntos en el círculo unitario. ${\displaystyle x=\cos \varphi ,y=\sin \varphi }$

La siguiente tabla resume las expresiones para todas las funciones elípticas de Jacobi pq(u,m) en las variables ( x , y , r ) y ( φ ,dn) con ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

Definición en términos de funciones theta de Jacobi

Descripción de la función theta de Jacobi

De manera equivalente, las funciones elípticas de Jacobi se pueden definir en términos de sus funciones theta . Si abreviamos como y respectivamente como (las constantes theta ), entonces el módulo elíptico k de la función theta es . Definimos el nomo en relación con la relación del período. Tenemos ${\displaystyle \vartheta _{00}(0;q)}$ ${\displaystyle \vartheta _{00}(q)}$ ${\displaystyle \vartheta _{01}(0;q),\vartheta _{10}(0;q),\vartheta _{11}(0;q)}$ ${\displaystyle \vartheta _{01}(q),\vartheta _{10}(q),\vartheta _{11}(q)}$ ${\displaystyle k={\biggl \{}{\vartheta _{10}[q(k)] \over \vartheta _{00}[q(k)]}{\biggr \}}^{2}}$ ${\displaystyle q=\exp(\pi i\tau )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sn} (u;k)&=-{\frac {\vartheta _{00}(q)\,\vartheta _{11}(\zeta ;q)}{\vartheta _{10}(q)\,\vartheta _{01}(\zeta ;q)}}\\[7pt]\operatorname {cn} (u;k)&={\frac {\vartheta _{01}(q)\,\vartheta _{10}(\zeta ;q)}{\vartheta _{10}(q)\,\vartheta _{01}(\zeta ;q)}}\\[7pt]\operatorname {dn} (u;k)&={\frac {\vartheta _{01}(q)\,\vartheta _{00}(\zeta ;q)}{\vartheta _{00}(q)\,\vartheta _{01}(\zeta ;q)}}\end{aligned}}}$

dónde . ${\displaystyle \zeta =\pi u/(2K)}$

Edmund Whittaker y George Watson definieron las funciones theta de Jacobi de esta manera en su libro de texto Un curso de análisis moderno : ^[9]

${\displaystyle \vartheta _{00}(v;w)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-w^{2n})[1+2\cos(2v)w^{2n-1}+w^{4n-2}]}$

${\displaystyle \vartheta _{01}(v;w)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-w^{2n})[1-2\cos(2v)w^{2n-1}+w^{4n-2}]}$

${\displaystyle \vartheta _{10}(v;w)=2w^{1/4}\cos(v)\prod _{n=1}^{\infty }(1-w^{2n})[1+2\cos(2v)w^{2n}+w^{4n}]}$

${\displaystyle \vartheta _{11}(v;w)=-2w^{1/4}\sin(v)\prod _{n=1}^{\infty }(1-w^{2n})[1-2\cos(2v)w^{2n}+w^{4n}]}$

La función Jacobi zn también se puede expresar mediante funciones theta:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {zn} (u;k)&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\vartheta _{01}'(\zeta ;q)}{\vartheta _{01}(\zeta ;q)}}\\&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\vartheta _{00}'(\zeta ;q)}{\vartheta _{00}(\zeta ;q)}}+k^{2}{\frac {\operatorname {sn} (u;k)\operatorname {cn} (u;k)}{\operatorname {dn} (u;k)}}\\&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\vartheta _{10}'(\zeta ;q)}{\vartheta _{10}(\zeta ;q)}}+{\frac {\operatorname {dn} (u;k)\operatorname {sn} (u;k)}{\operatorname {cn} (u;k)}}\\&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\vartheta _{11}'(\zeta ;q)}{\vartheta _{11}(\zeta ;q)}}-{\frac {\operatorname {cn} (u;k)\operatorname {dn} (u;k)}{\operatorname {sn} (u;k)}}\end{aligned}}}$

donde denota la derivada con respecto a la primera variable. ${\displaystyle '}$

Integral elíptica y nomo elíptico.

Dado que las funciones de Jacobi se definen en términos del módulo elíptico , necesitamos invertirlo y encontrar en términos de . Partimos de , el módulo complementario . En función de ello es ${\displaystyle k(\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k'={\sqrt {1-k^{2}}}}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle k'(\tau )={\sqrt {1-k^{2}}}={\biggl \{}{\vartheta _{01}[q(k)] \over \vartheta _{00}[q(k)]}{\biggr \}}^{2}}$

Definamos el nomo elíptico y la integral elíptica completa de primer tipo :

${\displaystyle q(k)=\exp {\biggl [}-\pi {\frac {K({\sqrt {1-k^{2}}})}{K(k)}}{\biggr ]}}$

Estas son dos definiciones idénticas de la integral elíptica completa del primer tipo:

${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin(\varphi )^{2}}}}\partial \varphi }$

${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{a=0}^{\infty }{\frac {[(2a)!]^{2}}{16^{a}(a!)^{4}}}k^{2a}}$

Se puede producir una definición idéntica de la función nomo utilizando una serie. La siguiente función tiene esta identidad:

${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}{1+{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}}={\frac {\vartheta _{00}[q(k)]-\vartheta _{01}[q(k)]}{\vartheta _{00}[q(k)]+\vartheta _{01}[q(k)]}}={\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }2\,q(k)^{(2n-1)^{2}}{\biggr ]}{\biggl [}1+\sum _{n=1}^{\infty }2\,q(k)^{4n^{2}}{\biggr ]}^{-1}}$

Dado que podemos reducir al caso en el que la parte imaginaria de es mayor o igual a (ver Grupo modular ), podemos asumir que el valor absoluto de es menor o igual a ; para valores tan pequeños, la serie anterior converge muy rápidamente y nos permite encontrar fácilmente el valor apropiado para . Resolviendo esta función después de q obtenemos: ^{[10] [11] [12]} ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \exp(-\pi {\sqrt {3}}/2)\approx 0.0658}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle q(k)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Sw}}(n)}{2^{4n-3}}}{\biggl (}{\frac {1-{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}{1+{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}}{\biggr )}^{4n-3}=k^{2}{\biggl \{}{\frac {1}{2}}+{\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Sw}}(n+1)}{2^{4n+1}}}k^{2n}{\biggr ]}{\biggr \}}^{4}}$

Donde SW(n) es la secuencia A002103 en OEIS .

Definición en términos de funciones theta de Neville

Las funciones elípticas de Jacobi se pueden definir de forma muy sencilla utilizando las funciones theta de Neville : ^[13]

${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)={\frac {\theta _{\operatorname {p} }(u,m)}{\theta _{\operatorname {q} }(u,m)}}}$

Las simplificaciones de productos complicados de las funciones elípticas de Jacobi a menudo se facilitan utilizando estas identidades.

transformaciones de jacobi

Las transformaciones imaginarias de Jacobi

Gráfico de la curva de Jacobi degenerada ( x ²  +  y ² / b ²  = 1, b  = ∞) y las doce funciones elípticas de Jacobi pq( u ,1) para un valor particular de ángulo  φ . La curva sólida es la elipse degenerada ( x ²  = 1) con m  = 1 y u  =  F ( φ ,1) donde F (⋅,⋅) es la integral elíptica de primer tipo. La curva punteada es el círculo unitario. Dado que estas son las funciones de Jacobi para m  = 0 (funciones trigonométricas circulares) pero con argumentos imaginarios, corresponden a las seis funciones trigonométricas hiperbólicas.

Las transformaciones imaginarias de Jacobi relacionan varias funciones de la variable imaginaria iu o, de manera equivalente, relaciones entre varios valores del parámetro m . En términos de las funciones principales: ^{[14] : 506}

${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)=\operatorname {nc} (i\,u,1\!-\!m)}$

${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)=-i\operatorname {sc} (i\,u,1\!-\!m)}$

${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)=\operatorname {dc} (i\,u,1\!-\!m)}$

Usando la regla de la multiplicación, todas las demás funciones se pueden expresar en términos de las tres anteriores. Las transformaciones pueden escribirse generalmente como . La siguiente tabla proporciona el pq( u,m ) especificado . ^[13] ( Se suprimen los argumentos ) ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)=\gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(i\,u,1\!-\!m)}$ ${\displaystyle \gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(i\,u,1\!-\!m)}$ ${\displaystyle (i\,u,1\!-\!m)}$

Dado que las funciones trigonométricas hiperbólicas son proporcionales a las funciones trigonométricas circulares con argumentos imaginarios, se deduce que las funciones de Jacobi producirán las funciones hiperbólicas para m=1. ^{[5] : 249} En la figura, la curva de Jacobi ha degenerado a dos líneas verticales en x  = 1 y x  = −1.

Las verdaderas transformaciones de Jacobi

Las transformaciones reales de Jacobi ^{[5] : 308} producen expresiones para las funciones elípticas en términos con valores alternativos de m . Las transformaciones pueden escribirse generalmente como . La siguiente tabla proporciona el pq( u,m ) especificado . ^[13] ( Se suprimen los argumentos ) ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)=\gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(k\,u,1/m)}$ ${\displaystyle \gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(k\,u,1/m)}$ ${\displaystyle (k\,u,1/m)}$

Otras transformaciones de Jacobi

Las transformaciones reales e imaginarias de Jacobi se pueden combinar de varias maneras para producir tres transformaciones más simples. ^{[5] : 214} Las transformaciones real e imaginaria son dos transformaciones en un grupo ( D 3 o grupo anarmónico ) de seis transformaciones. Si

${\displaystyle \mu _{R}(m)=1/m}$

es la transformación para el parámetro m en la transformación real, y

${\displaystyle \mu _{I}(m)=1-m=m'}$

es la transformación de m en la transformación imaginaria, entonces las otras transformaciones pueden construirse mediante la aplicación sucesiva de estas dos transformaciones básicas, dando solo tres posibilidades más:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{IR}(m)&=&\mu _{I}(\mu _{R}(m))&=&-m'/m\\\mu _{RI}(m)&=&\mu _{R}(\mu _{I}(m))&=&1/m'\\\mu _{RIR}(m)&=&\mu _{R}(\mu _{I}(\mu _{R}(m)))&=&-m/m'\end{aligned}}}$

Estas cinco transformaciones, junto con la transformación de identidad ( μ _U ( m ) =  m ) producen el grupo de seis elementos. Con respecto a las funciones elípticas de Jacobi, la transformación general se puede expresar utilizando sólo tres funciones:

${\displaystyle \operatorname {cs} (u,m)=\gamma _{i}\operatorname {cs'} (\gamma _{i}u,\mu _{i}(m))}$

${\displaystyle \operatorname {ns} (u,m)=\gamma _{i}\operatorname {ns'} (\gamma _{i}u,\mu _{i}(m))}$

${\displaystyle \operatorname {ds} (u,m)=\gamma _{i}\operatorname {ds'} (\gamma _{i}u,\mu _{i}(m))}$

donde i = U, I, IR, R, RI o RIR, identificando la transformación, γ _i es un factor de multiplicación común a estas tres funciones, y el primo indica la función transformada. Las otras nueve funciones transformadas se pueden construir a partir de las tres anteriores. La razón por la que se eligieron las funciones cs, ns, ds para representar la transformación es que las otras funciones serán razones de estas tres (excepto sus inversas) y los factores de multiplicación se cancelarán.

La siguiente tabla enumera los factores de multiplicación para las tres funciones ps, las m ' s transformadas y los nombres de las funciones transformadas para cada una de las seis transformaciones. ^{[5] : 214} (Como es habitual, k ²  =  m , 1 −  k ²  =  k ₁ ²  =  m ′ y los argumentos ( ) se suprimen) ${\displaystyle \gamma _{i}u,\mu _{i}(m)}$

Así, por ejemplo, podemos construir la siguiente tabla para la transformación RIR. ^[13] La transformación generalmente se escribe (Los argumentos se suprimen) ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)=\gamma _{\operatorname {pq} }\,\operatorname {pq'} (k'\,u,-m/m')}$ ${\displaystyle (k'\,u,-m/m')}$

El valor de las transformaciones de Jacobi es que cualquier conjunto de funciones elípticas de Jacobi con cualquier parámetro m de valor real se puede convertir en otro conjunto para el cual y, para valores reales de u , los valores de la función serán reales. ^{[5] : pág. 215} ${\displaystyle 0<m\leq 1/2}$

Transformaciones de amplitud

${\displaystyle \operatorname {am} \left({\sqrt {m'}}u,-{\frac {m}{m'}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {am} (K-u,m),\quad u\in \mathbb {R} ,\,0<m<1,}$

${\displaystyle \operatorname {am} (u,m')=-2\arctan \left(i\tan {\frac {\operatorname {am} (iu,m)}{2}}\right),\quad \left|\operatorname {Re} u\right|<K',\,\left|\operatorname {Im} u\right|<K,\,0<m<1,}$

${\displaystyle \operatorname {am} \left({\sqrt {m}}u,{\frac {1}{m}}\right)=\arcsin({\sqrt {m}}\operatorname {sn} (u,m)),\quad -2K<u<2K,\,0<m<1}$

La hipérbola de Jacobi

Gráfico de la hipérbola de Jacobi ( x ²  +  y ² / b ²  = 1, b imaginario) y las doce funciones elípticas de Jacobi pq( u , m ) para valores particulares de ángulo φ y parámetro b . La curva sólida es la hipérbola, con m  = 1 − 1/ b ² y u  =  F ( φ , m ) donde F (⋅,⋅) es la integral elíptica de primer tipo. La curva punteada es el círculo unitario. Para el triángulo ds-dc, σ  = sin( φ )cos( φ ).

Introduciendo números complejos, nuestra elipse tiene una hipérbola asociada:

${\displaystyle x^{2}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

aplicando la transformación imaginaria de Jacobi ^[13] a las funciones elípticas en la ecuación anterior para x e  y .

${\displaystyle x={\frac {1}{\operatorname {dn} (u,1-m)}},\quad y={\frac {\operatorname {sn} (u,1-m)}{\operatorname {dn} (u,1-m)}}}$

De ello se deduce que podemos poner . Entonces nuestra elipse tiene una elipse dual con m reemplazado por 1-m. Esto conduce al complejo toroide mencionado en la Introducción. ^[15] Generalmente, m puede ser un número complejo, pero cuando m es real ym<0, la curva es una elipse con eje mayor en la dirección x. En m=0 la curva es un círculo, y para 0<m<1, la curva es una elipse con eje mayor en la dirección y. En m  = 1, la curva degenera en dos líneas verticales en x  = ±1. Para m  > 1, la curva es una hipérbola. Cuando m es complejo pero no real, x o y o ambos son complejos y la curva no se puede describir en un diagrama x - y real . ${\displaystyle x=\operatorname {dn} (u,1-m),y=\operatorname {sn} (u,1-m)}$

Funciones menores

Invertir el orden de las dos letras del nombre de la función da como resultado los recíprocos de las tres funciones anteriores:

${\displaystyle \operatorname {ns} (u)={\frac {1}{\operatorname {sn} (u)}},\qquad \operatorname {nc} (u)={\frac {1}{\operatorname {cn} (u)}},\qquad \operatorname {nd} (u)={\frac {1}{\operatorname {dn} (u)}}.}$

De manera similar, las razones de las tres funciones primarias corresponden a la primera letra del numerador seguida de la primera letra del denominador:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sc} (u)={\frac {\operatorname {sn} (u)}{\operatorname {cn} (u)}},\qquad \operatorname {sd} (u)={\frac {\operatorname {sn} (u)}{\operatorname {dn} (u)}},\qquad \operatorname {dc} (u)={\frac {\operatorname {dn} (u)}{\operatorname {cn} (u)}},\qquad \operatorname {ds} (u)={\frac {\operatorname {dn} (u)}{\operatorname {sn} (u)}},\qquad \operatorname {cs} (u)={\frac {\operatorname {cn} (u)}{\operatorname {sn} (u)}},\qquad \operatorname {cd} (u)={\frac {\operatorname {cn} (u)}{\operatorname {dn} (u)}}.\end{aligned}}}$

De manera más compacta, tenemos

${\displaystyle \operatorname {pq} (u)={\frac {\operatorname {pn} (u)}{\operatorname {qn} (u)}}}$

donde p y q son cualquiera de las letras s, c, d.

Periodicidad, polos y residuos.

Gráficos de la fase para las doce funciones elípticas de Jacobi pq(u,m) como argumento complejo de función u, con polos y ceros indicados. Los gráficos abarcan un ciclo completo en las direcciones real e imaginaria y la parte coloreada indica la fase de acuerdo con la rueda de colores en la parte inferior derecha (que reemplaza la función trivial dd). Las regiones con un valor absoluto inferior a 1/3 están coloreadas en negro, lo que indica aproximadamente la ubicación de un cero, mientras que las regiones con un valor absoluto superior a 3 están coloreadas en blanco, lo que indica aproximadamente la posición de un polo. Todos los gráficos usan m  = 2/3, siendo K  =  K ( m ), K ′ =  K (1 −  m ), K (⋅) la integral elíptica completa del primer tipo. Las flechas en los polos apuntan en dirección a la fase cero. Las flechas derecha e izquierda implican residuos reales positivos y negativos respectivamente. Las flechas hacia arriba y hacia abajo implican residuos imaginarios positivos y negativos respectivamente.

En el plano complejo del argumento u , las funciones elípticas de Jacobi forman un patrón repetitivo de polos (y ceros). Todos los residuos de los polos tienen el mismo valor absoluto y sólo difieren en el signo. Cada función pq( u , m ) tiene una "función inversa" (en el sentido multiplicativo) qp( u , m ) en la que se intercambian las posiciones de los polos y ceros. Los períodos de repetición son generalmente diferentes en las direcciones real e imaginaria, de ahí el uso del término "doblemente periódico" para describirlos.

Para la amplitud de Jacobi y la función épsilon de Jacobi:

${\displaystyle \operatorname {am} (u+2K,m)=\operatorname {am} (u,m)+\pi ,}$

${\displaystyle \operatorname {am} (u+4iK',m)=\operatorname {am} (u,m),}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(u+2K,m)={\mathcal {E}}(u,m)+2E,}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(u+2iK',m)={\mathcal {E}}(u,m)+2iE{\frac {K'}{K}}-{\frac {\pi i}{K}}}$

donde es la integral elíptica completa de segundo tipo con parámetro . ${\displaystyle E(m)}$ ${\displaystyle m}$

La doble periodicidad de las funciones elípticas de Jacobi se puede expresar como:

${\displaystyle \operatorname {pq} (u+2\alpha K(m)+2i\beta K(1-m)\,,\,m)=(-1)^{\gamma }\operatorname {pq} (u,m)}$

donde α y β son cualquier par de números enteros. K (⋅) es la integral elíptica completa de primer tipo, también conocida como cuarto de período . El poder de la unidad negativa ( γ ) se da en la siguiente tabla:

Cuando el factor (−1) ^γ es igual a −1, la ecuación expresa cuasiperiodicidad. Cuando es igual a la unidad, expresa periodicidad completa. Se puede ver, por ejemplo, que para las entradas que contienen solo α cuando α es par, la periodicidad completa se expresa mediante la ecuación anterior, y la función tiene períodos completos de 4 K ( m ) y 2 iK (1 −  m ). Asimismo, las funciones con entradas que contienen solo β tienen períodos completos de 2K (m) y 4 iK (1 −  m ), mientras que aquellas con α + β tienen períodos completos de 4 K ( m ) y 4 iK (1 −  m ).

En el diagrama de la derecha, que representa una unidad repetitiva para cada función, indicando la fase junto con la ubicación de los polos y los ceros, se pueden observar varias regularidades: La inversa de cada función es opuesta a la diagonal y tiene el mismo tamaño. celda unitaria, con polos y ceros intercambiados. La disposición de polos y ceros en el rectángulo auxiliar formado por (0,0), ( K ,0), (0, K ′) y ( K , K ′) están de acuerdo con la descripción de la ubicación de polos y ceros descrita en la introducción anterior. Además, el tamaño de los óvalos blancos que indican los polos es una medida aproximada del valor absoluto del residuo para ese polo. Los residuos de los polos más cercanos al origen en la figura (es decir, en el rectángulo auxiliar) se enumeran en la siguiente tabla:

Cuando corresponda, los polos desplazados hacia arriba 2 K o desplazados hacia la derecha 2 K ′ tienen el mismo valor pero con signos invertidos, mientras que los diagonalmente opuestos tienen el mismo valor. Tenga en cuenta que los polos y ceros de los bordes izquierdo e inferior se consideran parte de la celda unitaria, mientras que los de los bordes superior y derecho no lo son.

Valores especiales

La configuración le da a la lemniscata funciones elípticas y : ${\displaystyle m=-1}$ ${\displaystyle \operatorname {sl} }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} }$

${\displaystyle \operatorname {sl} u=\operatorname {sn} (u,-1),\quad \operatorname {cl} u=\operatorname {cd} (u,-1)={\frac {\operatorname {cn} (u,-1)}{\operatorname {dn} (u,-1)}}.}$

Cuando o , las funciones elípticas de Jacobi se reducen a funciones no elípticas: ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle m=1}$

Para la amplitud de Jacobi y dónde está la función Gudermanniana . ${\displaystyle \operatorname {am} (u,0)=u}$ ${\displaystyle \operatorname {am} (u,1)=\operatorname {gd} u}$ ${\displaystyle \operatorname {gd} }$

En general, si ninguno de p, q es d, entonces . ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,1)=\operatorname {pq} (\operatorname {gd} (u),0)}$

Identidades

Fórmula de medio ángulo

$${\displaystyle \operatorname {sn} \left({\frac {u}{2}},m\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\operatorname {cn} (u,m)}{1+\operatorname {dn} (u,m)}}}}$$

$${\displaystyle \operatorname {cn} \left({\frac {u}{2}},m\right)=\pm {\sqrt {\frac {\operatorname {cn} (u,m)+\operatorname {dn} (u,m)}{1+\operatorname {dn} (u,m)}}}}$$

$${\displaystyle \operatorname {cn} \left({\frac {u}{2}},m\right)=\pm {\sqrt {\frac {m'+\operatorname {dn} (u,m)+m\operatorname {cn} (u,m)}{1+\operatorname {dn} (u,m)}}}}$$

K fórmulas

Fórmula media K

$${\displaystyle \operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{2}}K(k);k\right]={\frac {\sqrt {2}}{{\sqrt {1+k}}+{\sqrt {1-k}}}}}$$

$${\displaystyle \operatorname {cn} \left[{\tfrac {1}{2}}K(k);k\right]={\frac {{\sqrt {2}}\,{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}{{\sqrt {1+k}}+{\sqrt {1-k}}}}}$$

$${\displaystyle \operatorname {dn} \left[{\tfrac {1}{2}}K(k);k\right]={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}$$

Tercera fórmula K

${\displaystyle \operatorname {sn} \left[{\frac {1}{3}}K\left({\frac {x^{3}}{{\sqrt {x^{6}+1}}+1}}\right);{\frac {x^{3}}{{\sqrt {x^{6}+1}}+1}}\right]={\frac {{\sqrt {2{\sqrt {x^{4}-x^{2}+1}}-x^{2}+2}}+{\sqrt {x^{2}+1}}-1}{{\sqrt {2{\sqrt {x^{4}-x^{2}+1}}-x^{2}+2}}+{\sqrt {x^{2}+1}}+1}}}$

Para obtener x ³ , tomamos la tangente del doble del arcotangente del módulo.

Además, esta ecuación conduce al valor sn del tercio de K :

${\displaystyle k^{2}s^{4}-2k^{2}s^{3}+2s-1=0}$

${\displaystyle s=\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{3}}K(k);k\right]}$

Estas ecuaciones conducen a los otros valores de las funciones de Jacobi:

${\displaystyle \operatorname {cn} \left[{\tfrac {2}{3}}K(k);k\right]=1-\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{3}}K(k);k\right]}$

${\displaystyle \operatorname {dn} \left[{\tfrac {2}{3}}K(k);k\right]=1/\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{3}}K(k);k\right]-1}$

Quinta fórmula K

La siguiente ecuación tiene la siguiente solución:

${\displaystyle 4k^{2}x^{6}+8k^{2}x^{5}+2(1-k^{2})^{2}x-(1-k^{2})^{2}=0}$

${\displaystyle x={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}k^{2}\operatorname {sn} \left[{\tfrac {2}{5}}K(k);k\right]^{2}\operatorname {sn} \left[{\tfrac {4}{5}}K(k);k\right]^{2}={\frac {\operatorname {sn} \left[{\frac {4}{5}}K(k);k\right]^{2}-\operatorname {sn} \left[{\frac {2}{5}}K(k);k\right]^{2}}{2\operatorname {sn} \left[{\frac {2}{5}}K(k);k\right]\operatorname {sn} \left[{\frac {4}{5}}K(k);k\right]}}}$

Para obtener los valores de sn, colocamos la solución x en las siguientes expresiones:

${\displaystyle \operatorname {sn} \left[{\tfrac {2}{5}}K(k);k\right]=(1+k^{2})^{-1/2}{\sqrt {2(1-x-x^{2})(x^{2}+1-x{\sqrt {x^{2}+1}})}}}$

${\displaystyle \operatorname {sn} \left[{\tfrac {4}{5}}K(k);k\right]=(1+k^{2})^{-1/2}{\sqrt {2(1-x-x^{2})(x^{2}+1+x{\sqrt {x^{2}+1}})}}}$

Relaciones entre cuadrados de las funciones.

Las relaciones entre cuadrados de las funciones se pueden derivar de dos relaciones básicas (Argumentos ( u , m ) suprimidos):

$${\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}+\operatorname {sn} ^{2}=1}$$

$${\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}+m'\operatorname {sn} ^{2}=\operatorname {dn} ^{2}}$$

m + m' nq

$${\displaystyle \operatorname {cq} ^{2}+\operatorname {sq} ^{2}=\operatorname {nq} ^{2}}$$

$${\displaystyle \operatorname {cq} ^{2}{}+m'\operatorname {sq} ^{2}=\operatorname {dq} ^{2}}$$

Con q  =  d , estas corresponden trigonométricamente a las ecuaciones para el círculo unitario ( ) y la elipse unitaria ( ), con x  =  cd , y  =  sd y r  =  nd . Usando la regla de la multiplicación, se pueden derivar otras relaciones. Por ejemplo: ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}{}+m'y^{2}=1}$

$${\displaystyle -\operatorname {dn} ^{2}{}+m'=-m\operatorname {cn} ^{2}=m\operatorname {sn} ^{2}-m}$$

$${\displaystyle -m'\operatorname {nd} ^{2}{}+m'=-mm'\operatorname {sd} ^{2}=m\operatorname {cd} ^{2}-m}$$

$${\displaystyle m'\operatorname {sc} ^{2}{}+m'=m'\operatorname {nc} ^{2}=\operatorname {dc} ^{2}-m}$$

$${\displaystyle \operatorname {cs} ^{2}{}+m'=\operatorname {ds} ^{2}=\operatorname {ns} ^{2}-m}$$

Teoremas de suma

Las funciones satisfacen las dos relaciones cuadradas (se suprime la dependencia de m )

$${\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}(u)+\operatorname {sn} ^{2}(u)=1,\,}$$

$${\displaystyle \operatorname {dn} ^{2}(u)+m\operatorname {sn} ^{2}(u)=1.\,}$$

De esto vemos que (cn, sn, dn) parametriza una curva elíptica que es la intersección de las dos cuádricas definidas por las dos ecuaciones anteriores. Ahora podemos definir una ley de grupo para puntos en esta curva mediante las fórmulas de suma para las funciones de Jacobi ^[3]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cn} (x+y)&={\operatorname {cn} (x)\operatorname {cn} (y)-\operatorname {sn} (x)\operatorname {sn} (y)\operatorname {dn} (x)\operatorname {dn} (y) \over {1-m\operatorname {sn} ^{2}(x)\operatorname {sn} ^{2}(y)}},\\[8pt]\operatorname {sn} (x+y)&={\operatorname {sn} (x)\operatorname {cn} (y)\operatorname {dn} (y)+\operatorname {sn} (y)\operatorname {cn} (x)\operatorname {dn} (x) \over {1-m\operatorname {sn} ^{2}(x)\operatorname {sn} ^{2}(y)}},\\[8pt]\operatorname {dn} (x+y)&={\operatorname {dn} (x)\operatorname {dn} (y)-m\operatorname {sn} (x)\operatorname {sn} (y)\operatorname {cn} (x)\operatorname {cn} (y) \over {1-m\operatorname {sn} ^{2}(x)\operatorname {sn} ^{2}(y)}}.\end{aligned}}}$$

Las funciones Jacobi épsilon y zn satisfacen un teorema de cuasi suma:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {E}}(x+y,m)&={\mathcal {E}}(x,m)+{\mathcal {E}}(y,m)-m\operatorname {sn} (x,m)\operatorname {sn} (y,m)\operatorname {sn} (x+y,m),\\\operatorname {zn} (x+y,m)&=\operatorname {zn} (x,m)+\operatorname {zn} (y,m)-m\operatorname {sn} (x,m)\operatorname {sn} (y,m)\operatorname {sn} (x+y,m).\end{aligned}}}$$

Las fórmulas de ángulos dobles se pueden derivar fácilmente a partir de las ecuaciones anteriores estableciendo x  =  y . ^[3] Las fórmulas de medio ángulo ^{[13] [3]} son ​​todas de la forma:

$${\displaystyle \operatorname {pq} ({\tfrac {1}{2}}u,m)^{2}=f_{\mathrm {p} }/f_{\mathrm {q} }}$$

dónde:

$${\displaystyle f_{\mathrm {c} }=\operatorname {cn} (u,m)+\operatorname {dn} (u,m)}$$

$${\displaystyle f_{\mathrm {s} }=1-\operatorname {cn} (u,m)}$$

$${\displaystyle f_{\mathrm {n} }=1+\operatorname {dn} (u,m)}$$

$${\displaystyle f_{\mathrm {d} }=(1+\operatorname {dn} (u,m))-m(1-\operatorname {cn} (u,m))}$$

Funciones elípticas de Jacobi como soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales

Derivadas respecto a la primera variable

Las derivadas de las tres funciones elípticas básicas de Jacobi (con respecto a la primera variable, con fija) son: ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {sn} (z)=\operatorname {cn} (z)\operatorname {dn} (z),}$$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cn} (z)=-\operatorname {sn} (z)\operatorname {dn} (z),}$$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {dn} (z)=-m\operatorname {sn} (z)\operatorname {cn} (z).}$$

Estos se pueden utilizar para derivar las derivadas de todas las demás funciones como se muestra en la siguiente tabla (argumentos (u,m) suprimidos):

También

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}{\mathcal {E}}(z)=\operatorname {dn} (z)^{2}.}$

Con los teoremas de suma anteriores y para un m dado con 0 <  m  < 1, las funciones principales son, por lo tanto, soluciones de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales :

• ${\displaystyle \operatorname {sn} (x)}$resuelve las ecuaciones diferenciales y ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1+m)y-2my^{3}=0}$ ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-my^{2})}$
• ${\displaystyle \operatorname {cn} (x)}$resuelve las ecuaciones diferenciales y ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1-2m)y+2my^{3}=0}$ ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-m+my^{2})}$
• ${\displaystyle \operatorname {dn} (x)}$resuelve las ecuaciones diferenciales y ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}-(2-m)y+2y^{3}=0}$ ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(y^{2}-1)(1-m-y^{2})}$

La función que resuelve exactamente la ecuación diferencial del péndulo ,

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}+c\sin \theta =0,}$

con ángulo inicial y velocidad angular inicial cero es ${\displaystyle \theta _{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=2\arcsin({\sqrt {m}}\operatorname {cd} ({\sqrt {c}}t,m))\\&=2\operatorname {am} \left({\frac {1+{\sqrt {m}}}{2}}({\sqrt {c}}t+K),{\frac {4{\sqrt {m}}}{(1+{\sqrt {m}})^{2}}}\right)-2\operatorname {am} \left({\frac {1+{\sqrt {m}}}{2}}({\sqrt {c}}t-K),{\frac {4{\sqrt {m}}}{(1+{\sqrt {m}})^{2}}}\right)-\pi \end{aligned}}}$

dónde y . ​ ${\displaystyle m=\sin(\theta _{0}/2)^{2}}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$

Derivadas respecto a la segunda variable

Con el primer argumento fijo, las derivadas con respecto a la segunda variable quedan como sigue: ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}\operatorname {sn} (z)&={\frac {\operatorname {dn} (z)\operatorname {cn} (z)((1-m)z-{\mathcal {E}}(z)+m\operatorname {cd} (z)\operatorname {sn} (z))}{2m(1-m)}},\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}\operatorname {cn} (z)&={\frac {\operatorname {sn} (z)\operatorname {dn} (z)((m-1)z+{\mathcal {E}}(z)-m\operatorname {sn} (z)\operatorname {cd} (z))}{2m(1-m)}},\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}\operatorname {dn} (z)&={\frac {\operatorname {sn} (z)\operatorname {cn} (z)((m-1)z+{\mathcal {E}}(z)-\operatorname {dn} (z)\operatorname {sc} (z))}{2(1-m)}},\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}{\mathcal {E}}(z)&={\frac {\operatorname {cn} (z)(\operatorname {sn} (z)\operatorname {dn} (z)-\operatorname {cn} (z){\mathcal {E}}(z))}{2(1-m)}}-{\frac {z}{2}}\operatorname {sn} (z)^{2}.\end{aligned}}}$

Expansión en términos del nombre.

Sea el nomo , y déjelo . Entonces las funciones tienen expansiones como series de Lambert. ${\displaystyle q=\exp(-\pi K'(m)/K(m))=e^{i\pi \tau }}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (\tau )>0}$ ${\displaystyle m=k^{2}}$ ${\displaystyle v=\pi u/(2K(m))}$

${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)={\frac {\pi u}{2K(m)}}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{n(1+q^{2n})}}\sin(2nv),}$

${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)={\frac {2\pi }{kK(m)}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1-q^{2n+1}}}\sin((2n+1)v),}$

${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)={\frac {2\pi }{kK(m)}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1+q^{2n+1}}}\cos((2n+1)v),}$

${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)={\frac {\pi }{2K(m)}}+{\frac {2\pi }{K(m)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}\cos(2nv),}$

${\displaystyle \operatorname {zn} (u,m)={\frac {2\pi }{K(m)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{2n}}}\sin(2nv)}$

cuando ${\displaystyle \left|\operatorname {Im} (u/K)\right|<\operatorname {Im} (iK'/K).}$

Schett ha publicado expansiones de series de potencias bivariadas. ^[dieciséis]

Computación rápida

Las razones de la función theta proporcionan una forma eficiente de calcular las funciones elípticas de Jacobi. Existe un método alternativo, basado en la media aritmético-geométrica y las transformaciones de Landen : ^[6]

Inicializar

${\displaystyle a_{0}=1,\,b_{0}={\sqrt {1-m}}}$

dónde . Definir ${\displaystyle 0<m<1}$

${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+b_{n-1}}{2}},\,b_{n}={\sqrt {a_{n-1}b_{n-1}}},\,c_{n}={\frac {a_{n-1}-b_{n-1}}{2}}}$

dónde . Luego define ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle \varphi _{N}=2^{N}a_{N}u}$

para y un fijo . Si ${\displaystyle u\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \varphi _{n-1}={\frac {1}{2}}\left(\varphi _{n}+\arcsin \left({\frac {c_{n}}{a_{n}}}\sin \varphi _{n}\right)\right)}$

para entonces ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)=\varphi _{0},\quad \operatorname {zn} (u,m)=\sum _{n=1}^{N}c_{n}\sin \varphi _{n}}$

como . Esto se destaca por su rápida convergencia. Entonces es trivial calcular todas las funciones elípticas de Jacobi a partir de la amplitud de Jacobi en la recta real. ^{[nota 2]} ${\displaystyle N\to \infty }$ ${\displaystyle \operatorname {am} }$

Junto con los teoremas de suma para funciones elípticas (que son válidos para números complejos en general) y las transformaciones de Jacobi, el método de cálculo descrito anteriormente se puede utilizar para calcular todas las funciones elípticas de Jacobi en todo el plano complejo.

Otro método de cálculo rápido de las funciones elípticas de Jacobi mediante la media aritmético-geométrica, evitando el cálculo de la amplitud de Jacobi, se debe a Herbert E. Salzer: ^[17]

Dejar

${\displaystyle 0\leq m\leq 1,\,0\leq u\leq K(m),\,a_{0}=1,\,b_{0}={\sqrt {1-m}},}$

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\,b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}},\,c_{n+1}={\frac {a_{n}-b_{n}}{2}}.}$

Colocar

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{N}&={\frac {a_{N}}{\sin(a_{N}u)}}\\y_{N-1}&=y_{N}+{\frac {a_{N}c_{N}}{y_{N}}}\\y_{N-2}&=y_{N-1}+{\frac {a_{N-1}c_{N-1}}{y_{N-1}}}\\\vdots &=\vdots \\y_{0}&=y_{1}+{\frac {m}{4y_{1}}}.\end{aligned}}}$

Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sn} (u,m)&={\frac {1}{y_{0}}}\\\operatorname {cn} (u,m)&={\sqrt {1-{\frac {1}{y_{0}^{2}}}}}\\\operatorname {dn} (u,m)&={\sqrt {1-{\frac {m}{y_{0}^{2}}}}}\end{aligned}}}$

como . ${\displaystyle N\to \infty }$

Aproximación en términos de funciones hiperbólicas.

Las funciones elípticas de Jacobi se pueden ampliar en términos de funciones hiperbólicas. Cuando está cerca de la unidad, de modo que se pueden despreciar poderes superiores , tenemos: ^{[18] [19]} ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m'^{2}}$ ${\displaystyle m'}$

• sn( tu ):
  $${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)\approx \tanh(u)+{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)-u)\operatorname {sech} ^{2}(u).}$$
• cn( tu ):
  $${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)\approx \operatorname {sech} (u)-{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)-u)\tanh(u)\operatorname {sech} (u).}$$
• dn( tu ):
  $${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)\approx \operatorname {sech} (u)+{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)+u)\tanh(u)\operatorname {sech} (u).}$$

Para la amplitud de Jacobi,

$${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)\approx \operatorname {gd} (u)+{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)-u)\operatorname {sech} (u).}$$

fracciones continuas

Suponiendo números reales con y el nomo , con módulo elíptico . Si , donde es la integral elíptica completa del primer tipo , entonces se cumple la siguiente expansión en fracción continua ^[20] ${\displaystyle a,p}$ ${\displaystyle 0<a<p}$ ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (\tau )>0}$ ${\textstyle k(\tau )={\sqrt {1-k'(\tau )^{2}}}=(\vartheta _{10}(0;\tau )/\vartheta _{00}(0;\tau ))^{2}}$ ${\displaystyle K[\tau ]=K(k(\tau ))}$ ${\displaystyle K(x)=\pi /2\cdot {}_{2}F_{1}(1/2,1/2;1;x^{2})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {{\textrm {dn}}\left((p/2-a)\tau K\left[{\frac {p\tau }{2}}\right];k\left({\frac {p\tau }{2}}\right)\right)}{\sqrt {k'\left({\frac {p\tau }{2}}\right)}}}={\frac {\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{p/2n^{2}+(p/2-a)n}}{\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{p/2n^{2}+(p/2-a)n}}}\\[4pt]={}&-1+{\frac {2}{1-{}}}\,{\frac {q^{a}+q^{p-a}}{1-q^{p}+{}}}\,{\frac {(q^{a}+q^{2p-a})(q^{a+p}+q^{p-a})}{1-q^{3p}+{}}}\,{\frac {q^{p}(q^{a}+q^{3p-a})(q^{a+2p}+q^{p-a})}{1-q^{5p}+{}}}\,{\frac {q^{2p}(q^{a}+q^{4p-a})(q^{a+3p}+q^{p-a})}{1-q^{7p}+{}}}\cdots \end{aligned}}}$

Las fracciones continuas conocidas que involucran y tienen módulo elíptico son ${\displaystyle {\textrm {sn}}(t),{\textrm {cn}}(t)}$ ${\displaystyle {\textrm {dn}}(t)}$ ${\displaystyle k}$

Para , : ^[21] pág. 374 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |k|<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\textrm {sn}}(t)e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{1^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {1\cdot 2^{2}\cdot 3k^{2}}{3^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {3\cdot 4^{2}\cdot 5k^{2}}{5^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\cdots }$

Para , : ^[21] pág. 375 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle |k|<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\textrm {sn}}^{2}(t)e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {2z^{-1}}{2^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {2\cdot 3^{2}\cdot 4k^{2}}{4^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {4\cdot 5^{2}\cdot 6k^{2}}{6^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\cdots }$

Para , : ^[22] pág. 220 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle |k|<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\textrm {cn}}(t)e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{z+{}}}\,{\frac {1^{2}}{z+{}}}\,{\frac {2^{2}k^{2}}{z+{}}}\,{\frac {3^{2}}{z+{}}}\,{\frac {4^{2}k^{2}}{z+{}}}\,{\frac {5^{2}}{z+{}}}\cdots }$

Para , : ^[21] pág. 374 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle |k|<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\textrm {dn}}(t)e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{z+{}}}\,{\frac {1^{2}k^{2}}{z+{}}}\,{\frac {2^{2}}{z+{}}}\,{\frac {3^{2}k^{2}}{z+{}}}\,{\frac {4^{2}}{z+{}}}\,{\frac {5^{2}k^{2}}{z+{}}}\cdots }$

Para , : ^[21] pág. 375 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |k|<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {{\textrm {sn}}(t){\textrm {cn}}(t)}{{\textrm {dn}}(t)}}e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2\cdot 1^{2}(2-k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {1\cdot 2^{2}\cdot 3k^{4}}{2\cdot 3^{2}(2-k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {3\cdot 4^{2}\cdot 5k^{4}}{2\cdot 5^{2}(2-k^{2})+z^{2}-{}}}\cdots }$

Funciones inversas

Las inversas de las funciones elípticas de Jacobi se pueden definir de manera similar a las funciones trigonométricas inversas ; si , . Se pueden representar como integrales elípticas, ^{[23] [24] [25]} y se han encontrado representaciones en series de potencias. ^{[26] [3]} ${\displaystyle x=\operatorname {sn} (\xi ,m)}$ ${\displaystyle \xi =\operatorname {arcsn} (x,m)}$

• ${\displaystyle \operatorname {arcsn} (x,m)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-mt^{2})}}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {arccn} (x,m)=\int _{x}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-m+mt^{2})}}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {arcdn} (x,m)=\int _{x}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(t^{2}+m-1)}}}}$

Proyección de mapas

La proyección quincuncial de Peirce es una proyección cartográfica basada en funciones elípticas jacobianas.

Ver también

• Curva elíptica
• Mapeo de Schwarz-Christoffel
• Forma simétrica de Carlson
• Función theta de Jacobi
• Función theta de Ramanujan
• Funciones elípticas de Dixon
• Funciones elípticas de Abel
• Funciones elípticas de Weierstrass
• Funciones elípticas de lemniscata

Notas

1. Si y está restringido a , entonces también se puede escribir como ${\displaystyle u\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)}$ ${\displaystyle {\sqrt {1-m\sin ^{2}\operatorname {am} (u,m)}}.}$
2. Para la función, se puede utilizar. ${\displaystyle \operatorname {dn} }$ ${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)={\frac {\operatorname {cn} (u,m)}{\operatorname {sn} (K(m)-u,m)}}}$

Citas

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Referencias

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enlaces externos

• "Funciones elípticas de Jacobi", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Funciones elípticas de Jacobi". MundoMatemático .