Método matemático en funciones elípticas.
La transformación de Landen es un mapeo de los parámetros de una integral elíptica , útil para la evaluación numérica eficiente de funciones elípticas. Originalmente se debió a John Landen y fue redescubierto de forma independiente por Carl Friedrich Gauss . [1]
Declaración
La integral elíptica incompleta de primer tipo F es
¿Dónde está el ángulo modular ? La transformación de Landen establece que si , , , son tales que y , entonces [2]
La transformación de Landen se puede expresar de manera similar en términos del módulo elíptico y su complemento .
Integral elíptica completa
En la formulación de Gauss, el valor de la integral
no cambia si y se reemplazan por sus medias aritmética y geométrica respectivamente, es decir
Por lo tanto,
De la transformación de Landen concluimos
y .
Prueba
La transformación podrá efectuarse mediante integración por sustitución . Es conveniente convertir primero la integral en forma algebraica mediante una sustitución de , dando
Una sustitución adicional de da el resultado deseado.
Este último paso se facilita escribiendo el radical como
y el infinitesimal como
de modo que el factor de sea reconocido y cancelado entre los dos factores.
Media aritmético-geométrica y primera integral de Legendre
Si la transformación se repite varias veces, entonces los parámetros convergen muy rápidamente a un valor común, incluso si inicialmente son de diferentes órdenes de magnitud. El valor límite se llama media aritmético-geométrica de y , . En el límite, el integrando se vuelve constante, por lo que la integración es trivial
La integral también puede reconocerse como un múltiplo de la integral elíptica completa de primer tipo de Legendre . Poniendo
Por tanto, para cualquier , la media aritmético-geométrica y la integral elíptica completa de primer tipo están relacionadas por
Al realizar una transformación inversa (iteración de media aritmético-geométrica inversa), es decir
la relación puede escribirse como
que puede resolverse para la Asamblea General de un par de argumentos arbitrarios;
Referencias
- Louis V. King sobre el cálculo numérico directo de funciones elípticas e integrales (Cambridge University Press, 1924)